§6 常微分方程的数值解法

(1)

§ 6 常微分方程的数值解法一、一阶微分方程初值问题的数值解

要求微分方程

 

^x ^y

x f

y ,

d

d 

在初始条件

 

y x₀  y₀ 下的数值解，就是要在解存在的区间的一系列点

x₀ x₁ x₂   x_n  上从初值y₀出发，逐个求出y(x_i)的近似值y_i .

[改进的欧拉方法（预报校正法）] 计算公式为

 

  

^{ }



 

















) 2 ( ,

2 ,

) 1 ( ,

0 1 1 1

0 1

n n n

n n

n

n n n

n

y x f y x h f y y

y x hf y y

式中y_n表示y(x_n)的近似值，hx_i_1x_i表示步长.这里截断误差为

 

RO h³

这个方法中，(1)式用折线法提供初值，称为预报公式.(2)式用梯形法给出较精确的值，

称为校正公式.合称预报校正公式.

[龙格-库塔方法] 计算公式为

 

y_n_₁  y_n 1 k₁  k₂  k₃ k₄

6 2 2

式中

 

k hf x y

k hf x h

y k

k hf x h

y k

k hf x h y k

n n

1

2

1

3

2

4 3

2 2



   







   







  

, , , , 截断误差为 R=O(h⁵) 手算时按下表自上而下进行.

xm y_m k_i hf k

(2)

x0

h x x h x h



0 0 0

2 2

h x x₁  ₀ 

y0

3 0

2 0

1 0

2 2

k y y k y k



0 6

1

y k y  



₀ ₀ ₃



4

2 0 0

3

1 0 0

2

0 0 1

,

2 ) 2,

(

2) 2,

(

) , (

k y h x hf k

y k x h

hf k

y k x h

hf k

y x hf k













k

k k





) (

2 ₂ ₃

4 1

[阿达姆斯方法]

1 内插公式

       

 

y y h

f x y f x y f x y f x y

n₁  n  n₁ n₁  n n  n₁ n₁  n₂ n₂

24 9 , 19 , 5 , ,

这是关于y_n_₁的隐式方程，只要h比较小，可用迭代法求解.

2 外推公式

       

 

y y h

f x y f x y f x y f x y

n₁  n  n n  n₁ n₁  n₂ n₂  n₃ n₃

24 55 , 59 , 37 , 9 ,

这是关于y_n+1的显式方程，只要知道前几点的值，就可从公式中直接算出y_n+1. 3 预报校正公式

 

         



 

 ^ ^ ^ ^{ } ^

 

y y h

f x y f x y f x y f x y

y y h

f x y f x y f x y f x y

n n n n n n n n n n

      

      

    

    

1 0

1 1 2 2 3 3

1 1 1

0

1 1 2 2

24 55 59 37 9

24 9 19 5

, , , ,

截断误差都为

R=O(h⁵)

阿达姆斯方法可以单独采用外推公式计算，每算一个y_n+1，只要计算一次f(x,y)的值，计

算量比龙格-库塔法小，而截断误差同阶，所以计算量小是外推法优点之一.缺点是前几个y_i 值不能用此法计算，计算y₁,y₂,y₃需采用其他方法（一般可用龙格-库塔法）.

补充说明 1 阿达姆斯方法中，计算y_n+1的值，要用到y_n,y_n_₁,y_n_₂,y_n_₃所以称为多步法.

而改进的欧拉法、龙格-库塔法，只要用到y_n，所以称为一步法.

2 一步法中途改变步长方便，多步法中途改变步长麻烦，因要用一步法重新算出开头几项.

3 多步法还有一个优点，即可顺便估计出截断误差.

用y_n+1^(E)和y_n+1^(I)分别表示用外推和内插公式算得的值，有

 

^{ } ^{ }

  

^{ } ^{ }



y x_n_₁ y_nÎ_₁   19 h y⁵ ⁵ x_n    y_nÎ_₁ y_nÊ_₁ 720

19

 720 式中 ^{ }

 

xn

x

n x

x y y



 ⁵₅

5

d

d .若计算时规定的允许误差不超过ε ，就将ε 与

   

 

 19 _  _ 720 y_n^I¹ y_n^E¹

(3)

比较，如果 ^₇₂₀¹⁹



^yⁿ^{ }^^I¹ ^^yⁿ^{ }^^E¹



^^，可继续计算，否则说明误差太大，应当缩小步长.若

   

 

 19 _  _

720 y_n^I¹ y_n^E¹ 比ε 小得多，不妨将步长放大，提高计算速度.

二、一阶微分方程组初值问题的数值解

这里为书写简便，只讨论含两个未知函数的微分方程组，含多个未知函数的微分方程组，计算公式类同.

 









z y x x g z

z y x x f y

, d ,

d

, d ,

d

和初始条件

   

y x₀  y₀ , z x₀  z₀ [改进的欧拉方法（预报校正法）]

预报公式

 

y y hf x y z

z z hg x y z

n n n n n



 







1 0

, , , , 校正公式

  

^{ } ^{ }



 

  

^{ } ^{ }



 

y y h

f x y z f x y z

z z h

g x y z g x y z

n n n n n n n n

   

  







1 1 1

0 1 0

1 1 1

0 1 0

2 2

, , , ,

[龙格-库塔方法] 计算公式为

 

y y k k k k

z z l l l l

n n



    







1 1 2 3 4

1

6 2 2

1

6 2 2

其中

 

k hf x y z

k hf x h

y k

z l

k hf x h

y k

z l

k hf x h y k z l

l hg x y z

l hg x h

y k

z l l hg x h

y k

z l

n n n

1

2

1 1

3

2 2

4 3 3

1

2

1 1

3

2

2 2 2

2 2



    







    







   



    







   

, ,

 

2

4 3 3

2









   

l hg x_n h y, _n k z, _n l

(4)

先计算k₁,l₁,k₂,l₂,k₃,l₃,k₄,l₄,再计算y_n+1,z_n+1. [阿达姆斯方法的预报校正公式]

预报值（外推公式）

 

    

    

 

    

    











































3 3 3 2

2 2

1 1 1 0

1

3 3 3 2

2 2

1 1 1 0

1

, , 9

, , 37

, , 59 ,

, 24 55

, , 9

, , 37

, , 59 ,

, 24 55

n n n n

n n

n n n n

n n n

n

n n n n

n n

n n n n

n n n

n

z y x g z

y x g

z y x g z

y x h g

z z

z y x f z

y x f

z y x f z

y x h f

y y

校正值（内插公式）

   



    

   



    







































2 2 2 1

1 1

0 1 0

1 1 1

2 2 2 1

1 1

0 1 0

1 1 1

, , ,

, 5

, , 19 ,

, 24 9

, , ,

, 5

, , 19 ,

, 24 9

n n n n

n n

n n n n

n n n

n

n n n n

n n

n n n n

n n n

n

z y x g z

y x g

z y x g z

y x h g z z

z y x f z y x f

z y x f z

y x h f y y

前几个y_j和z_j的计算与本节一中的龙格-库塔方法相同.

三、边值问题

这里只讨论二阶线性常微分方程的边值问题.

     





















 y b x

y a x

x f y x x q x y x p

y

, ,

d d d

d

2 2

(1)

[差分方法] 将区间[a,b]分成n等份，步长h b a

 n ，分点x₀=a, x₁=a+h, …, x_k=a+kh, …,x_n=b 称为节点.把微商用差商代替，边值问题化为下面差分方程组的求解问题.

 

y y y

h p y y

k q y f k n

y y

k k k

k

k k

k k k

n

     

 

   















1 1

2

1 1

0

2

2 1 2, ,, 1





式中y_k=y(x_k),p_k=p(x_k),q_k=q(x_k),f_k=f(x_k) (k1,2,,n1).上面的差分方程组可看成n+1个未知量

y₀,y₁,y₂,…,y_n 的线性代数方程组，方程个数也是n+1.整理合并同类项，差分方程组可改写成

y

a y b y c y d

y

k k k k k k k

n 0

1 1



  







 ^ ^





(k1,2,,n1) 式中

(5)

 

a h

p

b h q

c h

p d h f

k n

k k

 

  

 













 

1 2

2

1 2

1 2 1

2

, ,,

这是一种特殊形式的线性代数方程组,除了可用消元法，迭代法等求解外，还可用更简便有效的方法—追赶法(见第四章, §3).

在应用上，还可能遇到下面形式的边界条件：















2 2

1 1

d ,d







 x y b y x

x y a y x

式中α ₁，α ₂，β ₁，β ₂是已知常数.这时，上面差分方程组中相应于边界条件的那两个方程要换成：

y y

h y

y y

h y

n n

n

1 0

1 0 1

1

2 2

  

 ^  

 

[化为初值问题的数值解] 先求出初值问题

     

   

    



 







y p x y q x y f x y a a

y a 0

的数值解y₀(x)，再求出满足初始条件y(a)=0,y'(a)=1的相应齐次方程

   

     y p x y q x y 0 的数值解y₁(x).原边值问题(1)的解可表示为

     

   

y x y x y b

y b y x

  

0

0 1

1



四、小参数法

当微分方程含有绝对值很小的参数ε 时，将解写成ε 的幂级数以求得近似解析解的方法，称为小参数法.下面就常微分方程初值问题作简略介绍.

给定微分方程组



t x x

 

i n



t f x

n i

i , , , , 1,2, ,

d d

1   

  (1)

假设所有 f_i



t,x₁,,x_n,



作为t的函数是充分光滑的，作为x₁,,x_n,^{的函数是解析的，并且}

在 ε =0可以展开成ε 的幂级数

 

^{ }

 

^{ }

 

f t x_i , ₁,,x_n,  f_i⁰ t x, ₁,,x_n f_i¹ t x, ₁,,x_n  系数 f_i⁽^m⁾



t,x₁,,x_n,



又都是x₁,…,x_n的解析函数.

(6)

又给定初始条件

t=t₀时，x_i=x_i(ε )=x_i⁽⁰⁾+ε x_i⁽¹⁾+… (2) 于是方程组(1)的满足初始条件(2)的解在t与ε 的某区域上存在，并且可以展开成ε 的幂级数

 

^{ }

 

^{ }

   

x_i  x t_i ,  x_i⁰ t x_iⁱ t  i 1 2, ,,n (3) 而(3)的任何部分和便是(1)的满足(2)的近似解析解.在具体计算时，只需把级数(3)代入(1)，

把两边化为ε 的幂级数形状，再比较系数.

例求包含小参数ε 的黎卡提方程

2

d

d t x

t

x   满足初始条件

t=0, x=0 的解.

解设

   

x t x t_k ^k

k





 ^ 0

代入上述微分方程，得

k k

k

l

l k l l

l l j

j j k

k k t x x t x x

t

x  







 

 





^

  















 



 





 







 



 



0 0

0 d d 即

 



^





 







 



 





1 1

0 1 1

0

d d d

d

k

k k

l

l k l k

k k

x x t t

x t

x  

令两边ε 的同次幂系数相等，得到



2 1 2 0 3

1 0 2

2 0 1 0

d 2 d

d d

x x t x

x

x t x

x t x x

t t x





另外初始条件可改写为

 

0 0

0





 ^x^k ^k k

 于是又可列出

 

x x x x

0 1 2 3

0 0





求出

(7)

 

x t t

0

2

1

5

2

8

3

11

2 20 160

7 8800





而

 

x t t

t t t

 ²  ⁵  ² ⁸  ³ ¹¹

2 20 160

7 8800

  

是所求解的近似表达式（即近似解析解）.

§6 常微分方程的数值解法