幻灯片 1

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第 第 2 2 章 一元函数微分 章 一元函数微分 学 学

高等数学 A

2.2 中值定理

2.2.1 中值定理

2.2 中值定理

函数极值的概念 函数极值的概念

Rolle

Rolle 定理定理

Lagrange

Lagrange 定理定理

Cauchy

Cauchy 定理定理

2.2.1

2.2.1 中值定理中值定理

Fermat

Fermat 定理定理 Rolle

Rolle 定理定理

Rolle

Rolle 定理应用习例定理应用习例 1-51-5 Lagrange

Lagrange 中值定理中值定理

Lagrange

Lagrange 定理应用习例定理应用习例 6-76-7 Cauchy

Cauchy 中值定理中值定理

Cauchy

Cauchy 定理应用习例定理应用习例 8-98-9

内容小结

课堂思考与练习

微

分

中

值

定

理

x

x f x

x x f

f x 





 

  

) ( )

lim ( )

( 0

函数导数的定义为

即函数在点 x 处的导数等于 ^{x  0} 时 , 函数

x

x f x

x f







 ) ( )

(

的极限值 .

在点 x 处的差商

导数与差商

我们常常需要从函数的导数所给出 的局部的或“小范围”性质 , 推出其整体的 或“大范围”性质 . 为此 , 我们需要建立函 数的差商与函数的导数间的基本关系式 , 这些关系式称为“微分学中值定理” .

这些中值定理的创建要归功于 费马、

拉格朗日、柯西等数学家 .

首先 , 从直观上来看看

“ 函数的差商与函数的导数间的基本关系式”

是怎么一回事 .

O x y

x

1

x

₂

可微

) ( x f

y 

A

P B

x

0

1 2

1

2) ( )

(

x x

x f x

k f

AB



 

的斜率：

割线

) (

k f x₀ P

 

处切线的斜率：

点

导数与差商

相等！

1 2

1 2) ( ) ) (

( x x

x f x

f f



 

 

将割线作平行移动 , 那么它至少有一次会 达到这样的位置：

在曲线上与割线距离最远的那一点 P 处成 为切线 , 即在点 P 处与曲线的切线重合 .

, ) ,

(x₁ x₂

 

也就是说 , 至少存在一点 使得

该命题就是微分中值定理 .

一 . 函数极值的概念 定义 :

, )

~ , ( ),

, ( ,

) , ( )

( 在 内有定义 ₀ 当 ₀ 时

设f x a b x  a b x U x  ;

) (

), (

) (

) 1

( 若f x  f x₀ 则f x₀ 为极大值

. )

( ),

( )

(

) 2

( 若f x  f x₀ 则f x₀ 为极小值

极大值和极小值统称为极值 , 取得极值的点称为极值点 . 注意：

(1) 极值点指的是横坐标 x ，极值指的是函数值 f(x).

(2) 极值点必须在区间的内部 .

(3) 极值是局部性质 ,

而最值是全局性质 .

如图

o x

y

a ¹ x

x2 x₃ b (4) 极小值不一定比

极大值小 .

(5) 区间内部的最值点一定是极值点；反之不一定成立 .

二 . Fermat 定理 定理 1.

. 0 )

( ,

) (

, )

, ( )

(

0 0

0

 



x f

x x

f

b a x

x f

则 处可导

在 且

处取得极值 在

设函数

可微 函数在区间 内部取极值 的必要条件 是函数在该 点的导数值 为零 .

O x

y ) ( x f

y 

a

^x₀

b

如 何 证 明 ？ P

如 何 证 明 ？

证明 : 设 f (x₀ )是极大值.

. ) (

) ( ,

)

~ ,

(x₀ f x f x₀

U

x  时 有 

则当 

0

0 ( ) ( 0 )

lim )

(

0 x x

x f x

x f

f x x 

 

  

  0,

0

0 ( ) ( 0 )

lim )

(

0 x x

x f x

x f

f x x 

 

  

  0,

(x₀)  f

(x₀)  f

. 0 )

( ₀ 

 f  x

（极小值类似可证）

三 . Rolle 定理 定理 2.

) ( )

( ) 3 (

; )

, (

) 2 (

; ]

, [

) 1 (

: )

(

b f a

f

b a

b a x

f



内可导 在开区间

上连续 在闭区间

满足 若函数

. 0 )

( ),

,

(  

 

 a b 使得 f 则至少存在一点

几何意义 :

o x

y

a  b ^{o x}

y

a b

Rolle 定理指出在两个高度相同

的点之间的一段连续曲线上 , 若 除端点外 , 它在每一点都有不垂 直于 x 轴的切线 , 则在其中必有 一条切线平行于 x 轴 .

证明 :  f (x)在闭区间[ a,b]上连续,

, ]

, [ )

(x a b M m

f 在闭区间 上有最大值 和最小值



(1) 若 M=m, 则f (x)  C, x [a,b]

).

, ( ,

0 )

(x C x a b

f     

 对于一切 _取  x.

. ]

, [ )

( ,

) 2

( 若M  m 则f x 在 a b 上不是常数

. ,

), ( )

(a f b 则M m不可能同时在端点取得

f 



), (a f M  不妨设

. )

( ),

,

(a b f  M

 

 _使得

则至少存在一点

. )

( 的极大值点 也是

则此点 f x

. 0 )

( ,

Fermat定理可知 f   

由

定理的条件是充分的，但非必要 . 不满足条件有可能 结论不成立 . 如图

) ( )

(a f b

f 

o x y

a b

注意 :

区间内有不连续点 o x

y



a b

端点 b 处不连续 o x

y

a b



区间内有不可导点 o x

y

a b

推论 :

. )

( )

(

的一个零点 至少有导函数

任意两零点间 可导函数

x f

x f



Rolle

Rolle 定理应用习例定理应用习例 ,

3 2

) ( .

1 设f x  x²  x  例

. ]

1 , 3 [ )

(

Rolle定理对 在 上的正确性

验证 f x 

3. ( ) [ , ]  x a b , ( , )a b , ( , )a b 例若在上连续在内可导证明在内

2. p x( ) p x( ) ,

例设多项式的导函数没有实根

4. x5 5x  1 0 1 .

例证明方程有且仅有一个小于的正根

5. ( ) f x ,

例设二阶可导且

), (

), (

) (

)

(x₁ f x₂ f x₃ x₁ x₂ x₃

f    

. 0 )

( ],

,

[ _{1 3}  

 

 x x 使得f 试证至少存在一点

( ) .

试证最多只有一个实根p x

2 2

2 [ ( )x  b ( )] (a  b  a ) ( ) ^ x . 方程至少存在一个根

. ]

1 , 3 [ )

(

Rolle定理对 在 上的正确性

验证 f x  解 : (1) f (x )是初等函数 ,

. ]

1 , 3 [ )

( 在闭区间  上连续

 f x

, 2 2

) ( )

2

(  f  x  x 

. )

1 , 3 ( )

( 在  内可导

 f x

), 1 , 3 ( 1

, 0 2

2 )

( )

4

( 设 f  x  x   则 x    

).

1 , 3 ( 1

   

_取 

).

1 ( 0

) 3 ( ) 3

( f    f

, 3 2

) ( .

1 设f x  x²  x  例

证明 : （反证法）

. )

( 至少有两个实根

假设p x 设为x₁和x₂,且x₁  x₂. ,

)

( 是连续可导的

由于多项式p x 且p(x₁)  p( x₂)  0. , Rolle

] ,

[ )

( 在 _{1 2} 上满足 定理的条件 多项式函数p x x x



. 0 )

( ),

,

( _{1 2}  

 

 x x 使得p 从而至少存在一点

.

"

) (

" 没有实根 相矛盾

这与题设 p x

2. p x ( ) p x  ( ) ,

例设多项式的导函数没有实根

( ) .

试证最多只有一个实根 p x

分析 : (b²  a²)(x)  2x[(b)  (a)]  0, , 0 )

)](

( )

( [ ) ( )

(b²  a²  x   b   a x²  

. 0 }

) )](

( )

( [ ) ( )

{(b²  a²  x   b   a x²  

证明 : 设 f (x)  (b²  a²)(x) [ (b)  (a)]x², . )

, ( ,

] , [ )

( 在 上连续 在 内可导

则 f x a b a b ).

( )

( )

( )

(a b² a a² b f b

f     

由 Rolle 定理得 :_{至少存在一点} (a,b), 使得 f ( )  0. .

0 2

)]

( )

( [ ) ( )

( b²  a²     b  a   即

3. ( ) [ , ]  x a b , ( , )a b , ( , )a b 例若在上连续在内可导证明在内

2 2

2 [ ( )x  b ( )] (a  b  a ) ( )  x . 方程至少存在一个根

, 1 5

)

(x  x⁵  x  f

. 3 )

1 ( ,

1 )

0

(  f  

f

, 0 )

(x₀  f

, ,

) 1 , 0

( _{1 0}

1 x x

x  

) 1 (

5 )

(  ⁴ 

 x x

f  0, x (0,1), 证明 : (1) 存在性 .

则 f (x) _{在 [0 , 1 ] 连续 且,} 由介值定理知存在 x₀ (0,1), _使 即方程有小于 1 的正根x₀ .

(2) 唯一 性 .

假设另有 使 f (x₁)  0,  f (x)在以

1 0 , x

x 为端点的区间满足罗尔定理条件 ,在 x₀ , x₁ 之间 至少存在一点



, 使 f _(



_{)  0.}

但 矛盾 ,故假设不真 !

设

4. x5  5x  1 0 1 .

例证明方程有且仅有一个小于的正根

5. ( ) f x , 例设二阶可导且

), (

), (

) (

)

(x₁ f x₂ f x₃ x₁ x₂ x₃

f    

. 0 )

( ],

,

[ _{1 3}  

 

 x x 使得f 试证至少存在一点

证明 :  f (x )二阶可导,

; ]

, [

] ,

[ )

(x 在 x₁ x₂ 和 x₂ x₃ 上连续

 f

. )

, (

) ,

( )

(x 在 x₁ x₂ 和 x₂ x₃ 内可导 f

), (

)

(x₁ f x₂

f 

由

. 0 )

( ),

,

( _{1 2 1}

1    

 x x 使得 f 至少存在一点

), (

)

(x₂ f x₃

f 

由

. 0 )

( ),

,

( _{2 3 2}

2    

 x x 使得 f 至少存在一点

; ]

, [ )

( 在 _{1 2} 上连续

而 f  x  

. )

, ( )

(x 在 ₁ ₂ 内可导 f 

由 Rolle 定理，得

), ,

( )

,

( _{1 2}  x₁ x₃

   至少存在一点

. 0 )

( 

  使得 f

).

( 0

)

(₁ f ₂

f    

a

₁



₂

b

^x

o y

A

B

把罗尔定理的图示歪斜 着看会有什么不同呢？

x y

0

a   b

y=f (x)

y x

0 a

b



 y=f (x)

( )

点 处切线的斜率：

P

k  f ^ 

( ) ( ) 弦线的斜率：AB

f b f a

k b a

 



相等！

P

四 . Lagrange 中值定理 定理 3.

; )

, (

) 2 (

; ]

, [

) 1 (

: )

(

内可导 在开区间

上连续 在闭区间

满足 若函数

b a

b a x

f

) . ( )

) ( ( ),

,

( b a

a f b

f f b

a 

 

  

 _使得

则至少存在一点

).

)(

( )

( )

(

f b  f a  f   b  a 或

几何意义 :

o x

y

a  b

Lagrange 中值定理指出若曲线

y = f (x) 在 (a , b) 内每一点都有 不平行于 y 轴的切线 , 则在曲线 上至少存在一点 P( , f ( )), 使 曲线在 P 的切线平行于过曲线 两端点 A, B 的弦 .

分析 : ( ) ( ) 0 )

( 



 

 b a

a f b

x f f

) 0 ( )

) (

(  



 

 x

a b

a f b

x f f

) 0 ( )

) (

(  







  x

a b

a f b

x f f

证明 : ( ) ( ) , [ , ] )

( )

( x x a b

a b

a f b

x f f x

F 



  设 

a b

b af a

a bf

F 

 ( )  ( ) )

(

. )

, ( ,

] , [ )

( 在 上连续 在 内可导

则 F x a b a b ) (b

 F

由 Rolle 定理得 ,

), ,

(a b

 

至少存在一点 使得 F( )  0.

. ) 0

( )

) (

( 



 

 b a

a f b

f  f 即

) . ( )

) (

( b a

a f b

f f



 

  

) )(

( )

( )

(

, f a f b f a b

a

b  _时     

当

).

)(

( )

( )

(

f b  f a  f   b  a 或

).

)(

( )

( )

(

f b  f a  f  b  a

 

注意 :

. Rolle

Lagrange ,

) ( )

(

(1) 令 f a  f b 则 中值定理  定理

, )

)(

( )

( )

( Lagrange

) 2

( 在 中值公式 f b  f a  f   b  a 中

, b

a    ⁰    ^a  ^b  ^a, _{0  1,}



 

a b

 a a ,

b

a



  

令 则  a  (b  a), 0    1.

从而 Lagrange 中值公式可写为

. 1 0

), )](

( [

) ( )

(b  f a  f  a  b  a b  a    f

,

, 时有

取a  x b  x  x

. 1 0

, )

( )

( )

(x  x  f x  f  x x x    f

. 1 0

, )

(

y  f  x x x   

即 称为有限增量定理 .

(3) 拉格朗日中值定理的物理意义

某一时刻达到它的平均速度 某一时刻达到它的平均速度 . .

拉格朗日中值定理告诉我们

拉格朗日中值定理告诉我们 , , 在 在 t=a t=a 到 到 t=b

t=b 的时间段内 的时间段内 , , 连续运动的物体至少会在 连续运动的物体至少会在

(4)Lagrange 中值公式精确地表达了函数在一个区间上

的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系 .

(1) 推论推论 11 设 f (x) 在区间 I 上可导，且 f (x)=0, xI.

则 f (x)=C, xI.

证：x₁,x₂I, 不妨令 x₁<x₂, 则 f (x) 在 [x₁, x₂] 上满足拉格朗日中值定理条件，故有

) ,

(

), )(

( ' )

( )

(x₂ f x₁ f x₂ x₁ x₁ x₂

f      

而 f () = 0, 故f (x₂)=f (x₁)

由 x₁, x₂ 的任意性， f (x)=C, xI. (C 为常数 ) 3. 3. 拉格朗日中值定理的三个重要推论拉格朗日中值定理的三个重要推论

(C 为常数 )

(2) 推论推论 2.2. 若 f ' (x)=g' (x) ， xI, 则 f x)=g(x) +C , xI (C 为常数 )

证：令 F(x)=f (x)g(x), 由推论 1 立即可证 (3). 推论推论 3. 3. 若 f (x) 的导数在 (a, b) 内不变号，

则函数 f (x) 在 (a, b) 内严格单调 .

Lagrange

Lagrange 定理应用习例定理应用习例

2 . arccos

arcsin .

6 _{ } 

x 证明等式 x

例

. )

1 1 ln(

, 0

: .

7 x x

x

x x   

 时  当

证明 例

( ) [0,1] , [0,1]

0 ( ) 1 , (0,1) ( ) 1 .

: (0,1), ( ) .

f x x

f x x f x

 f  

 

     

 

例8.假设在上连续可导且对 有对有

证明存在唯一的使得

2 . arccos

arcsin .

6 _{ } 

x 证明等式 x

例

证明 : 设 f (x)  arcsin x  arccos x, .

) 1 , 1 ( )

( 在 内可导

则 f x 

, 1 0

1 1

) 1

( 2 2 

 

 

 x x x

又 f

. arccos

arcsin )

( )

1 , 1

(  f x  x  x  C

在 内恒有

2 . )

0 ( ,

0 f C

x    

有 时

又当

2 . arccos

arcsin _{ } 

 x x

. )

1 1 ln(

, 0

: .

7 x x

x

x x   

 时  当

证明 例

证明 : 利用 Lagrange 中值定理证明不等式时 ,

. ],

, [ )

(x a b a b

f _{及区间 且利用}   

选择

, ln )

(t t

f 

设 t [1,1  x].

, )

1 , 1 ( ,

] 1

, 1 [ )

(

, 在 上连续 在 内可导

显然 f t  x  x

由 Lagrange 中值定理 , 则

, ) ( )

1 ( )

1

( x f f x

f    ^  _且  (1,1  x ) x x

x    

 ) , 1 1 1

ln(



 ^且 即

1 1 1

1 1 1

 

 





  

x x 又由

) 0 (

1 ,

  

  x x x

x x



. )

1 1 ln(

x x

x

x   

从而 

注意 :

), 1

ln(

)

(t t

f  

设 t [0, x]同样可证得结论成立!

例 8

( ) [0,1] , [0,1] 0 ( ) 1 ,

(0,1) ( ) 1 .

: (0,1), ( ) .

f x x f x

x f x

 f  

  

  

 

假设在上连续可导且对一切有 对一切有

证明存在唯一的使得

证 构造辅助函数令, ( )F x  f x( )  x

, ( ) [0,1]F x , F(0)  f (0) 0, (1) F  f (1) 1 0,  显然在上连续且

( ) (0,1) ,

( ) 0, ( ) . F x

F f



  



 

满足零点定理的条件,则至少存在 使得即

下面证明唯一性．

1 2 1 2

,x x (0,1) ( x  x ), such that 假设有两个点

. )

( ,

)

( x

₁

x

₁

f x

₂

x

₂

f  

1 2

1 2

( ) [ , ] ,

( , ) (0,1),such that

f x x x

 x x

  

在满足拉格朗日中值定理的条件则

) 1 (

) ) (

(

1 2

1

2 



 

 x x

x f x

f  f

, (0,1) , ( ) 1 , .

(0 1) , ( ) .

x f x

, f

  

  

 

但是时矛盾

所以存在唯一的使得

的参数方程为 设弧 AB

] , [

) (

) (

b a t

t g x

t f

y 









斜率为 上任意一点处的切线的

则弧 AB

) (

) ( d

d

t g

t f x

y



 

的斜率为 而弦 AB

) ( )

(

) ( )

(

a g b

g

a f b

k f



 

O x

y

A

B





) (x f y 

在拉格朗 日中 值 定 理 中 , 将曲线用参数方程 表示 , 会出现 什么结论？

五 . Cauchy 中值定理 定理 4.

0 )

( (3)

; )

, (

) 2 (

; ]

, [

) 1 (

: )

( ), (

 x  g

b a

b a x

g x

f

内可导 在开区间

上连续 在闭区间

满足 若函数

) . ( )

(

) ( )

( )

( ) ), (

,

( g b g a

a f b

f g

b f

a 

 



 



 _使得 

则至少存在一点 几何意义 :

o X

Y

b









) (

) (

x f Y

x g X

)) ( ), (

(g a f a

A ^{B(g(b), f (b))}

) (

) (

x g

x f

dX dY



 



Cauchy 中值定理指出

在定理条件下 , 用参 数方程表示的曲线上 至少有一点 , 它的切线 平行于两端点的连线 .

分析 : ( ) )

( )

(

) ( )

) (

( g x

a g b

g

a f b

x f

f 



 



0 )

) ( ( )

(

) ( )

) (

(  



 

 g x

a g b

g

a f b

x f f

0 )

) ( ( )

(

) ( )

) (

( 









  g x

a g b

g

a f b

x f f

证明 : ( ), [ , ] )

( )

(

) ( )

) ( ( )

( g x x a b

a g b

g

a f b

x f f x

F 



  设 

. )

, ( ,

] , [ )

( 在 上连续 在 内可导

则 F x a b a b )

( )

(

) ( ) ( )

( ) ) (

( g b g a

a g b f b

g a a f

F 

   F(b)

由 Rolle 定理得 ,

), ,

(a b

 

至少存在一点 使得 F( )  0. 0

) ) (

( )

(

) ( )

) (

(  



 

  g 

a g b

g

a f b

f f 即

, 0 )

( 

 x

又 g .

) ( )

(

) ( )

( )

( ) (

a g b

g

a f b

f g

f



 



 





注意 :

. Lagrange

Cauchy ,

) (

(1)令g x  x 则 中值定理  中值定理

(2)Cauchy 中值定理能否用如下方法证明 , 为什么 ?

对 f(x),g(x) 分别应用 Lagrange 中值定理后相比得结论 .

有人想：分子分母分别用拉格朗日中值定理 , 就可证明柯西中值定理了 .

, ]) , ([

) ( , )

(x g x C a b

f 

, )

, ( )

( , )

(x g x 在 a b 内可导

f

) (

) ( )

( )

(

) ( )

(



 g

f a

g b

g

a f b

f



 

 故 

, 0 )

( 

 x 且 g

条件 满足拉格朗日中值定理

上 在 [ , ] ,

) ( , )

(x g x a b

f

相同吗？

两个

Cauchy

Cauchy 定理应用习例定理应用习例

9. 0, ( 1) ( ),

, .

b a

ab ae be e b a

a b

 



    

例若证明

其中在之间

10.   (1, ) e sin1 cos ln .   例试证至少存在一点使得

例11 (0,1), ( ) 2 [ (1) (0)].

: ,

) 1 , 0 ( ,

] 1 , 0 [ )

(

f f

f x

f



 



 



_使

至少存在一点

证明 内可导

在 上连续

在 设函数

分析 : ( 1)e^ , a

b

be

ae^{b a}  





, ) 1 1 (

1

 e

b a

a e b

e^{b a}









, )

1 1 (

1

 e

a b

a e b

e^{b a}









9. 0, ( 1) ( ),

, .

b a

ab ae be e b a

a b







    

例若证明

其中在之间

证明 : 设 0<a<b,

].

, [

1 , )

( , )

( x a b

x x x g

x e f

x  

设 

).

( )

1 (

ae^b  be^a    e^ b  a 即

显然 , f(x),g(x) 满足 Cauchy 中值定理的条件 .

由 Cauchy 中值定理 , 至少存在一点  (a,b),使得

) (

) ( )

( )

(

) ( )

(



 g

f a

g b

g

a f b

f



 



  ,

1 1

1

2 2





 ^











 e e

a b

a e b

e^{b a}



 

1 1 cosln 1

ln ln

1 ln sin ln

sin



 e

e 

) , 1 ( ) ,

( ) ( )

1 ( )

(

) 1 ( )

( e

F f F

e F

f e

f 



 



 





 ln cos 1

sin  证明 :

法 1 用柯西中值定理 .

x x

F x

x

f ( )  sinln , ( )  ln

则 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条 件 ,

令

因此



 

1 1 cosln

 ln

 cos

 1 即 sin

分析 :

10.   (1, ) e sin1 cos ln .  

例试证至少存在一点使得

法 2 令

x x

f ( )  sinln

则 f (x) 在 [ 1 , e ] 上满足罗尔中值定理条 件 ,

, ) , 1 ( e

  _使

0 )

( 

  f

x ln

 cos

(x)

f  sin1

x 1

 ln cos 1

sin  因此存在

x  1

x ln 1

sin 



. ln cos 1

sin )

, 1 ( .

9 试证至少存在一点  使得  

例 e

例11 (0,1), ( ) 2 [ (1) (0)].

: ,

) 1 , 0 ( ,

] 1 , 0 [ )

(

f f

f x

f



 



 



_使

至少存在一点

证明 内可导

在 上连续

在 设函数

证 分析 : 结论可变形为



 

 



2 ) ( 0

1

) 0 ( )

1

( f f

f .

) (

) (

2  

  _x

x x

f 设 g( x)  x²,

, ]

1 , 0 [ )

( ),

( 在 上满足柯西中值定理的条件 则 f x g x

有 内至少存在一点

在(0,1) ,





 

 



2 ) ( 0

1

) 0 ( )

1

( f f

f 即 f ()  2[ f (1)  f (0)].

内容小结

1. 微分中值定理的条件、结论及关系

罗尔定理

拉格朗日中值定理

柯西中值定理 )

( )

(b f a

f 

x x

Ff ((b)) f (a)

x x

F( ) 

2. 微分中值定理的应用 (1) 证明恒等式

(2) 证明不等式

(3) 证明有关中值问题的结论

关键 :

利用逆向思维 设辅助函数 费马引理

思考题：

^{习题 2.2 第 1 题（ 1 ）到（ 3 ）}

思考题参考答案

课堂练习：

^{习题 2.2 第 9 题到第 11}

题

练习参考答案

练习１（罗） 设 f (x)=(x a)(xb)(xc)(xd) ， a<b<c<d 为实数 . 证明方程 f (x)=0 ，有且仅有 三个实根，并指出这三个根所在区间 .

证： f (x) 是一个四次多项式

 f (x) 在 [a, b], [b, c], [c, d] 上连续，可导，

又 f (a)=f (b)=f (c) =f (d)=0

故 f (x) 在 [a, b], [b, c], [c, d] 上满足 Rolle 定理条件 .