第一节 常数项级数的概念与性质

无穷级数

无穷级数

无穷级数是研究函数的工具

表示函数 研究性质 数值计算 数项级数

幂级数 傅氏级数

第十二章

常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念

二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件

* 四、柯西审敛原理

第一节

^第十二章

一、常数项级数的概念

引例 1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积 . 依次作圆内接正 3 2ⁿ ( n  0,1, 2,)_{边形 ,}

这个和逼近于圆的面积 A . a0  a₁  a₂   a_n

设 a₀ 表 示

时 ,



 n

即 A  a₀  a₁  a₂  a_n  内接正三角形面积 , a_k 表示边数

增加时增加的面积 , 则圆内接正 时 时 时 时 时

2n

3

引例 2. ( 神秘的康托尔尘

集 ) 把 [0,1] 区间三等分 , 舍弃

间的开区间 (¹₃,₃²), 中

3,

1

将剩下的两个子区间分别三等分 , 并舍弃 在中间的开区间 ,如此反复进行这种“弃中”操作 , 问丢弃部

分的总长和剩下部分的总长各是多少？

丢弃的各开区间长依次为 ₂ ,

32 ₃² ,

3

2 ₄³ ,

3

2 , ,

3 2 ¹

n n

故丢弃部分总长



 









 ⁿ_n^

l 23

32 3

2 32

13 ¹

4 3 3

2

丢 2



^{   }_^{ }_



 ₃¹ 1 ₃² (₃²)² (₃²)³ (₃²)^n1 1

32

11 31  

 _ 剩余部分总长 l_剩＝1－l_丢  0

剩余部分总长虽然为 0, 但康托尔证明了其成员和实数“一样多” , 它们象尘埃一样散落在 [0,1] 区间上 , 人们称其为康托尔尘集 .

0 1

13

32 91

92

97 98

( 此式计算用到后面的例 1)

引例 3. 小球从 1 m 高处自由落下 , 每次跳起的高度 问小球是否会在某时刻停止运动减 ? 说明道

理 .

由自由落体运动方程 ² 2

1 g t

s  _知

g t  2 s

则小球运动的时间为 t1

T   2t₂  2t₃ 



 

g

2 1 



 



  2

2 1 ₂

) 2 (

 1 



^{1 2}



2 

 g



^{2 1}



^{ 2.63 ( s )}



 设 t_k 表示第 k 次小球落地的时间 ,

( 此式计算用到 后面的例 1)

少一半 ,

定义：给定一个数列 u₁ , u₂ , u₃ , , u_n , _将各项依 ,



^1



n un _即



^

1

n un  u₁  u₂  u₃    u_n  

称上式为无穷级数，其中第 n 项uⁿ _{叫做级数的一般项 ,} 级数的前 n 项

和





 ⁿ

k

k

n u

S

1

称为级数的部分和 .

un

u u

u    

 1 2 3  次相加 , 简记为

,

lim 时 时

时 S_n S

n 





收敛 ,

则称无穷级数 并称 S 为级数的和 ,记作



^





1 n un

S

当级数收敛时 , 称差值









 _{n n1 n2}

n S S u u

r

为级数的余项 .

,

lim 不存在

若 _n

n S



 则称无穷级数发散 .

显然

0 lim 



 n

n r

例 1. 讨论等比级数 ( 又称几何级数 )

) 0

2 (

0















^ 



a q

a q

a q

a a

q

a ⁿ

n

n  

( q 称为公比 ) 的敛散性 . 解 : 1) 若q  1,

1

2   





 ⁿ

n a a q a q a q

S   ^a_1^a_q^qn 时，

当 q 1 lim  0,





n

n q

时 时 _{从而 n} ^a_q

n S _



  ₁ lim

因此级数收敛 , _1^a_q ; ,

1时

当 q  lim   ,





n

n q

由于 从而 lim   ,



 n

n S

则部分和

因此级数发散 .

其和为

2). 若 q 1, , 1时

当 q  S_n  n a _{因此级数发散 ;} ,

1时 当q  



  







 a a a ^ a

a ( 1)^{n 1}

因此 S_n   n 为奇数

n 为偶数

从而 _n

n S



lim

综合 1) 、 2) 可 知 ,

 1

q _时 , 等比级数收敛 ;

1

q _时 , 等比级数发散 .

则

 ,



级数成为

, a

, 0

不存在 , 因此级数发散 .

) 0 (

,

0



^ 



a q

a

n

n

例 2. 判别下列级数的敛散性 :

) . 1 (

) 1 2 (

1 ; ln

) 1 (

1

1





^





 



n

n n n n

n

解 : (1) 1 ln 2

n  S



^{ln(n 1) ln n}



) 2 ln 3

(ln )

1 ln 2

(ln       

 

) 1 ln( 

 n   (n  ） 所以级数 (1) 发散 ;

技巧 :

利用 “拆项相消” 求和

2 ln 3

 3

ln 4

 n

n 1 ln 





(2) ( 1) 1

4 3

1 3

2 1 2

1 1



 

 

 

 

 n n

S_n 



 

 

 2

1 1

1 1 1

 

 n 1 ( n  ） 所以级数 (2) 收敛 , 其和为 1 .



 

 

 3

1 2

1 



 

 

 4

1 3

1 



 





 



 1

1 1

n

 n

技巧 :

利用 “拆项相消” 求和

例 3.判别级数



^

 





2 2

1 1 ln

n n ^{的敛散性 .} 解 :



^{1 1}₂



ln  n

 ₂

2 1 ln n

n 

  ln(n 1)  ln(n 1)  2ln n



₂



2

1 1

ln k

S

n k

n  







] 2 ln 2 1

ln 3

[ln  

  [ln4  ln 2  2ln3]

] ln 2 )

1 ln(

) 1

[ln(n   n   n







 [ln5 ]

4 ln 2 3

ln 

 2

ln

  ln(n 1)  ln n  ln(1 ¹_n)  ln 2 ,

2 ln lim  

  n

n S _{故原级数收敛} , 其和为 ln 2.

二、无穷级数的基本性质

性质 1. 若级数



^

1

n un _{收敛于 S ,} ,



^1





n

un

S _则各项

乘以常数 c 所得级

数



^

1 n

un

c _也收敛 , 证 : 令 ,



1



 ⁿ

k k

n u

S _则





 ⁿ

k

k

n cu

1

  c S_n ,

n  n



 lim  c S 这说明



^

1 n

un

c _{收敛 , 其和为 c S} .

n Sn

c 

 lim

说明 : 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .

即

其和为 c S .

性质 2. 设有两个收敛级数 ,



^1





n un

S



^





1 n vn



则级数 ( )

1 n

n



^ un  v



也收敛 , 其和为S  . 证 : 令 ,



1



 ⁿ

k k

n u

S ,



1



 ⁿ

k k

n v

 _则

) (

1

k n

k

k

n 



u  v



  _Sn  _n  S  (n  ) 这说明级数 ( )

1 n

n



^ un  v

 也收敛 , 其和为S  .

说明 :

(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( )

1

n n

n v

u 



^

必发散 . 

但若二级数都发散 , ( )

1

n n

n v

u 



^

 不一定发散 . 例如 , 取 u_n  (1)²ⁿ, v_n  (1)^2n1,

 0

 _n

n v

而u

(1) 性质 2 表明收敛级数可逐项相加或相

减 .

( 用反证法可证 )

性质 3. 在级数前面加上或去掉有限项 , 不会影响级 的敛散性数.

证 : 将级数



^

1

n un _的前 k 项去掉 ,



^

  1

n uk n

的部分和为



 

 ⁿ

l

l k

n u

1

  S_kn  S_k

n k n 与S _ , 

时 由于n   数敛散性相同 .

当级数收敛时 , 其和的关系为  S  S_k . 类似可证前面加上有限项的情况 .

极限状况相同 , 故新旧两级 所得新级数

性质 4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和 .

证 : 设收敛级数 ,



^1





n un

S _{若按某一规律加括弧} ,









 ) ( )

(u₁ u₂ u₃ u₄ u₅

则新级数的部分和序列  _m (m 1,2,)_{为原级数部分和} 序列 S_n ( n 1, 2 , )_{的一个子序列 ,}

n n

m m S







  lim

lim   S

推论 : 若加括弧后的级数发散 , 则原级数必发 散 .

注意 : 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛

. (11)  (11)   0 , ^但 1111 _发散 . 因此必有

例如，

用反证法可证

例如

三、级数收敛的必要条件

设收敛级数 ,



^1





n

un

S _则必有 lim  0.



 n

n u

证 : u_n  S_n  S_n1

lim 1

lim

lim _











  

 _n

n n n n

n u S S  S  S  0

可见 : 若级数的一般项不趋于 0 , 则级数必发散

.例如 , ,

) 1 1 5 (

4 4

3 3

2 2

1 ₁



 

 









 ^

n

n n 其一般项为

) 1 1

( ¹

 

 ^

n u_n ⁿ n

不趋于 0,因此这个级数发散 . un

n 时 , 时  

注意 : lim  0



 n

n u 并非级数收敛的充分条件 . 例如 , 调和级数



^     

 n n

n

1 3

1 2

1 1 1

1

虽然 1 0时 lim

lim  







 u n

n n

n 但此级数发散 . 事实上 , 假设调和级数收敛于 S ,

则 lim ( ₂  )  0



 n n

n S S

n n

 2 n n

n

n 2

1 3

1 2

1 1

1  

 

 

 

但 S_2n  S_n 

矛盾 ! 所以假设不真 .

2

 1

例 4. 判断级数的敛散性 :

 











_{    }

 41 1

1 41 1

31 1

31 1

21 1

21

解 : 考虑加括号后的级数











 _{    }

 ) ( ) ( )

( 41 1

1 41 1

31 1

31 1

21 1

21

1 1 1

1

 

 

n a_n n

1 2

  n

n n



^ a





2

发散 ,从而原级数发散 .

n n 2 1



^1





例 5. 判断下列级数的敛散性 , 若收敛求其和 :

!; ) e

1 (



^1



n n

n

n n 解 : (1) 令

2 ; 3

) 1 2 (

1 3 2



^

  

n n n n .

2

1 ) 2

3 (



^1





n n

n

! , e

n n

n n

u  n _则

 

n n

u u ₁

n n) 1

(

e

 1

  1 (n  1,2, ) 故 u_n  u_n1    u₁  e

从而 lim  0 ,



 n

n u _{这说明级数} (1) 发散 .

1 1

1) e (1 )

1

(  _n ⁿ    _n ^n

1 1

) 1 (

! ) 1 ( e









n n

n n

n n

n n!

e



^

₁ ³  3 ²  2 ) 1

2 (

n n n n

因

n n

n 3 2

1

2

3   ( 1)( 2)

) 2 (

2 1







 

n n

n

n n





 

 

 

) 2 )(

1 (

1 )

1 (

1 2

1

n n

n

n ( n  1, 2, )



  

 ⁿ

k

n k k k

S

1 3 3 2 2

1



 





 

 ⁿ 

k ₁ k k (k 1)(k 2) 1

) 1 (

1 2

1

进行拆项相消

4, lim  1

  n

n S _{这说明原级数收敛 ,} . 4 1 )

2 )(

1 (

1



 

n n

n

其和为







 

 

) 2 )(

1 (

1 2

1 1 2

1

n n

(2)



^





1 2 1 ) 2

3 (

n n

n









 _{2 3} 

2 5 2

3 2

1

Sn n _n

2 1 2 

n

n S

S  ₂¹



 



     

 _{2 3 4 1}

2

1 2

2 5 2

3 2

1

n

 n



 2

1 

2

1 ₂  2

1

1

3 2

1 2

1

 

 _{n 1}

2

1 2



 n_n



 2 1

12 2

1

1 1 2

1 ¹



 _n

2 1

1 2



 n_n

2 1

1 1 2

1

 



 _{n 1}

2

1 2



 n_n 2 ,

1 2

2

3 _n1 _{2 n}

n

S    n 

 _



 



     

 n _n

2 1 2

2 5 2

3 2

1

3

2 

这说明原级数收敛 , 其和为 3 .

3 lim 



 n

n S

时 (3)

的充要条件是 :

* 四、柯西审敛原理

定理 . 级数



^ 收敛

1

n un   0, N  N_ ,









 _{ }

 n n p

n u u

u _{1 2} 

时，

当n  N 对任意 p  N_, _有

证 : 设所给级数部分和数列为 S_n(n  1,2,), 因为













 _{  }

 n n p n p n

n u u S S

u 1 2 

所以利用数列 S_n (n 1,2,) _{的柯西审敛原理} ⁽ 第一章 第六节 ) , 即得本定理的结论 .

例 6. 1 .

1 2 的敛散性



^

 n n

p n n

n u u

u _1  _2  _ 解 : 时 时 时 p  N_ , _有

利用柯西审敛原理判别级数

2 2

2 ( )

1 )

2 (

1 )

1 (

1

p n

n

n   

 

  

) )(

1 (

1 )

2 )(

1 (

1 )

1 (

1

p n

p n

n n

n

n     



 

  

1 ) 1

( 1 2)

1 1

( 1 1)

1 (1

p n

p n

n n

n

n  



 

 

 

 



 

p n

n  

 1 1

n

 1

,

 0



  取

 

，



 1

N _当 n﹥N 时 , 对任意 p  N_, 都有











 _{ }

 u u n

u_{n n n p} 1

2

1 

由柯西审敛原理可知 , 级数 1 .

1 2 收敛



^

 n n

作业

P253 1

^{(1), (3)} ；

2

(2), (3), (4) ；

3

⁽²⁾

；

4

(1), (3), (5); ^*

5

^{(3), (4)}