十、微分的应用（I 函数的极值

十、微分的应用（I）— 函数的极值

1．单变量函数的极值

[极值（极大值或极小值）]若函数 f(x)在点 x₀ 的双侧邻域中有定义，并且对于某邻域

0<|x-x0|<δ 内的一切点x，下面不等式成立：

f(x)< f(x0) (或f(x)> f(x0))

则称函数f(x)在点x₀处有极大值（或极小值）.

[极值存在的必要条件]假定函数f(x)在区间(a,b)内存在有限导数.若在点x0(∈ (a,b))处函数

有极值，则必有

) (x₀

f =0 (1) 所以可微函数的极值只能在使(1)式成立的点达到，这种点称为稳定点.

[极值存在的充分条件]

第一法则 若函数f(x)满足条件：（i）在点x₀的某邻域|x-x0|<δ 内有定义并且连续，且在 点 x₀处， f(x₀)=0 或不存在，（ii）在范围 0<|x-x0|<δ 内有有限的导数 f(x)，（iii） f(x)在 点x₀的左右两侧有固定的符号，则函数f(x)在点x₀有无极值见下表：

x x < x0 x 0 x> x0 f(x)

) (x f

+

— +

—

0

— + +

—

极大值 极小值 上升 下降 第二法则 若函数f(x)有二阶导数 f (x),并且在点x0处下列条件成立：

) (x₀

f =0及 f (x₀)≠ 0

则函数f(x)在此点有极值，当 f (x₀)<0时，有极大值；当 f (x₀)>0时，有极小值.

第三法则 设函数f(x)在某邻域|x-x0|<δ 内有导数 f(x),, f⁽ⁿ⁾(x)，且 )

( ₀

)

( x

f ^k =0 （k=1,,n1） )

( ₀

)

( x

f ⁿ ≠ 0

若n为偶数，则函数f(x)在点x0处有极值（当 f ⁽ⁿ⁾(x₀)<0时有极大值，当 f⁽ⁿ⁾(x₀)>0时有极 小值）;若n为奇数，则在点x0处无极值.

以上介绍的单变量函数的极值求法中，求稳定点时最后都归结为求方程 )

(x₀ f =0

的实根.有时上述方程的实根不易求得，就要求近似根.关于实根的近似计算法可参考第三章，

§4.

2．多变量函数的极值

[极值(极大值或极小值)] 设函数

y= f(x1,x2,,x_n)= f(x) 定义于区域D中，且x⁰=(x₁⁰,x⁰₂,,x_n⁰)是这区域内的一点.

若点x⁰有一个邻域

0<|x_i x_i⁰|<δ ,i=1,2,,n 使对于其中一切点，下面不等式成立：

f(x)< f(x⁰) ( 或f(x)> f(x⁰))

则称函数f(x)在点x⁰处有极大值（或极小值）.

[极值存在的必要条件] 假定函数f(x)在区域D内存在有限偏导数.若在点x⁰(∈ D)处函数

有极值，则必有











 

 

 

0 ) (

0 ) (

0 ) (

0 0 0

2 1

x x x

xn

x x

f f f









 （2）

所以极值只能在使（2）式成立的点达到，这种点称为稳定点.

[极值存在的充分条件(二元函数的情形)] 设点x⁰=（x₁⁰,x₂⁰）为函数y= f(x1,x2)的稳定点，

并且函数f(x₁,x₂)在稳定点x⁰的邻域内有定义，连续，并有一阶及二阶连续偏导数.引进记号



0

22 11

p px

yx

0 2 1

2

1 x



 











p p

k

x x

y ，k = p1+p2

上指标“ 0” 表示偏导数是在x⁰计算的.记

D₁= ⁰2

x1

y ,D₂= _{0 0}

0 0

2 2 1 2

2 2 1

1

x x x

x x x

y y

y y

那末（i）稳定点x⁰是极小点的充分条件是：

D1>0 和 D2>0

即 ⁰2

x1

y >0 和 ^{0 0} ( ⁰ )²

2 2 1

2 2

1 x xx

x y y

y  >0

（ii）稳定点x⁰是极大点的充分条件是：

D₁<0 和 D₂>0

即 ⁰2

x1

y <0 和 ^{0 0} ( ⁰ )²

2 2 1

2 2

1 x xx

x y y

y  >0

若D2<0，则x⁰不是极值点，当D2=0时不能肯定x⁰是否极值点，必须考察更高阶的偏导

数.

[极值存在的充分条件(一般情形)] 设点x⁰=(x₁⁰,x⁰₂,,x_n⁰)为函数y= f(x)= f(x₁,x₂,,x_n)的 稳定点，并且函数f(x)在稳定点x⁰的邻域内有定义，连续，并有一阶及二阶连续偏导数.引进 记号



0

22

11 pn

n p

px x

yx _ 0

2

1 )

(

2 1

n x p n p p

k

x x

x

y









 k =



 n

i

pi 1

上指标“ 0” 表示偏导数是在x⁰计算的.定义行列式D_i为

Di

0 0

0

0 0

0

0 0

0

2 2 1

1 2 2

1 2 2

1 2

2 1 1

i i i

i

x x x x x

x x x

x x

x x x

x x

y y

y

y y

y

y y

y























对n个变量依次计算n个行列式D₁,D₂,…,Dn.那末

（i）稳定点x⁰是极小点的充分条件是：所有的行列式都是正的，即 Di>0, i=1,2,,n

（ii）稳定点x⁰是极大点的充分条件是：所有标号为偶数的行列式是正的，所有标号为奇 数的行列式是负的，即

Di<0, i=1,3,5, D_i>0, i=2,4,6,

如果上列两条件都不满足，那末稳定点可以不是极值点.如果所有的Di都是零，就必须考 察更高阶的偏导数.

3．约束条件为等式的条件极值 求函数

y = f(x), x=(x₁,x_2,,xn) 在m(m<n)个约束条件

g_k(x)=0, k =1,2,,m 下的极值.

[直接代入法] 从约束条件的m个方程中将其 m个变量解出，用其余n-m个变量表示，

然后直接代入函数中去，这样就变为一个求 n－m 个变量的函数的无约束条件的极值问题.如 果从约束方程能够将m个变量解出，这个方法是可行的.

[拉格朗日乘数法] 引进修正的系数

F=y+



 m

k k kg

1



式中λ k为待定常数.把F当作n+m个变量x₁,x₂,,x_n和λ 1,λ 2,,_m的无约束的函数，对这 些变量求一阶偏导数得稳定点所要满足的方程：

0



 xi

F ， i =1,2,,n

gk=0, k =1,2,,m 例1 求函数

y =4x₁² 5x₂² 在约束条件

2x₁+3x₂=6 下的极值.

解 由于

y =4x₁² 5x₂² 和 g =2x₁+3x₂－6=0

可知修正的函数为

F = (4x₁² 5x₂²)+λ (2x1+3x2－6) 解方程组



























 







 



0 6 3 2

0 3 10

0 2 8

2 1

2 2

1 1

x x g

x x F

x x F





得 λ ＝

7

30，x1= 14 15,x2=

7 9 所以函数F的稳定点为

x1= 14

15, x2= 7 9 由于 D1= 2

x1

F = 8 >0

D2= ( )²

2 2 1

2 2

1 x xx

x F F

F  =80>0

这是一个极小点，函数y的极小值为 7 90.

［惩罚函数法］ 在搜索极小点时引进修正函数 F = y+



 m

k

k k g P

1

)2

( (1) 式中P_k是任意大的正整数，



 m

k

k

k g

P

1

)2

( 称为惩罚函数.这样就可把问题化为新函数F的无条件 极值问题，可以用不断增大P_k的数值来极小化.也可引进如下形式的新函数

F = y+



 m

k

P k

g k

1

)2

( 式中P_k是任意大的正整数.

对搜索极大点时，惩罚函数前取负号，即引进新函数 F = y－



 m

k

k

k g

P

1

)2

( 或 F = y－



 m

k

P k

g k

1

)2

( 例２ 用惩罚函数法解例１.

解 利用方程（1）引进修正函数

F = y+P(g)²=4x₁² 5x₂² P(2x₁3x₂ 6)² 解方程组

















 











 



0 ) 6 3 2 ( 6 10

0 ) 6 3 2 ( 4 8

2 1 2

2

2 1 1

1

x x P x x

F

x x P x x

F

得 x1= 6

5x2，x2=

P 2 7 5

9

 当P很大时，x2趋于

7

9，x1趋于

14

15，这就是稳定点.由于 D1= 2

x1

F =8(1+P)>0

D2= ( )²

2 2 1

2 2

1 x xx

x F F

F  =16(5+14P)>0

所以稳定点是一个极小点，这和例1的结果一致.

4．约束条件为不等式的条件极值

比前面所考虑的更一般的极值问题是求函数

y =f(x)，x = (x1,x₂,…,xn) 在m个约束条件

g_k(x)0，k =1,2,…,m 下的极值问题，这里的m不必小于n.

[松弛变量法] 对每一约束不等式都引进一非负的松弛函数Si, 将它变为等式：

i=g_i+S_i=0 每一松弛函数S_i仅依赖于一个松弛变量x_n+i,一般取

Si=x_n²_i

引进松弛函数后就把问题化为约束条件是等式的极值问题，前面的方法就可以应用了.

例3 求函数

y =4x₁² 5x₂² 在约束条件

x11 下的极值.

解 约束条件可写为

g1=1- x10 利用松弛函数S1(x3)可将这个不等式约束化为等式

1=g₁+S₁=1x₁+x₃²=0 利用直接代入法可在函数y中将x₁消去得到

y=4(1+x₃²)²+5x₂² 这是一个无约束问题.

稳定点是x2=0,x3=0,所以x1=1.由于

D1= 2

x2

y =10>0 D2=

32 2 3

3 2 2

2

x x x

x x x

y y

y

y =

16 0

0

10 =160>0 所以稳定点是修改后的以及原来的函数的极小点，其极小值为4.

[拉格朗日乘数法] 引进松弛函数后，将约束不等式化为等式

k=g_k+S_k(x_n+k)=0, k=1,2,,m 同等式约束的情形一样，引进新的目标函数

F=y+



 m

k k k 1





这是一个n+2m个变量的无约束问题.稳定点可以由解下列方程组得到

xj

F



 =0， j=1,2,,(n+m)

k=0, k=1,2,,m

以上介绍的多变量函数的极值和条件极值求法中，求稳定点时最后都归结为求实函数方 程组

fI (x1,x₂,,xn)=0, i=1,2,,n

的一组实根.有时上列方程组的实根不易求得，要求近似根.关于实根的近似计算法可参考第三 章，§4.

十一、微分的应用（II）—曲线的性状与作图

1、曲线的性状及其条件

2、奇点

设 P₀(x₀,y₀)是曲线

F(x,y)=0

上的一点，假定函数F(x,y)在点P₀有连续的偏导数，并且满足条件 Fx（x0,y0）=0,F_y(x₀,y0)=0

则称P₀是曲线F(x,y)=0的一个奇点.

如果函数F(x,y)在点P₀(x₀,y₀)的二阶偏导数不全为零，那末称P₀为曲线的一个二重点.设 a=F_x2



x₀,y₀



,b=

F

_xy

  x

₀

, y

₀



,c=F2



x₀,y₀



y

则根据判别式acb²的符号在二重点中又可分出如下几种类型的奇点.

名称与图形 条件与性质 举 例

结点

(i)acb²<0 (ii)曲线有两支通 过点 P₀，且具有 不同切线

双纽线

1 4 ) 1

(x² y²  ²  x²  是以原点(0,0)为其结点

孤立点

(i)acb²>0

(ii)在点 P0 的充

分小的邻域里，

除了点P0外，没 有曲线上其他的 点.

曲线

0 ) 1 )(

(x²  y² x  的轨迹是由直线 x=1和原点(0,0)组 成的，原点就是它

的一个孤立点

第一种尖点

名称与图形

(i)acb² 0 (ii)曲线由两支组 成，在点P₀有公 共切线，这两支 在其公共法线的 同侧，而在公共 切线的异侧.

条件与性质

半立方抛物线

3

2 x

y 

是 以 原 点(0,0) 为 其 第 一 种 尖 点

举 例

第二种尖点

(i)acb² 0 (ii)曲线由两支组 成，在点P₀有公 共切线，这两支

曲线

0 )

(yx^{2 2} x⁵  在原点的邻近有两支，

即

在其公共法线的 同侧，又在公共 切线的同侧.

x x x y ²  ²

x x x y ²  ²

它们在原点有公共切 线，由于0<x<1,y总取正

值，所以曲线在原点的 邻近的两支都在公共切

线和法线的同侧

自切点 (i)acb² 0 (ii)曲线由两支组 成，而彼此在点 P0相切

曲线

4 0

2 x 

y

由两条抛物线 x2

y x2

y

组成，它们在原点彼此 相切

如果曲线由参数方程

x = x(t), y = y(t)

表示，那末当x(t₀)=0，y(t₀)=0时，由参数t0确定的点(x(t0), y(t0))是曲线的奇点.

特别，曲线由极坐标方程 ) (





表示，那末当(₀)=(₀)=0 时，点((₀),₀)是曲线的奇点.

例如双曲螺线

 ^a当 ∞ 时，()^()=0，所以极点 是奇点.当极角 增大到无穷时，曲线上的点无限逼近于极点，

但又不能达到（图 5.9），所以这种奇点又称为渐近点.

3、 渐近线

图5.9

曲线存在渐近线的条件及渐近线方程

曲线方程 条 件 渐进线方程

F(x,y)=0

将F(x,y)的最高次数各项之和用(x,y)表示，解 方程(x,y)=0，得

x=(y)，y=(x)





y 时，x a





x 时，yb

将y = kx+b代入F(x,y)后按x的幂次展开：

F(x,kx+b)= f₁(k)x^m f₂(k,b)x^m1 解联立方程







 0 ) , (

0 ) (

2 1

b k f

k f

得到k,b,即为渐近线的斜率和纵截距

x = a y = b

y=kx+b

y=f(x)

k

x y

x 



lim ， y kx b

x  



 ( )

lim a

x 时，y(或y时，x a)





x 时，yb(或yb时，x)

y=kx+b

x=a y=b







 ) (

) (

t y y

t x x



 ( ) lim

0

t x

t

t ， 

 ( ) lim

0

t y

t t

k

t x

t y

t

t 

 ( ) ) lim (

0

，



^{y t kx t}



^b

t

t  

 ( ) ( ) lim

0

a t

t x

t 

 ( ) lim

0

， 

 ( ) lim

0

t

t y

t



 ( ) lim

0

t x

t

t ， y t b

t

t 

 ( ) lim

0

y=kx+b

x=a y=b

) (



 _  



lim ， c

a  

 sin( )

lim  

 sin()c

4、作图 作函数

y = f(x) 的图形的步骤大致有以下几点：

（1） 确定自变量x的改变区间，讨论函数的一些基本性质，如奇偶性、对称性和周期 性等；

（2）确定曲线与坐标轴的交点；

（3）确定曲线的顶点（极大点、极小点）；

（4）确定曲线的凸部，凹部与拐点；

（5）确定曲线的渐近线；

（6）描点作图.

当然，具体问题要具体分析，以上几点不一定都要讨论.

例 画曲线

y=4( 1) ) 3

( ²



 x x

(1) x可以在区间(－∞ ,∞ )上改变，不对称，也无奇偶性和周期性.

(2) 让x=0,得到y=

4

 9；让y=0,得到x=3；就是，曲线与坐标轴交于点(0, 4

9),(3,0) (图5.10).

(3) 求出一阶与二阶导数

)2

1 ( 4

) 1 )(

3 ) (

( 



 

 x

x x x

f ,

)3

1 ( ) 2

(  

 x x

f ,得到顶点(3,0)(极小点)和

(－1,－2)(极大点).

(4) 二阶导数当x>1时为正，当x<1时为负.因此，在区间(1, ∞ 内曲线是凹的，在区间

∞ ,1)内曲线是凸的.因为 f (x)只当x=1 时变号，而x的这个值对应于一条平行于y轴的渐近 线，所以没有拐点.

(5) 当x=1时，y成为无穷大，于是这曲线有一条渐近线x=1.

再求不平行于y轴的渐近线.

k= 4

1 ) 1 ( 4

) 3 lim (

2 







 x x x

x

b=limx

4 ] 5 4 ) 1 ( 4

) 3 [(

2  



 x

x x

所以 y=

4 5 4 1 x 是一条不平行于y轴的渐近线.

由这些性质描出曲线（图5.10）.

图5.10