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第二节

二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则

函数的求导法则

第二章

解决求导问题的思路 :

x

x f x

x x f

f x 





 

  

) ( )

lim ( )

( 0 (

构造性定义

)

求导法则

其他基本初等 函数求导公式

0

x cos x 1

  ) ( C

  ) sin

( x

  ) ln ( x

证明中利用了 两个重要极限 初等函数求导问题

本节内容

一、四则运算求导法则

定理

1.

的和、差、积、商

(

除分母 为

0

的点外

)

都在点

x

可导 且

,

下面分三部分加以证明

,

并同时给出相应的推论和 例题

.

可导 都在点

及

函数

u  u(x) v  v(x) x )

( )

(x v x

u

及

) ( )

( ]

) ( )

( [ ) 1

( u x  v x   u x  v x

) ( ) ( )

( ) ( ]

) ( ) ( [ ) 2

( u x v x   u x v x  u x v x

) (

) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ) (

3

( ₂

x v

x v x u x

v x u x

v x

u   

 



 (v(x)  0)

此法则可推广到任意有限项的情形

.

证

:

设 则

v u

v

u  )     (

) 1 (

故结论成立

.

例如

,

, ) ( )

( )

(x u x v x

f  

h

x f h

x x f

f h

) ( )

lim ( )

( 0



 

 

h

x v x

u h

x v h

x u

h

)]

( )

( [ )]

( )

( lim [

0









 



h

x u h

x u

h

) ( )

lim (

0



 

 h

x v h

x v

h

) ( )

lim (

0



 



) ( )

(x v x u  



w v

u w

v

u   )       (

(2) ( ^{u v} )   ^u  ^v  ^{u v }

证

:

设

f (x)  u(x)v(x) ,

则有

h

x f h

x x f

f h

) ( )

lim ( )

( 0



 

  h

x v x u h

x v h x

u

h

) ( ) ( )

( ) lim (

0





 



故结论成立

. )

( ) ( )

( )

(x v x u x v x

u  



  

  h

h x

u

h

)

lim (

0

) (x

u v(x  h)



 

h

x v( )

)u(x v(x  h)

推论

:1) (C u ) 

  ) (

)

2 uvw

u C 

w v u w

v u w

v

u    

  ) log

( )

3 _a x





 





a x ln ln

a x ln

 1

( C

为常数

)

例

1.

解

:

x sin

 4

1 2 (

1  sin1)

, ) 1 sin cos

4

( ³  

 x x x

y

求

y

及

y _x1.

 

y ( x )

 x







 ( 4cos sin1) 2

1 ₃

x x x

3 2

( x

x )

 _x1 

y  4cos1  (3  4sin1) 1

cos 2

1 2sin

7 2

7  



) 1 sin cos

4

( x³  x 

) 1 sin cos

4

( x³  x  





 

 ( ) ( )

lim0 v x h v x

h

) ( ) (

) (

) ( )

( ) (

x v h x

v

h x

v x u x

v h x

u









h

) ( )

(x v x

 u

(3)  

₂

v

v u v

u v

u   

 

证

:

设

f (x) 

_则有

h

x f h

x x f

f h

) ( )

lim ( )

( 0



 

  ^h h

lim0



)

,

( ) (

x v

x u

) (

) (

h x

v

h x

u





) (

) (

x v

x

 u

h h x

u(  )  u (x) v(x)

h h x

v(  ) )

(x

 u  v(x)

故结论成立

. )

(

) ( ) ( )

( ) (

2 x v

x v x u x

v x

u  



推论

:

 

₂

v v C v

C     _{( C}

_为常数

₎

  ) (csc x





 





x sin

1

2 x

 sin(sin x)

2 x

 sin

例

2.

求证

(tan x)  sec² x ,

证

:

. cot csc

)

(csc x    x x





 



 

 x

x x

cos ) sin

(tan 

2 x cos

x x) cos

(sin   sin x (cos x)

 cos² x

2 x

cos  sin² x  sec² x

x

 cos

x x cot

csc



类似可证

: (cot x)  csc² x , (sec x)  sec x tan x .

)

( 

 x f

二、反函数的求导法则

定理

2.

y

的某邻域内单调可导

,

证

:

在

x

处给增量 由反函数的单调性知

且由反函数的连续性知 因此

, )

( )

(

为

¹

的反函数

设

y  f x x  f ^ y f ^1(y)

在

0

] ) (

[ f ^1 y  

且

d

d 

x

或

y

,

 0

x

) ( )

(x x f x

f

y    

  0, 



 

x y

yx



, 0

0  



x

时必有

y

x x y

f x 

 

( ) lim0 lim0

 

y yx



y x d d

 1

] ) (

[ f ^1 y 

1

1

] ) (

[ f ^1 y  1

1

 1

例

3.

求反三角函数及指数函数的导数

.

解

: 1)

设

y  arcsin x ,

_则

x  sin y , ) , 2 , π 2 ( π

 y

) (arcsin x 

)

(sin y  cos y

 1

2 y sin 1

1

  1 2

1

 x



类似可求得

? )

(arccos x  

1 , ) 1

(arctan ₂

x x

 

 ₂

1 ) 1

arccot

( x x

 

  1 2

1

 x

 x arcsin x

2 arccos  π 

利用

0 cos 

 y ^,

则

2)

设

y  a^x (a  0 , a  1) ,

_则

x  log_a y , y  (0 ,  ) )

( 

 a^x

) (log

1

 

a y

 1

a y ln

1  y ln a  a^x ln a

x x ) e e

(  

  ) arcsin

( x ₂

1 1

 x ( arccos x) 

1 2

1

 x



  ) arctan

( x ₂

1 1

 x (arccot x)  ₂ 1

1

 x

 a

a

a^x ) ^x ln

(   (e^x )  e^x

特别当 a  e _时

^,

小结

:

推论

3)

在点

x

可导

,





  

limx 0 x

u x

u u

f 

 



( ) 



x

y x

y

x 

 

 lim0

d d

三、复合函数求导法则

定理

3.

u  g ( x ) y  f (u ) _在点 u  g ( x )

可导 复合函数 y  f [ g ( x ) ] _且

)

( )

d (

d f u g x

x

y   

在点

x

可导

,

证

: y  f (u)

^在点

^u

^{可导 故}

^, lim ( )

0 f u

u y

u  









u u

u f

y     



 ( )

 （当 时

)

 0

u

  0

故有

) ( )

(u g x f  

 u

y



)  f (u) 



0

( )

(  



 



 

 

 x

x u x

u u x f

y



例如

, y  f (u) , u 



(v) , v 



(x) x 

y d d

) ( )

( )

(u v x

f  



 



^



y u

v x u 

y d

d 

v u d d

x v d d

关键

:

搞清复合函数结构

,

由外向内逐层求导

.

推广：此法则可推广到多个中间变量的情形

.

例

4.

求下列导数

:(1) (x^ ); (2) (x^x); (3) (sh x).

解

: (1)(x^ )  (e^{ ln x} ) e^{ ln x (} ^{ln x)}  x^ 

x



1

  x^ ) (e

)

(x^x   ^{x ln x}   e^{x ln x(xln x)  xx (ln x 1)} (2)

(3) ^{ }



^{ }



^

2 e ) e

(sh

x x

x 2

 e^x  e^x _{ ch x}

说明

:

类似可得

; sh )

(ch x   x

a x

ax  e ^ln )

(th x  (a^x)

x x x

ch th  sh

2 e sh e

x x

x

 



ch ; 1

2 x

  a^x ln a .

例

5.

设

y  ln cos(e^x ) ,

_求

. d d

x y

解

:

x y d d

) cos(e

1

 x  (sin(e^x ))  e^x )

tan(e

e^{x x}





思考

:

若

f (u)

_存在

_,

_如何求

f (ln cos(e^x ))

_的导数

?

x f d

d  f ( )  (ln cos(e^x ))

) cos(e

) ln

(u u x

f  _

这两个记号含义不同

  )

cos(e

ln ^x

例

6.

设

y  ln ( x  x² 1) ,

求

y.

解

: 



 

 1

1 x2

y x



^1

1 2

1

2 

x ^{ 2x}



1 1

2 

 x

记

arsh x  ln ( x  x² 1) ,

则

  ) (arsh x

1 1

2  x

(

反双曲正弦

)

其他反双曲函数的导数看参考书自推

.

2 e sh e

x x

x   ^

的反函数

双曲正弦

四、初等函数的求导问题

1.

常数和基本初等函数的导数

^(P95)

  )

(C 0 (x^ ) 



x^1

  )

(sin x cos x (cos x)   sin x

  )

(tan x sec² x (cot x)   csc² x

  )

(sec x sec x tan x (csc x) 

 csc x cot x

  )

(a^x a^x ln a (e^x )  e^x

  ) (log_a x

a x ln

1 (ln x) 

x 1

  )

(arcsin x ₂

1 1

 x (arccos x)  ₂

1 1

 x



  )

(arctan x ₂

1 1

 x (arccot x)  ₂

1 1

 x



2.

有限次四则运算的求导法则

 

 )

( u v

u  v

( C u )   C u 

  )

( u v u  v  u v    ^{ }

v u

v

2

v u v

u   

( C

为常数

)

( v  0 )

3.

复合函数求导法则

) ( ,

)

( u u x

f

y   

x  y d

d

 f  ( u )   ^ ( x )

4.

初等函数在定义区间内可导

,

  )

(C 0

  )

(sin x cos x

  ) (ln x

x 1

由定义证

,

说明

:

最基本的公 式

u y d

d

x u d

 d

其他公式 用求导法则推出

且导数仍为初等函数

例

7.

求 解

:

1 , 1

1 1











 

x x

x

y x y  .

2

1 2

2 

²



 x x



y  x  x

²

 1

 1

 y 

1 2

1

2



 x  ( 2 x )

1 1

2





 x

x

例

8.

设 y  x

^aa

 a

^xa

 a

^ax

( a  0 ),

解

:

y   a

^a

x

^aa1

 a

^xa

ln a

 ax^a1

a

a

^ax

ln



求 y  .

a a

^x

ln



先化简后求导

例

9.

求 解

:

, 1 arctan

e^{sin 2 2} 

 x

y ^x y .

1 arctan

)

( ² 

  x

y

) (

e^sinx2



sin 2

e ^x cos x²  2x

2

1

x 2 1

1

2 

 x  2x

x

 2 cos x² e^{sin x2} arctan x² 1

sin 2

e ^x 1

1

2 

 x x

关键

:

搞清复合函数结构

由外向内逐层求

导

例

10.

设 , 求

1 1

1 ln 1

4 1 1

arctan 2

1

2 2 2







 



 x

x x

y y  .

解

:y 

2 2 ) 1

( 1

1 2

1

 x

 1 x²

x

 

) 1 1

ln(

) 1 1

ln(  x²    x² 



1 1

1 4

1

2 

 

x 1 x²

x

 

1 1

1

2 

 

x



1 x2

x

 

2



2 1 1

x x

  ₂

2 1

 x

¹₂



 x

2 3) 1

2 (

1

x x

x  

 

内容小结

求导公式及求导法则

⁽

^见

^{P95 ~ P96)}

注意

: 1) (uv)  uv,

v u v

u



 





 





2)

搞清复合函数结构

,

由外向内逐层求导

.

4

1 1

4

3 ^



 



 

1.

_^ x



 





x x

1 



 



 



 



  ⁴ 1 3

x



思考与练习

对吗 ?

2

1 1

4

3 ⁴¹ x x

 



 



  ^

2.

设

f (x)  (x  a)



(x),

_其中 

(x)

_在

_{x  a}

因

^{f (x) }

^

^{(x)  (x  a)}

^

^(x)

故

^{f (a)}



^

^

^(a)

a x

a f x

a f

f x a 

 

 

) ( )

lim ( )

( x a

x a

x

a

x 

 



) ( )

lim (



) (

lim x

a

x



  



(a)

正确解法 :

) (a

f  _时

_,

_{下列做法是否正确}

_?

在求

处连续

,

由于

f (a) = 0

，故

3.

求下列函数的导数

解

: (1)

1

 

 



 



b

x b a

y 

₂



x

 a

  

_b^b1

x b a

(2)

y   ^{ (  x ) }

(1) ; (2) .

b x

a a

y y

x b

   

       

x

b a

^

 

 





b ln a

x

a b 



 



 

 b

ln a

或    ^



 



 



^x

a y b

a b a

b

^x

 ln



 



 

4.

设

f (x)  x (x 1)(x  2)(x  99),

_求

f (0).

解

:

方法

1

利用导数定 义

.

0

) 0 ( )

lim ( )

0

( 0 

 

  x

f x

f f

x

) 99 (

) 2 )(

1 (

lim0   

  x x x

x   99!

方法

2

利用求导公式

. f (x)  (x)

 x [(x 1)(x  2)(x  99)] )]

99 (

) 2 )(

1

[(   

 x x  x

! 99 )

0

(  

 f 

作业

P 97

2

(2) , (8) , (10)

; 3

^{(2) , (3)}

; 4 ; 6

^{(6) ,(8)}

; 7

(3) , (7) , (10)

;

8

(4) , (5) , (8) , (10)

; 10;

11

^{(3) , (8)}

,

⁽¹⁰⁾

;

^*

12

(4) , (8) ;

14

备用题

1

.

设

  y

x x x

x

sec 2 1

csc 2 4

1

₂

3

2







2 , 2 tan

cot x

y  x 

解：  csc

²

2 x

x sec

²

2

x  2

1 2

 1 1 )

2 ( 1

2  x

3



2 .

设 y  f ( f ( f ( x ))) ,

解

:

y   f  ( f ( f ( x )) )  f  (

f (x)

)  f  ( x )

其中 f ( x ) _可导

_,

_求 y  .

求 y  .