开篇
函数 的推广，为什么在定义 gamma 函数时不满足 Γ(n) = n! ？这样是不是看起来更加舒服、自然呢？ gamma 函数是唯一满足阶乘性质的广义函数吗？ 。
无心插柳 — 沃利斯公式
我们看到了阶乘，所以沃利斯公式天然和阶乘有着紧密的联系. Infinitorum，1655）中给出的。沃利斯公式对 π 的表示如此的奇特，以至.
近似与插值的艺术
经过更详细的推导，斯特林得到了以下更好的结果： b．将上面的公式稍微整理一下，就得到了斯特林公式。这个推导的思想看起来很初级，斯特林公式非常有用，可以让我们得到n。
使用插值和一些对数技巧，斯特林计算出 log10(1012)。这个结果看似平淡无奇，但斯特林精辟地指出，实际上有 (1. 2. 我们不确定斯特林是如何推导出方程(5)的？在斯特林的讨论中他只考虑了(12)。
执行有用的近似计算。根据斯特林的插值思想，即使n是分数，他也可以近似计算阶乘。然而，斯特林的想法更多的是数值近似计算，不包括n！让我们探讨一下分数的展开式。更详细。
三封信 —伽玛函数的诞生
由于式（6）也适用于n为分数的情况，因此欧拉实际上也考虑了n的速度。丹尼尔的无穷积比欧拉的要快很多，但是欧拉的无穷积公式是可以下金蛋的。欧拉试图通过一些简单的例子进行计算，看看是否有任何规则可循。欧拉在这方面非常擅长。欧拉是一位具有非凡数学直觉的数学家。他看到了（12）。
过程中使用的沃利斯公式实际上是计算积分的产物。由此，欧拉猜想n.应该用积分形式来表达，于是欧拉开始努力将n.转化为无穷大，即造物主。数学家经常研究这些秘密。欧拉开始发问：
原积分方程中的e消失了，欧拉成功将其代入方程中。n年在罗彻斯特大学的一次讲座中。
数学王子高斯在研究伽马函数时总是使用如下定义：他发表了多篇论文，对欧拉积分进行深入研究和推广。但在勒让德的研究中，积分的参数是A -1 平移修正。被提出，主要定义为 B(x, y) 现在称为 beta 积分或 beta 函数。对 Γ(x) 定义的选择导致了这种情况。
勒让德给出的伽玛函数的定义在历史上具有决定性的作用，这个定义被法国数学家广泛采用，并在全世界推广，最终使这个定义成为现代数学的既定事实。事实的定义又如何呢？这成了一个谜，没有明确的解释。然而数学史研究者对欧拉的研究表明，欧拉本人在1730年到1768年间研究一类积分时，实际上对积分中的参数做了-1移位修改。清楚地介绍了，这个修改显然被勒让德注意到了。欧拉和勒让德在研究它们的积分形式时考虑引入-1剪切修正的原因是什么？一些数学家推测，一个可能的原因是这两位数学家指出，如果按照现代伽玛函数的定义，那么就存在。这种形式显然不像 B(x, y) 那样对称，数学家总是关心这一点。数学公式之美。
使用Π(x)的定义不能得到类似的结果借用beta函数和gamma函数满足的关系式(12)，Beta(x,y)也可以在有限域中以完全类似的方式定义方式，还有这个。这种促销也将是简单且对称的。当然，这个原因与欧拉和勒让德的选择无关，而是现代数学家给出的附加解释。
伽玛函数欣赏
通过线性变换 h:t→ct 可以得到如下函数 Γ(x)。 Weierstrass 对高斯伽马函数的形式进行变换，得到以下结果，表示为无穷积。伽玛函数还有许多奇妙的用途，它可以扩展一些重要的数学概念，例如导数。
导数的逆运算也可以有分数。这听起来真的很神奇，而伽玛函数就是实现这一目标的向导。伽玛函数在n维球体积公式中起着重要作用。这个公式并不难证明。欧拉常数 γ 是一个神奇的常数。数学家仍然没有弄清楚一个数字是有理数还是无理数。此外，还可以求出伽马函数和黎曼函数 ζ(s)。
如前所述，logГ(x) 是凸函数。我们对该函数求导得到的函数是 Ψ(x) = dlogΓ(x)，这也是一个非常重要的函数，具有以下奇妙的性质。
随机数学中的伽马函数
泊松分布、正态分布和对数正态分布都可以是伽玛分布的爱好者。因此，这两个分布的数学形式非常一致，只是泊松分布是离散的。伽马分布是连续的这种数学上的一致性是偶然的吗？从泊松分布开始，一个简单的概率物理模型实际上可以用来对伽马分布的密度函数提供清晰的解释。
概率在时间轴上独立且均匀分布，即在每个相等的时间间隔内是否接到呼叫是独立的且概率分布相同；在长度为h的每个足够小的时间片内接收到呼叫的概率与取决于时间片的长度成正比；。调用总数服从泊松分布 λ。
由于泊松分布可以认为是二项式分布的极限分布，因此我们也可以从二项式分布的角度来解释伽玛分布。显然，上式具有明确的二项分布物理意义。事实上，二项式分布和β分布之间存在一个与(17)完全相同的方程： 。
结语
它吸引了许多一流数学家对其进行探索和研究。美国数学家菲利普·J·戴维斯1959年在《美国数学月刊》上发表了介绍伽马函数的著名文章，文章详细描述了伽马函数一些性质的发现历史。这篇文章获得了肖文内奖（美国数学会颁发的数学普及奖）。他在文章中总结道：每一代人都发现了伽玛函数的一些有趣的性质，也许下一代也会发现它。 ）。
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