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(1)

臺北市立建國高級中學第九十五期通訊解題詳解

ΔABC中，已知∠ACB為直角，CD垂直AB於D（D在AB上），若AD之長為27且AB、BC、CA三邊長皆為自然數，求ΔABC之周長。

【簡答】180

【詳解】(方法一)如右圖，已知∠ACB為直角，CD⊥AB，故 ΔABC～ΔACD，得

AC AB =

AD

AC ，即AC²=ADAB。令AB= c，BC= a，CA= b，a、b、c皆自然數，

則由AD= 27，可知b² = 27c ⇒ 27 | b² ⇒ 9 | b，

令b = 9x，x是自然數，則 (9x)² = 27c ⇒ c = 3x²。又，

因為∠ACB為直角，所以a² + b² = c² ⇒ a² + 81x² = 9x⁴，即a² = 9(x⁴– 9x²)，

故 9 | a² ⇒ 3 | a。

令a = 3y，y是自然數，得9y² = 9(x⁴– 9x²) ⇒ y² = x⁴–9x²，右式配成完全平方，

得 y² + 4

81= x⁴ – 9x² + 4

81 ⇒ 4x⁴ – 36x² +81= 4y² + 81

⇒ (2x²– 9)² – (2y)²= 81 ⇒ (2x²– 9+2y)(2x²– 9 – 2y) = 81。

∵2x²–9+2y、2x²–9–2y都是整數，

2x²–9+2y＞2x²–9–2y且2x²–9+2y≧1，

∴











1 2 9 2

81 2 9 2

2 2

y x

y

x 或















3 2 9 2

27 2 9 2

2 2

y x

y

x 或

















81 2

9 2

1 2 9 2

2 2

y x

y

x ，

解得x² = 25，y = 20或x² = 12，y = 6或x² = –16，y = 20；

而x、y都是自然數，得x = 5，y = 20，代回a = 3y，b = 9x，c = 3x²，得a = 60，b = 45，c = 75 ⇒ a + b + c =180，

故所求ΔABC之周長為180。

(方法二)如上圖，ΔABC中，∠ACB為直角，CD⊥AB，

可知ΔACD～ΔCBD，得

CD AD =

BD

CD，即CD²=ADDB。令DB= d，AB= c，BC= a，CA= b，則

∵^AD= 27，

∴^CD²= 27d，其中a、b、c皆自然數，d = c–27亦為自然數。

∵^CD⊥AB，∴AC²=_AD²+CD²，BC²=_BD²+CD²

⇒ b² = 27²+27d，a² = d²+27d

⇒ b² = 27(27+d) = 27c，a² = cd ⇒ 9 | b，

令b = 9u，u是自然數，則c = 3u²，a² = 3du²，可知3d為平方數，

9501

C

D B A

(2)

令d = 3v²，v是自然數，則a = 3uv。又，d = c–27，故3v² = 27– 3u²

⇒ u²–v² = 9 ⇒ (u–v)(u+v) = 9 ⇒ u–v = 1，u+v = 9，

解得u = 5，v = 4，

代回a = 3uv，b = 9u，c = 3u²，得a = 60，b = 45，c = 75，

⇒a + b + c =180，故所求ΔABC之周長為180。

【評析】這是「幾何其表，整數關係其裡」的數論問題。

ΔABC中，a、b、c三邊長皆為自然數，∠ACB為直角，CD垂直AB於

D，AD之長為27，設BD之長為d，架構在直角三角形母子關係之下，

a 、b 、c、d四個數與27的一些關係式不難寫出，問題只在如何取捨、應用。

本題共有10位同學應徵答題，答案正確者有9位，另1位同學沒有答對。

其中台中市立人國中洪崗竣同學、台北市和平國中劉瀚聲同學、台北市民生國中蔡孟修同學、新北市康橋雙語中學蔡皓文同學等4人，答題敘述較為流暢，

討論也較完整，表現最好。其他同學則有大小缺失：有因變數頗多誤以相同字元表示不同數值者，即有代號重複應用之失；有直接指稱某數為平方數的倍數而未指陳其故者，即有推論理由不明之病；亦有不慎擴充已知條件者，值得注意的是，在題設條件下，線段CD之長為自然數並非已知，而是推論的結果，

如果藉此立基解題，指明其緣由是重點工作，也是嚴謹推理的重要基礎，不能模糊帶過。如何根據已知條件，找到有用的性質，進行有效果有條理的論述，

同學平時要多練習。直接從CD之長為自然數切入解題的同學，是誤解？還是太過跳躍？應慎思、明辨，請再深入探索。

滿分7分，答案正確的9位同學成績如下：

7分：台中市立人國中洪崗竣同學；台北市和平國中劉瀚聲同學；

台北市民生國中蔡孟修同學；新北市康橋中學蔡皓文同學。

5分：台北市天母國中余竑勳同學；台北市明德國中張峻睿同學；

台北市明德國中李浩同學。

3分：桃園縣桃園市新興國際中小學國中部游垚騰同學；

新北市蘆洲國中謝耀慶同學。

已知k 1且k 2，而二次方程式⁽k¹⁾⁽k²⁾x² ⁽⁴k ⁵⁾x³⁰的兩個根皆為整數，試求所有這樣的k值。

9502

(3)

【簡答】 2 ,1 4 ,5 2

 3 k

【詳解】把(k 1)(k 2)x² (4k5)x30因式分解得 0

] 3 ) 2 ][(

1 ) 1

[(k x k x  ，所以兩根分別為

2 , 3

1 1

 

k

k 

 。

化簡後得^k^^_^¹^ ²^_^³，所以^ ^³^^^ ^⁰。分解後為⁽ ^¹⁾⁽ ^³⁾^^³，搭配^^,^ 皆為整數，

得⁽^^,^⁾^⁽²^,^⁶^),⁽⁴^,^⁴^),⁽⁰^,⁰^),⁽^²^,^²⁾，推回去得

2 ,1 4 ,5 2

 3

k 。

【評析】本題徵答人數15人，有4人得到滿分，分別是台北市天母國中余竑勳同學、台北市和平國中劉瀚聲同學、台中市立人國中洪崗竣同學、桃園市新與國際中小學國中部游垚騰同學。而其餘同學只有得到部分分數，大多都是可以求出兩根為

2 , 3 1 1



 k

k ，但在利用兩根皆為整數的條件時，

出現錯誤或是遺漏掉了一些情形，有些可惜！

有一正方形ABCD，_E為_AD上一點，_EC與_DB交於點_F。已知__DEF的面積為 2、EAB的面積為6，求此正方形ABCD的面積以及_EA的長。

【簡答】24, 6

【詳解】

(1)DFC DBC FBC EBC FBC  EFB 假設x DFC EFB

(2)DAB DCB     2 6 x x FBC  FBC8

(3)DEF:FEB DFC:FBC 2 :x x : 8

9503

(4)

 x 4

(4)正方形^ABCD^{ }² ^DBC^^{2(4 8) 24}^{ } (5)DEF ~BCF

 DE²:BC²  DEF:BCF 2 : 8 1: 4 : 1: 2

DE BC

 

又_BC_ _{24 2 6}_

1 6

EA DE 2BC

    。

【評析】本題需要用到國三基本的三角形相似、面積比等概念，所有徵答的同學均能有所掌握。徵答人數共11人，皆為滿分7分，分別有新北市蘆洲國中謝耀慶、臺北市立天母國中余竑勳、臺北市立天母國中葉沛鎧、臺北市立民生國中蔡孟修、臺北市立和平國中劉瀚聲、臺北市立明德國中李浩、臺北市立明德國中張峻睿、臺北市立敦化國中邱可為、臺中市立立人國中洪崗竣、新北市康橋雙語高中附屬小學蔡皓文、桃園市立新與國際中小國中部游垚騰。

是否可找到21條直線，其中任三條不共點，且彼此共交出131個交點？若可，

試舉一例。

【詳解】

(1)若21條直線皆不平行，則在任三條不共點的情況下，每一條直線都可與另外 20條直線產生不同的交點，故共有20 21

2 210

  個交點，多於題設的131個！

由此可知，其中必有若干直線相互平行，使得交點數目減少。

(2)由於ⁿ條直線最多可交出( 1)

2 n n

個交點（任三條不共點時），因而若此21

條直線中包含一個n條直線構成的平行線組，則交點數會減少( 1) 2 n n

個。

(3)∵ 210 131 79 

∴ 必須找若干個平行線組，其包含的直線數總和21，且削減的交點數總和79。

(4)就ⁿ值列表如下：

9504

(5)

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

( 1) 2 n n

1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91

(5)由上表可組合出 79 78(13) 1(2) 66(12) 10(5) 3(3) 55(11) 21(7) 3(3)        即此21條直線可能分為：

A.(一組13條平行線組)(一組2條平行線組)(6條不平行的直線)

B.(一組12條平行線組)(一組5條平行線組)(一組3條平行線組)(1條直線) C. (一組11條平行線組)(一組7條平行線組)(一組3條平行線組)

【評析】

1. 給分標準

(1)做出完整的討論、並舉出一正確實例者，給予7分。

若計算過程有誤，斟酌扣1分。

(2)僅舉一例子並驗證，但無系統、一般性的討論，給予5分。

若計算過程有誤，斟酌扣1分。

(3)討論有誤、無結果者，視作答情形給予1~3分。

2. 得分統計

(1)本題共有7位同學投稿，其中得1分者1人、得5分者2人、得6分者1 人、得7分者3人。

(2)新北市蘆洲國中謝耀慶、臺北市天母國中余竑勳同學雖舉出實例，但因沒有敘明想法及求解方式，故給予5分。

(3)桃園市新與國際中小學游垚騰同學因計算過程有誤，但討論完整且結果正確，故給予6分。

(4)新北市江翠國中范谷瑜、新北市康橋雙語高中蔡皓文、臺中市立人國中洪崗竣同學能有條理的分析交點減少的原因，並有效率的進行解的分析，

因此給予滿分7分。

黑板上有若干個



號及



號排成一列，每次擦掉一個



號，並把相鄰兩個的符號變號(至多改變兩個，若無相鄰者，則不變；擦掉後仍保留空格，所謂相鄰者是中間無任何空格者)，試問一開始時，在什麼情況下，可以把全部的符號都擦掉？

例如：

















 or (無法完成)

9505

(6)

【詳解】設原來共有

n

個符號，

(1)欲證：不論

n

為何值，只要原來有奇數個



^號即可。

1

n 時，明顯可以；

2

n 時，^^^or ^^很容易就可完成；

3

n 時，；；；；接下來，不論

n

為何值，若原來有奇數個



號，由左開始找到第一個



號，若它在第一個，不論第二個為



號或



^{號，擦掉它之後，}

都會變成⁽ⁿ^¹⁾個符號，且仍有奇數個



號；若它不在第一個，

則擦掉它之後，會變成兩個比

n

少個且都有奇數個



號的小段，繼續如此的方法，則可把一小段分成更短的小段且保有奇數個



號，

最後每一個小段的長度都不大於3，則可完成。

(2)欲證：不論

n

為何值，只要原來有偶數個



號(含0個)則一定不可

能。

1

n 時，



^{明顯不可以；}

2

n 時，^^^or^^易知不能完成；

3

n 時，^^^^,^^^,^^^^,^^^易知不能完成；

接下來，不論

n

為何值，證明若原來有偶數個



號時必不行。

若為0個，則明顯不行；

若有



號，不論由任何一個



號開始，總可以把原來的分成兩小段，其中有一段有偶數個



號，或者變成一個有偶數個



號的

) 1

(n 個符號小段，無論如何，繼續下去必可存在一個沒有



^號

的小段或一直到一個有偶數個



號且長度不大於 3的小段，不管是那一種情形，必定無法完成。

【評析】

1. 本題作答者有三人，平均得分2.33分，其中桃園市新興國際中小學國中部的游垚騰同學作答相對完整。

2. 這樣的題目要解決的是：什麼樣的情況一定可以？而什麼樣的情況一定不可以？而這些情況必須要有一般性，而不只是一些特殊情況。各位同學的解題方法大都跳不開特殊性的方向，如果可以，大家可以再想想，對於這樣的題目，如何做出完整的表達。