9. 广义积分.pdf

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

高等数学A

3.2.7 广义积分

第3章 一元函数积分学

3.2 定积分

3.2 定积分

3.2.7 广义积分

无穷积分

无穷积分及敛散性 无穷积分计算习例1-5

无界函数的积分

无界函数积分及敛散性

无界函数积分计算习例6-10

内容小结

广 义

积

分

我们前面讨论的积分是在有限区间上的有界 函数的积分. 在科学技术和工程中，往往需要计 算无穷区间上的积分或者计算不满足有界条件的 函数的积分，有时还需计算不满足有界条件的函 数在无穷区间上的积分. 这就需要我们将定积分 的概念及其计算方法进行推广.

我们将运用极限的方法来完成这个工作.

引例1. 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲 边梯形的面积

2

1 y  x

A

1

可记作



^

 1 2

d x A x

其含义可理解为







  ^b

b x

A x

1 2

lim d

b

b

b x ₁

lim 1 



 

 

 



 

 

 ^b b 1 1

lim

 1

引例2:曲线 与 x 轴, y 轴和直线 所围成的 开口曲边梯形的面积可记作

其含义可理解为



 

 ¹

0

lim d

  x

A x ^ _^lim_0^{ 2 x}



¹

)

1 ( 2 lim

0



 



 

 2

y  1x

0

A

x y



一、无穷积分

, )

(

, )

(

, )

(

 



_a^{ f x dx} _^b_ ^{f x dx} _^_^{ f x dx}

其形式有:

定义 1: 设函数 f (x)^在区间[a,)^{上连续，取}

a

b 

^{，如果极限}blim_



a^b f (x)dx^{存在，则称此极}

限为函数 f (x)^{在无穷区间}[a,)^{上的积分，记}

作



a^ f (x)dx^.



a^

f ( x ) dx ^

b

lim

_



a^b

f ( x ) dx

当极限存在时，称无穷积分收敛；当极限不存在 时，称无穷积分发散.

定义 2:设函数 f ( x ) ^在区间 (  , b ] ^{上连续，取} b

a  ^{，如果极限}

a

lim

_



a^b

f ( x ) dx ^{存在，则称此极} 限为函数 f ( x ) ^{在无穷区间} (  , b ] ^{上的积分，记} 作 

_^b_

^{f ( x ) dx .}





b

f ( x ) dx ^

a

lim

_



a^b

f ( x ) dx

当极限存在时，称无穷积分收敛；当极限不存在 时，称无穷积分发散.

定义 3:设函数 f ( x ) ^在区间 (  ,  ) ^{上连续,如}

果无穷积分 



0

f ( x ) dx ^和 

0^

f ( x ) dx ^{都收敛，则}

称上述两无穷积分之和为函数 f ( x ) ^{在无穷区间} )

,

(   ^{上的无穷积分，记作} 

^^

f ( x ) dx ^.



^^

f ( x ) dx  

⁰

f ( x ) dx ^ 

0^

f ( x ) dx





 lim

 ⁰

( )

a a

f x dx ^

_b

lim

_



0^b

^f ( ^x ) ^dx

极限存在称无穷积分收敛；否则称无穷积分发散.

按无穷积分的定义：







 ^







 ( )d  ( )d  ( )d

c

c f x x f x x

x x

f

lim ^c ( ) d lim ^b ( ) d .

a c

a f x x b f x x

 









, a b

等号右边的两项的极限过程是相互独立的 即 与 的变化

不要求一致.

, a b

在数学物理问题中 经常遇到要求 与 变化一致的情

, .

形 即需要考虑 b  a 的特殊情形

. )

, (

)

( 在 上有定义

设函数 f x   

, 0 , ( ) ( [ , ] ) .

a R a f x R a a

     记

. . ( ) d lim ^a ( ) d ,

a a

V P ^ f x x f x x

   

 

. )

, (

)

( 在 上的无穷积分的柯西主值 称之为 f x   

值意义下 称此无穷积分在柯西主

若式中的极限存在，则

散. 分在柯西主值意义下发 不存在，则称该无穷积

;

, 极限值即为柯西主值意义下的无穷积分值 若式中极限 收敛

无穷积分的柯西主值

例1

解

d

sin 的敛散性

讨论无穷积分



^^ x x

散性. 和柯西主值意义下的敛

0 0 0

sin d lim ^b sin d lim ( cos ) ^b 1 lim cos ,

b b b

x x x x x b



  

    

 

因为

lim cos , 0 sin d .

b b ^ x x





而 不存在 故积分 发散

.

d sin

, 无穷积分 发散

从而



^^ x x

, 0 d

sin lim

d sin .

.



 



 









A

A A x x

x x P

又 V ^奇函数

.

d sin

在柯西主值意义下收敛 故无穷积分



^^ x x

由此例想到一点什么没有?

该例说明:

.

, 它本身不一定收敛 义下收敛时

无穷积分在柯西主值意

:

d ) ( .

. d ) (

与 的定义可知

由

 

^^







 f x x V P f x x

.

d ) ( .

.

,

d ) (

收敛 则 必收敛

若

 

^^







 f x x V P f x x

注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用

“偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .

证明无穷积分



a^{ }

pxdx

e ^当 p  0^{时收敛，当} p  0^时发散.

1 ².



^^  x dx

1 dx_p , 1 , 1 .

p p

x

  



证明 当 时收敛 当 时发散

无穷积分计算习例

5 .

( 15)

dx x x





 计算

0^ x e dx^{n x} (n ).



计算 为自然数

例2

例6 例3

例4 计算无穷积分

例5

解



₅^ _x(x^dx_{ 15)} ^ _b^lim_



₅^b_x(x^dx_{ 15)}

x dx x

b

b



^ _

  5 )

15 1 ( 1

15 lim 1

b b [ln x ln( x 15)]₅

15

lim 1  

 

20 ) ln 5

(ln 15 15

lim 1 

 





b

b

b

ln 2

15

 2

5

.

( 15) dx

x x



  计算

例2

证 ^{ 1 ,}



₁^{ }



₁^{ dx}_x

x p 时 dx_p

当 ^ _b^lim_



₁^{b dx}_x ^b

blim ln x |₁



 





  b

blim ln

p b

b p

x

1 1

1 | lim 

 ^





p b ^p

b 

 ^ 



 1

lim 1

1

p b

p

p

b 

 

 ^



 1 1 lim

1 ¹

1, , 1

1 1^{ } _

 x p

p 时 dx_p

当 ^{ 1 ,}₁^ p ^{ }

x p 时 dx

当

∴当p>1时，原积分收敛；当p≤1时，原积分发散.





^{ } _

 ^b

b p

p x

dx x

p dx

1

1 lim

, 1时 当

1 dx_p , 1 , 1 .

p p

x

  



证明 当 时收敛 当 时发散 例3

解



^^

1  x

²

dx  

⁰



₂

1 x

dx ^ 

₀^

_{1 } ^dx _x

²

 _





0

1

2

lim 1

a a

dx

x ^

_b



0^b

_{ x}

2

^dx

1 lim 1



arctan



⁰

lim _a

a x



 

 

^b

blim arctan x ₀



  alim arctana



 

 b

blim arctan



 

2 .

2     



 



 





计算无穷积分 .

1 ²



^^  x 例4 dx

O x

y

1 2

1 y x

  1



a^{ }

px

dx

e ^

_b

^lim

_



_a^b

^e

^px

^dx

b

a px

b

p

e  

 



 



^



lim



 

 



 



^{ }





p

e p

e

^{pa pb}

b

lim



 







 



0 ,

0 ,

p p p

e

^ap

即当 p  0^{时收敛，当}p  0 ^时发散. 证明无穷积分



a^{ }

pxdx

e ^当 p  0^{时收敛，当} p  0^时发散. 例5

证

解



₀^ xⁿe^xdx ^ _b^lim_



₀^{b nx d(ex )}



^{e x xn b n be x xn dx}



b

1 0 0

lim ^{  }



 ^{ }







 



 



   

 ^{ }







^{( )}

lim 0

1 x

b n b

n b

e d

x e n

b

) (

1 )

1 (

lim 0

b x

b n n d e^



  

 ^



!

| ) (

1 )

1 (

lim n n e ^x ₀^b n

b







 ^



 

0^ x e dx^{n x} (n ).



计算 为自然数

例6

注意: (1)



a^ f ( x)dx  F(x)a^ lim F(x) F(a)

x 

 

b b

x F dx

x

f _



 



^{( ) ( )}

) 2

( ^{F(b) lim F(x)}

x



 函数 :

 ( ) ( 0)

0

1 





^ 

^{ x exdx}

^

) ( )

1

(



 









! )

1

(n   n



1 )

1 ( 







 ) 2 (1

二、无界函数的积分

定义 1. 设函数 f (x)^在区间(a,b]^{上连续，而在点}a^的

右邻域内无界．取



 0^{，如果极限}_^lim_{ }



_a^b_ ^{f (x)dx}

0

存 在，则称此极限为函数 f (x)^在区间(a,b]^{上的瑕积分，}

记作



a^b f ( x)dx^.



a^b

f ( x ) dx

^ _^lim_{ }



_a^b_ ^{f (x)dx}

0

当极限存在时，称瑕积分收敛；当极限不存在 时，称瑕积分发散.

定义 2. 设函数

f ( x )

^在区间

[ a , b )

^{上连续，而在点}

b

^的

左邻域内无界.取

  0

^{，如果极限}_^lim_{ }



_a^{b f (x)dx}

0

存在，则称此极限为函数

f ( x )

^在区间

[ a , b )

^上的瑕积

分， ^记作



_a^{b f (x)dx}



a^b

f ( x ) dx

^ _^lim_{ }



_a^{b f (x)dx}

0

当极限存在时，称瑕积分收敛；当极限不存在时，称 瑕积分发散.

定义 3. 设函数 f ( x ) ^在区间 [ a , b ] ^上除点 )

( a c b

c   ^{外连续，而在点} c ^{的邻域内无界.如果两} 个瑕积分 

a^c

f ( x ) dx ^和 

c^b

f ( x ) dx ^{都收敛，则定义}



a^b

f ( x ) dx ^ 

a^c

f ( x ) dx ^ 

c^b

f ( x ) dx

1

1 0

lim ^c ( )

a ^ f x dx

 ^



 



₂

2 0

lim ^b ( )

c f x dx

  ^ 





否则，就称瑕积分



a^b

f ( x ) dx

^发散.

.

) (

, ]

, [ )

( 在 上有定义 为其瑕点

设函数 f x a b x  c a  c  b

记

, ] d ) ( d

) ( [

lim d

) ( .

.

0

 







 

 _ ^b

c c

a b

a f x x f x x f x x

P

V 





. )

( ]

, [ )

( 在 上的瑕积分 瑕点为 的柯西主值 称之为 f x a b c

.

, 则称此瑕积分在柯西主值意义下收敛 若式中的极限存在

值意义下发散. 则称该瑕积分在柯西主

,

; 若式中极限不存在 义下的瑕积分值

极限值即为柯西主值意

(3) 瑕积分的柯西主值

. ) 1 (

3

0 3

 _x ^dx _

2

例7 计算瑕积分 ( 0).

0 2 2 



^a _a^dx _x ^a

1 2 .

1 (ln )

e dx

x  x



计算

1 1 2

1 dx .



x



判别反常积分 的敛散性

1

0 dx_q .



x

判别 的敛散性

无界函数的积分习例

例11 计算广义积分 例9

例10 例8

解 1 ,

lim 2 2  



^a a x

x



a x 



为被积函数的无穷间断点.



^a

_

x a

dx

0 2 2 lim_{0 0}^a ₂dx ₂

a x





 

 





0 0

lim arcsin x

a

a



 ^





 

    



  

 lim  arcsin 0

0 a

a



 .

2

  例7 计算瑕积分 ( 0).

0 2 2 



^a _a^dx _x ^a

解

2 2

1 0 1

lim

1 (ln ) 1 (ln )

e

dx

e

dx

x x x x



 ^







 

 

x d

x

e

ln

) (ln

1 lim 1

1 2

0



^



















 ^

 x

₁^e

0

| ln

arcsin lim

2 . ]

0 )

ln(

[arcsin lim

0

 

   

   e

1 2 .

1 (ln )

e dx

x  x



例8 计算

解



_ ^



_ ^



₀¹ 2 0

1 2 1

1 2

1 1

1 dx

dx x dx x

 x





_

^

_{   }^₁^ 2 0

1 2

lim

0

x dx x

而 dx







   1 1) (

lim

0



x

0 ,

1 2



_ ^发散

即

x

dx ¹ 1 .

1 2



_

 dx发散

x













 1

0

1 ) (

lim x

1 1 2

1 dx .

 x



判别反常积分 的敛散性 例9

解 ^



^



^ _{ }



¹

0 1

0 1

0 lim

,

1 _

 x

dx x

dx x

q 时 dx_q 当

1 0

ln

lim _

 x

 

    

 ( ln ) lim

0









  

 ¹

0 1

0 lim

,

1 _

 ^q

q x

dx x

q 时 dx

当 ^{1 1}

0 1

lim _

 q

x ^q

 ^

 ^

1 ) 1

( 1 lim

1

0 q q

q

 

  ^

 ^



 











 



1

1

1 1

q q q

1

0 dx_q .



x

判别 的敛散性 例10

. 1

1

1 1

1

0 











 







q q q

x dx

q

解

 1

x

^瑕点



0³

_

₃²

) 1 ( x

dx  

 

  ³

1 1

0 3

2 3

2

) 1 (

) 1

( x

dx x

dx



0¹

_

₃²

) 1 ( x

dx

_



^

 



1

3 2 1

1

0 0 ( 1)

lim ^

 x

dx

 3



₁³

_

₃²

) 1 ( x

dx

_



_

 



3

0 1 ^{2 32}

2 ( 1)

lim _

 x

dx  3  ³ 2,

 _



³

0 ₃²

) 1 ( x

dx

 3(1  ³ 2).

计算广义积分 . ) 1 (

3

0 3



_x^dx_ 2

例11

注意:

b a a

b

a f x dx F x

a

x , ( ) lim ( )

) 1

(  ^为瑕点时



 _  

b b a

b

a f x dx F x

b

x , ( ) lim ( )

) 2

(  ^为瑕点时



 _ 

.

) 3

( 瑕点有时可用换元公式将其消去 例如

解

) . 2 (

d



0^ _{x x }^x

计算

.

, 应设分开

混合在一起的广义积分 这是无穷积分与瑕积分

,

2

, 0

, 为被积函数的瑕点 故 易知 x  x 

) 2 (

) d ) (

2 (

d

0 3

3 2 2

1 1

0    

 



^ _{x x} ^x

   

^ _{x x} ^x

1 d

2 1 2

) 1

( 3

3 2 2

1 1

0 x

x

x 





 



 

 







   

^

1 2 3

1 3

0 2

1 2 2 2 2

{ln | | ln | | ln | | ln | | }

2

x x x x

x x x x



 

    

   

不存在

例12

,

1 d 2

1 2

1

1 d 2

1 2

1 ³

2 2

1 与 不存在

由于 x

x x x

x

x





^_^ _ ^{ }_^{ }_^ _ ^{ }_^

. )

2 (

d

0 发散

故原积分



^ _{x x }^x

内容小结

1. 反常积分 积分区间无限

被积函数无界 常义积分的极限 2. 两个重要的反常积分

 1 p

 1 p

 ,



) , 1 (

1

1

 a ^p p

 1 , q





例如 ,



^_

 ¹

0 2 1

1

d 1

2

2 t

x x

x ^



0¹ _ 1^2 _ 1

2 )

(

) d(

x

x

x

x



_{ }

 ⁰ ₂

2 d

t t

说明:(1) 有时通过换元,反常积分和常义积分可以互 相转化 .

(2) 当一题同时含两类反常积分时, 应划分积分区间, 分别讨论每一区间上的反常积分.

(3) 有时需考虑主值意义下的反常积分. 其定义为



_a^b

^{f ( x ) d x}

v.p. ( c 为瑕点 , a  c  b )



_^_^

^{f ( x ) d x}

v.p.

_lim ^a _{( ) d}

a a f x x

 







 

 _ 



^ f x x



^b_ f x x

c c

a ( )d ( )d

lim

0 





常积分收敛 .

注意: 主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反