多元函数微积分学

6.1 多元函数微分的基本概念

6.1.6 方向导数 6.1.7 梯度 一、相关问题

1.一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点 处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．

在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？

(问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．)

2.假设你在攀登一座形状满足方程^{z10000.01x20.02y2}的山峰，且正处在坐标为

（60，100，764）的位置。（1）为了最快到达山顶，此时你应选择哪个方向进行？（2）

如果沿上所确定的方向进行，初始的上升角度是多少？

二、相关知识

1.函数的方向导数有什么几何意义？

2.函数的方向导数与函数的连续、可导、可微之间有什么关系？

3.函数的梯度有何几何意义？　　

4.函数的梯度与方向导数有什么区别和联系？

三、练习题

1.求函数

u  xyz

_{在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数。}

解 ^l 



⁹^5,4^1,14²

 

 ^4,3,12



^,

. 13 169 12

3 4

|

|^l  ² ² ²  

13

cos 12 13 , cos 3 13 ,

cos   4    

13 12 13

3 13

cos 4 cos

cos yz xz xy

z u y

u x

u l

u     







 



 



   

所以  

13

5 98 13 10 12 13 2 3 13

4

2 , 1 ,

5

      



 l

u

.

2.已知函数

f x y ( , )

_在

P x y

₀

( , )

_{0 0 点的偏导数存在，且}

f x y

_x

 ( , )

_{0 0}

 m

，求

f x y ( , )

_在

P

0_点沿

x

_{轴负方向的方向导数。}

解过

P

0_点沿

x

_{轴负方向作射线}

L

，在

P

0_{点的邻域内射线}

L

上取一点

P x (

0

  x y , )

0 _，

则

0

0 0 0 0

0

( , ) ( , )

P

lim

P

f x x y f x y PP



  

_{0 0 0 0}

0

( , ) ( , )

lim

x

f x x y f x y x

 

  

 

^{0 0 0 0} _{0 0}

0

( , ) ( , )

lim

_x

( , )

x

f x x y f x y

f x y m

x

 

   

    



所以

f x y ( , )

_在

P

_0点沿

x

_{轴负方向的方向导数为}

 m

_．

3.问函数

u xy z 

² 在点

P (1, 1,2) 

处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的

最大值．

解

^{gradu }  ^{u u u}

^x

^{   , ,}

^{y z}

 ^  ^{y z xyz xy}

²

^{, 2 ,}

²



 ^{2, 4,1} 

gradu

M

 

_{是方向导数在点}

P

取最大值的方向，

 ^{2, 4,1}  ²¹

gradu

M

  

是此方向导数的最大值。

4.问函数^uxy2z在点^P(1,1,2)处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数

的最大值。

分析 方向导数沿梯度方向取得最大值,且最大值为梯度的模。

解 ^{gradu , ,}



^y2z,2xyz,xy2



z u y u x

u 



















 

^gradu _1,1,2 



2,4,1



是方向导数取最大值的方向。

最大值为 |^gradu 1,1,2 | 21。

5.设有一座小山，取它的底面所在的平面为

xoy

坐标面，其底部所占的区域为:



^{( , ) 2  2  75}



^,

 x y x y xy

D 小山的高度函数为

h x y ( , ) 75   x

²

 y

²

 xy

。

（1）设

M ( x

₀

, y

₀

)

_为区域

D

上一点，问^h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数

最大？若记此方向导数的最大值为

g ( x

₀

, y

₀

),

_试写出

g ( x

₀

, y

₀

)

_表达式。

（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登 的起点.也就是说,要在

D

的边界线^{x2y2xy75}上找出使（1）中的 g(x, y)达到最 大值的点.试确定攀登起点的位置。（2002年考研题）

解（1） 由梯度的几何意义知，^{h(x, y)}在点

M ( x

₀

, y

₀

)

_处沿梯度

 



 



 y x i x y j

y x

gradh( , ) _{x ,y} ( ₀ 2 ₀) ( ₀ 2 ₀)

0 0

方向的方向导数最大，方向导数的最大值为该梯度的模，所以

0 2 2 0

0 0 0

0, ) ( 2 ) ( 2 )

(x y y x x y

g      5x₀² 5y₀² 8x₀y₀.

（2）令 ^{f(x,y)g2(x,y)5x2 5y2 8xy}，由题意，

只需求 f (x,y)在约束条件^{75x2y2 xy0}下的最大值点.

令^{L(x,y,)5x2 5y2 8xy(75x2 y2 xy),}则

 



 

































0 75

0 ) 2 ( 8 10

0 ) 2 ( 8 10

2 2 '

' '

xy y x L

y x x y L

x y y x L

y x







^①

②

③

①式与②相加得 ⁽x^y^)(2^)0,从而得^{y x,或 2.} 若



2,_{则由①式得}

y  x

_{,再由③式得x  5 3,y  5 3.}

若，

y   x

_{则由③式得}x5,y 5. 于是得到4个可能的极值点

).

3 5 , 3 5 ( ), 3 5 , 3 5 ( ), 5 , 5 ( ), 5 , 5

( _{2 3 4}

1  M  M M  

M

由于

f ( M

₁

)  f ( M

₂

)  450 , f ( M

₃

)  f ( M

₄

)  150

所以

M

₁

( 5 ,  5 ), M

₂

(  5 , 5 )

_{即为所求的点.}

四、思考题

1.有人说偏导数 及 分别就是函数 在 处沿

轴方向 及沿 轴方向 的方向导数.这种说法对吗？

答 上述说法不对.事实上，依方向导数定义，当 时，在 处

而 .

由此可见，前者是单侧极限，后者是双侧极限，两者并非完全一样.若 存在，则沿

方向的方向导数 也存在，且两者相等.但反之，若 存在，则 可能不存在.例如

在点(0,0)处沿 方向 ，而 不存在.

需特别指出的是：沿 轴负向 ，

，

（这里假设 在 处的偏导数与方向导数都存在）.

类似地，沿方向 的方向导数与 也不完全一样.

2.讨论函数^{z x2 y2} 在^(0,0)处的连续性、一阶偏导数的存在性、方向导数的存

在性、可微性。

解 因 ^(0,0)在 ^f(x,y)的 定 义 域 内 ， 所 以 ^f(x,y) 在 ^(0,0)处 连 续. 又 因

|

| )

0 ,

(x x² x

f   在

x  0

处不可导，所以 f_x^'(0,0)不存在； 同样 ^f(0,y) ^y2 ^{| y|}

在^y0处不可导，所以 fy^'(0,0)不存在.因此， ^f(x,y)在^(0,0)处不可微。

沿任意方向

l  (cos ,cos )  

的方向导数，

(0,0) 0

( , ) (0, 0) z lim f x y f

l

^



    



2 2

2 2

0

( ) ( )

lim 1

( ) ( )

x y

x y



  

 

  

故沿任意方向

l  (cos , cos )  

的方向导数存在。