臺北市立建國高級中學第 136 期通訊解題題目解答與評析
13601
(1) 請把11寫成若干個連續正整數的和。（大於等於2個）
(2) 請把22, 44, 88寫成若干個連續正整數的和。
(3) 請說明任何一個不小於3 的正奇數均可以寫成若干個連續正整數的和。
(4) 請說明任何一個含有奇質因數的正整數均可以寫成若干個連續正整數的和。
【詳解】
(1) 11 5 6
(2) 22 4 5 6 7
44 2 3 4 5 6 7 8 9 ( 2) ( 1) 0 1 2 3 4
88 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
(3) 2k 1 k (k1)
(4) n必可寫成n(2k 1) 2t，則由 (k k1) 開始一直往前後擴張，
直到有2t組，即
( 2 1) (t 2t 2) ( 1) ( 2 )t n k k k k k 。
若(k 2 1) 0t ，則把前面的項如(2)中88的作法刪除，故任何一 個含有奇質因數的正整數均可以寫成若干個連續正整數的和。
【評析】
1. 本題作答者有46人，平均得3.43分，其中台北市仁愛國中的鐘景翰同學、
新北市永和國中的柯志恩同學、新北市江翠國中的吳柏毅同學及新竹市實驗 高中的鄭百里同學作答完整，得7分，值得嘉許。
2. 題目的最終目的，其實是想要處理所有可寫成若干個連續正整數之和的自 然數，而哪些不可以？這個題目的安排，是提供大家一個處理的脈絡：從 簡單的數字出發，最後可以歸納出結論。這不是唯一的思考脈絡，很多同學 也提供了不同的想法，很值得鼓勵。然而，在因應到一般性的數字時，大部 分的同學就比較無法嚴謹的思考清楚或表達清楚，希望各位同學可以找相 關的問題練習，試著用自己的語言完整的表達清楚。
13602
求所有實數c使得方程式 2 18 5 0
x x c 的兩個實根可以和c構成等差數列。
【簡答】 9 c5 或9
5或 72 5
【詳解】設x x1, 2為方程式的兩根，d為公差。
(1) 若c為等差中項，得 1 2 18
2 5
x x c 9 c 5
， 此時兩根為 9 3 14
5
。
1
(2) 若c為等差數列的首項或末項，不妨設x1 c d, x2 c 2d， 則 1 2 18
2 3
x x 5 c d 2 6
3 5
d c
1 1 6
3 5
x c
, 2 1 12
3 5
x c
。
又x x1 2 c，所以 1 6 1 12
( )( )
3c 5 3 c 5 c
(5c72)(5c 9) 0 9
c 5
或 72 5
。
當 9
c5，兩根為 3 3, 5
，此時 3 9 3, ,
5 5成等差；
當 72 c 5
，兩根為 12
6, 5
，此時 72 12
5 , 6, 5
成等差。
所以 9 c 5
或9
5或 72 5
。
【評析】
本題的解法需要討論c為等差中項或者是c為等差數列的首項或末項，用 一元二次方程式的根與係數的關係來列式解出c值，最後再檢查求出的c值是 否可讓方程式有兩個實根。
本題徵答人數5人，其中3位獲得滿分7分，其餘未獲滿分同學因計算錯 誤未能求出正確答案，仍有一定的成績。
滿分7分者3人，名單如下：台北市仁愛國中鐘景翰同學、
新北市永和國中柯志恩同學、
新竹市實驗高中鄭百里同學。
獲得5分者1人，名單如下：新北市文山國中沈執中同學。
獲得2分者1人，名單如下：新竹市培英國中師亦均同學。
13603
在ABC中，ACB為鈍角，M為BC邊的中點，N在直線BC上且AM AN， 已知MN AB，證明ACB CAB 2 B。
N M
A
B C
D
H N
M
A
B C
作AH BD於點H，在BD上取一點D使得CH HD。
因為AM AN ，所以MH HN ，又CH HD，所以CM DN ， 得MN 2MC CD BC CD BD ，所以BA BD ，得
ADB BAD
。
設ACB90 ，所以ACD ADC BAD90 ， 2
B CAD
，CAB903，
得ACB CAB(90) (90 3 ) 4 2 B。
【證明2】鐘景翰同學、陳彥睿同學的解法
D
N
M C
B
A
分別以M、N為圓心，MB、AM 為半徑畫圓，交ABN外部於D點，
因為MD MB ，ND AM ，MN AB可知ABM NMD(SSS)。
令 B CMD2 ，BAM MND， 所以AMB NDM 1802 ，
連CD，因為M為BC邊的中點，所以MB MC MD ， 得MCD為等腰三角形，所以MDC90 ，得
90
CDN
。
連AD，因為AM AN ，所以ANM AMN 2 ，
得AND2 2 ，又因為AN ND，所以ADN 90 。 所以CDN ADN，得A、C、D三點共線，
因為ACB180 MCD90 ， (90 ) 2 90 3
CAB CAN B
，
所以ACB CAB(90) (90 3 ) 4 2 B。
【證明3】沈執中同學的解法
3
D
M C N B
A
作AD MN// 且AD MN ，連DM 、DB，可知ADMN為平行四邊形。
所以AN DM// 且AN DM ，又AM AN ，
所以DMB AMC N，又MB MC ，得DMB AMC(SAS)，
所以ACBD，得ADBC為等腰梯形。
令 B DAB2 ，因為AD MN AB，所以DAB為等腰三角形，
得ADB ABD DAC90 ，所以
180 90
ACB CAD
，CAB180 ACB B 903 ， 得ACB CAB(90) (90 3 ) 4 2 B。
【評析】
本題的解法關鍵主要在於如何使用MN AB這個條件，大部分的同學都使 用對稱找出等腰三角形來處理這個問題，鐘景翰同學與陳彥睿同學則是利用兩 個三角形全等得到其中的三點會共線，而沈執中同學則是找出平行四邊形來證 明，兩種解法都非常值得嘉許！
此次徵答人數7人，台北市仁愛國中鐘景翰同學、新北市文山國中沈執中同 學、新北市文山國中陳彥睿同學、新北市永和國中柯志恩同學、新竹市培英國中 師亦均同學、新竹市實驗高中鄭百里同學作答完整獲得滿分7分。新北市江翠國 中黃茂哲同學可惜證明過程不夠嚴謹，獲得6分。
13604
在9 9 的81個方格裡，分別填上從1到81這81個自然數。試證：從這張表裡 必能找出兩相鄰的數，它們的差不小於5。此處相鄰的兩數指兩個有公共邊的方 格裡的數。
【證明】利用反證法。若任相鄰兩數的差皆小於5，導出矛盾。
設1和81在方格表中所處的位置如圖示，則1、81兩數中間會經過最 多15個數。設任意兩個相鄰數之差皆小於5，則
1 1 4
a , a2 a1 4, …, a15 a14 4, 81a15 4。 把這16個不等式相加，得80 64 。矛盾！
【評析】
1. 本題徵答人數共4人，全部答對得7分者有3人。滿分名單如下：
台北市仁愛國中鐘景翰、新北市永和國中柯志恩、新竹市實驗高中鄭百里。
2. 反證法在一些存在性的問題上是一個很好的證明方式。在本題目中，命題：
「必能找出兩相鄰的數，它們的差不小於5」，它的否定是「對所有相鄰的兩 數，它們的差都小於5」，只要說明否定命題是錯的，即得證。一般而言，
說明一個命題是錯的方式是找出一個反例，所以我們可以舉1、81間格最多 的一個情況作為反例。
3. 本題答對的同學台北市仁愛國中鐘景翰、新北市永和國中柯志恩，說理清楚 值得佳許。
13605
小明與小美玩一個遊戲，在這個遊戲中，每一輪都沒有平局。他們事先約定了在 一輪遊戲中，贏的一方取m粒糖果，輸的一方取n粒糖果，且m n 0。若干輪 以後，巳知小美一共蠃了2輪，且小明共得了18粒糖果，小美共得了21粒糖果。
求m n, 之值？
【簡答】m8, n5
【詳解】在遊戲進行若干輪後，兩人共有18 21 39 3 13 粒糖果。
遊戲在每一輪後，兩人共取m n 粒糖果。
當遊戲多於2輪時，有兩種可能性：
(1) m n 3：
小明與小美共玩了13輪，其中小美贏了2輪。
由於m n 0，於是m2,n1，
小美將取到2 2 11 1 15 粒糖果，與已知矛盾。
(2) m n 13：
小明與小美共玩了3輪，其中小美贏了2輪。
這時，數對( , )m n 有以下幾種可能：
(12,1), (11, 2), (10,3), (9, 4), (8,5), (7,6)，
由於2m n 21，只有數對(8,5)滿足這一條件。
故每一輪應取m8, n5粒糖果。
【評析】
本題有很多同學參與解題，屬於較容易的題目，其中有同學寫了兩種解法，值 得嘉許。
5
