中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
3.2 定积分
高等数学A
3.2.1 曲边梯形的面积•变速直线运动的路程 3.2.2 定积分的概念
3.2.3 定积分的简单性质•中值定理
第3章 一元函数积分学
3.2 定积分
定 积 分 的 概 念 与 性 质
3.2.1 曲边梯形的面积•变速直线运动的路程
3.2.2 定积分的概念
3.2.3 定积分的简单性质•中值定理
定积分的概念习例1-3
定积分的性质习例4-8 定积分的几何意义
本节内容小结
a b x y
o
? A 曲边梯形由连续曲线
实例1 (求曲边梯形的面积)
) ( x f
y ( f ( x ) 0 )
、x轴与两条直线x a、
b
x
所围成.) (x f y
思考方法: 利用“矩形面积=底高”.
一、曲边梯形的面积•变速直线运动的路程
a b x y
a b x o
y
o
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
显然,小矩形越多,矩形总面积越接近 曲边梯形面积.
(四个小矩形) (九个小矩形)
观察下列演示过程,注意当分割加细时,
矩形面积和与曲边三角形面积的关系.
播放
曲边梯形如图所示,
,
] , [ )
1 (
1 2
1
0 x x x x b
x a
b a
n
n
内插入若干个分点,
在区间
a b x
y
o
x1 xi1ixi xn1; ]
, [
] , [
1 1
i i i
i i
x x
x
x x
n b
a
长度为
, 个小区间
分成 把区间
, 上任取一点
在每个小区间
i
i
i x
x
] , [
) 2
( 1
i i
i x A
f (
) 为高的小矩形面积为 为底,
以[xi1, xi] f (i)
i n
i
i n
i
i f x
A
A
) (
1 1
曲边梯形面积的近似值为
i n
i
i
x
f
A
( ) lim
0 1
时,
趋近于零
即小区间的最大长度 当分割无限加细
) 0 (
} ,
, max{
, )
3 (
2
1
x x xn曲边梯形面积为
全过程为:分割、近似、求和、取极限.
实例2 (求变速直线运动的路程
)
.
, 0 )
( ,
] ,
[
) ( ,
2 1
的路程 体在这段时间内所经过
求物 且
的一个连续函数 上
间隔
是时间 已知速度
设某物体作直线运动
t v t
T T
t v v
思路:把整段时间分割成若干小段,每小段上 速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便 得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值.
(1)分割
2 1
2 1
0
1
t t t t t T
T
n
n
1
t
it
it
i s
i v (
i) t
i部分路程值 某时刻的速度
(2)求和 i i
n i
t v
s
) (
1
(3)取极限
max{ t
1, t
2, , t
n}
i n
i
i
t
v
s
( ) lim
0 1
路程的精确值
注意: 上述两例的共同点
(1) 所求量与一个函数及区间有关. ]
, [ )
(x a b
f
A 与
面积
] ,
[ )
(t T1 T2 v
S 与
路程
(2) 变与不变的矛盾.
(3) 处理方法一样: 分割、近似求和、取极限. (4) 结果一样: 都是同一形式的和式的极限.
设函数
f ( x )
在[ a , b ]
上有界,(3)记
max{
x
1,
x
2,
,
x
n}
,如果不论对[ a , b ]
(1)在
[ a , b ]
中任意插入若干个分点b x
x x
x x
a
0
1
2
n1
n
把区间[a,b]分成n个小区间,各小区间的长度依次为
1
x
ix
ix
i ,( i
1 , 2 ,
)
,(2)在各小区间上任取 一点
i(
i xi ),作乘积 f (
i )xi (i 1,2,)并作和 i i
n
i
x f
S
) (
1
,1.定义
二、 定积分的概念、定积分的几何意义
怎样的分法,
abf ( x ) dx I
i in i
x
f
( )
lim
0 1
被积 函 数
被 积 表达 式
积 分变 量
] 积分区间
, [a b
也不论在小区间
[ x
i1, x
i]
上 点
i怎样的取法,只要当
0
时,和S
总趋于确定的极限I
,我们称这个极限I 为函数
f ( x )
在区间[a,b]上的定积分,记为 积分上限
积分下限
积分和
注意:(1) 积分值仅与被积函数及积分区间有关,
abf ( x ) dx
abf ( t ) dt
abf ( u ) du
而与积分变量的字母无关.如果存在, 它就是一个确定的数值!
(2) 当函数 f (x)在区间[a,b]上的定积分存在时,
称
f ( x )
在区间[ a , b ]
上可积., )
( )
( ,
:
) 3
( 规定 当a b时
ab f x dx
ba f x dx. 0 )
( )
(
,
b
ab f x dx
aa f x dxa 时
当
; ,
0 )
4
( 当
时 n 但n 时不一定有 0. ,) (
) 5
( 曲边梯形的面积 A
ab f x dx 路程 S
TT12v(t)dt.(6) 定义中区间的分法和
i 的取法是任意的.. )
(
,则 在区间上不可积 存在
积分和的极限不同或不
的不同的取法所得到的 与
若对区间的不同的分法
x f
i如Dirichlet函数的讨论.
若定积分存在, 则可用特殊的区间分法和点的取法 来计算定积分.
(7)定积分的存在性有以下两个定理(不加证明)
定理1 若f (x)在[a,b]上可积,则f (x)在[a,b]上有界.
定理2
: ]
, [ )
(
, ]
, [ )
(
上可积 在
则
上满足下列条件之一 在
若
b a x
f
b a x
f
. ]
, [ )
( ) 3 (
; ]
, [ )
( ) 2 (
; ]
, [ )
( ) 1 (
上单调 在
断点 上只有有限个第一类间
在
上连续 在
b a x
f
b a x
f
b a x
f
(8)定积分是一个构造性的定义,可利用定义求一些简单 函数的定积分;同时可利用定义求n项和的极限.
nn i b
a
n
a b
n a b
a i f
dx x
f
1
) ] [ (
lim )
(
nn i
n n
f i dx
x f
1 1
0
) 1 (
lim )
(
, 0 )
(x
f
b
a
n i
i
i x A
f dx
x f
0 1
) ( lim
)
(
曲边梯形的面积
, 0 )
(x
f
b
a
n i
i i
n i
i
i x f x A
f dx
x f
0 1 0 1
) ( lim
) ( lim
)
(
曲边梯形的面积的负值
a
A2
A3
A4
4 3
2
)
1( x dx A A A A
b
f
a
A1 b
2.定积分的几何意义
几何意义:
积取负号.
轴下方的面 在
轴上方的面积取正号;
在
数和.
之间的各部分面积的代 直线
的图形及两条 轴、函数
它是介于
x x
b x
a x
x f x
,
) (
例1 利用定义计算定积分
abexdx.例2 已知 ,求 4 6
1
1
0 2
dx x4 ).
1 2
4 1 1
4 ( 1
lim 2 2 2 2 2 2
n n
n n
n
例3
. 0
, 2
, 1 ,
1 所围成的图形的面积 利用定积分的定义计算
y
x
x x
y 3.定积分的概念习例
. dx
b
e
a
x利用定义计算定积分 解
);
, ,
2 , 1 (
), (
, ,
] , [ )
1 (
n n i
a b
a i x
n a x b
n b
a
i
i
分点为
各小区间长度为 等分
分成 将
则 即
为区间的右端点
取 ( ),
, )
2
( n
a b
a i xi
i i
i n
i i
n
i f i x e ix
1 1
)
(
n a e b
n i
n a b
a i
1
) (
n
i
n a b i
a e
n e a b
1
) (
n a b
a n b
a b a
e e e e
n a b
1
) 1
( 例 1
1 ) 1 lim (
) ( lim
0 1
n a b
a n b
a b a
n n
i i i
e e e e
n a x b
f
n a b
e e n
a
b a b a
n
) 1 lim (
a
b e
e
a .
b b a
xdx e e
e
求
已知 ,
4 6 1
1
0 2
dx x4 ).
1 2
4 1 1
4 ( 1
lim 2 2 2 2 2 2
n n
n n
n
例2
解
n n i
n
i n
n n
n n
1 2 2
2 2
2 2
2 2
4 lim 1
4 ) 1 2
4 1 1
4 ( 1
lim
n n
i
n n i
1 )
( 4
lim 1
1 2
x dx
01
4 2
1 .
6
. 0
, 2
, 1 ,
1 所围成的图形的面积 利用定积分的定义计算
y
x
x x
例3 y
解
x y
o 1 2 dx
x
S
12( 1)依题意
n n
i
n n i
] 1 1 )
1 [(
lim
1
2.
5
证
ab[ f ( x ) g ( x )] dx
n i i ii
x g
f
[ ( ) ( )]
lim
0 1
i i
n i
x
f
( ) lim
0 1
i i
n i
x
g
( ) lim
0 1
ba
f ( x ) dx
abg ( x ) dx .
ab[ f ( x )
g ( x )] dx
abf ( x ) dx
abg ( x ) dx
.(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况) 性质1
三、定积分的简单性质•中值定理
(定积分对积分区间具有可加性)
abkf ( x ) dx k
abf ( x ) dx
(k
为常数).证
abkf ( x ) dx
n i ii
x kf
( ) lim
0 1
i i
n i
x f
k
( )
lim
0 1
i i
n i
x f
k
( ) lim
0 1
. )
(
ba
f x dx
k
性质2
abf ( x ) dx
cb ca
f ( x ) dx f ( x ) dx
.补充:不论
a , b , c
的相对位置如何, 上式总成立. 假设a c b
性质3
证: 当
a c b
时,因 在 上可积 ,
所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 , 于是
] , [
) (
b a
i
i
x
f
] , [
) (
c a
i
i
x
f
] , [
) (
b c
i
i
x
f
a c b
0
令
abf ( x ) d x
acf ( x ) d x
cbf ( x ) d x
a b c
当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如
a b c ,
则有
acf ( x ) d x
abf ( x ) d x
bcf ( x ) d x
ca
f ( x ) d x
ba
f ( x ) d x
bcf ( x ) d x
ca
f ( x ) d x
cbf ( x ) d x
b
dx
a
1
abdx b a
.则
ab f (x)dx 0. (a b)证
f ( x ) 0 , f (
i) 0 , ( i 1 , 2 , , n ) ,
0
x
i ( ) 0 ,
1
i i
n
i
x f
} ,
, ,
max{ x
1 x
2 x
n
b
a f (x)dx 性质4
性质5 如果在区间[a,b]上 f (x) 0,
. 0 )
( lim
0 1
i i
n i
x f
) (b a c
bcdx
a
性质5的推论1:
证
f ( x ) g ( x ), g ( x ) f ( x ) 0 , ,
0 )]
( )
(
[
abg x f x dx
, 0 )
( )
(
abb
a
g x dx f x dx
于是 b
f x dx
a( )
abg ( x ) dx
.则 b
f x dx
a( )
abg ( x ) dx
.( a
b )
如果在区间
[ a , b ]
上f ( x ) g ( x )
,(1)
dx x
b
f
a( )
abf ( x ) dx
.( a b )
证
f ( x ) f ( x ) f ( x ) ,
, )
( )
( )
( x dx f x dx f x dx
f
ba b
a b
a
即 b
f x dx
a( )
abf ( x ) dx
.说明: |
f ( x )
|在区间[ a , b ]
上的可积性是显然的. 性质5的推论2:(2)
设
M
及m
分别是函数证
m f ( x ) M ,
, )
(
ba b
a b
a
m dx f x dx Mdx
).
( )
( )
( b a f x dx M b a
m
ba
(此性质可用于估计积分值的大致范围)
则
m ( b a )
bf ( x ) dx M ( b a )
a
.) ( x
f
在区间[ a , b ]
上的最大值及最小值,性质6
如果函数
f ( x )
在闭区间[ a , b ]
上连续,证
M dx
x a f
m b
ba
1 ( )
) (
) ( )
( b a f x dx M b a
m
ba
由闭区间上连续函数的介值定理知 则在积分区间[a,b]上至少存在一个点
,使 b
f x dx
a( ) f ( )( b a )
.( a b )
性质7(定积分中值定理)
积分中值公式
在区间
[ a , b ]
上至少存在一个点
,使 1 ( ) , )
(
ab f x dx af b
dx x
b
f
a( )
f ( )( b
a )
.( a b )
在区间
[ a , b ]
上至少存在一个点
,即
积分中值公式的几何解释:
x y
o a
b
) ( f
使得以区间[a,b]为
以曲线 y f ( x)
底边,
为曲边的曲边梯形的面积 等于同一底边而高为
f ( )
的一个矩形的面积。
o a b x y
) ( x f y
说明:
• 可把 ( )
d )
( f
a b
x x
b f
a
故它是有限个数的平均值概念的推广.
• 积分中值定理对
因
例 4 比较积分值
02e xdx和
02 xdx的大小.例 5 估计积分 dx
0 3 x sin 31 的值.
例 6 不通过计算能否得出下面积分的值 :
11 x3dx. 定积分的性质习例例 7 设
f ( x )
可导,且lim ( ) 1
f x
x
,
求
f t dt
t t
x
x
lim
x 2sin 3 ( )
.解 令
f ( x ) e
x x , x [ 2 , 0 ] ,
0 )
( x
f
0( ) 0 ,
2
e
xx dx dx
e
x
02 0
,
2
x dx
于是
02e
xdx
2.
0
x dx
例 4 比较积分值
02e xdx和
02 xdx的大小.解
, sin
3 ) 1
(
3x x
f x [ 0 , ], ,
1 sin
0
3x ,
3 1 sin
3
1 4
1
3
x
3 , 1 sin
3
1 4
1
0
0 3
0 dx dx
dx
x
3 . sin
3
1
4 0 3
xdx例 5 估计积分 dx
0 3 x sin 31 的值.
例 6 不通过计算能否得出下面积分的值
:
11x
3dx .
解 能! 如图.x y
o
1
1
1
,
0 0 3
1
3
dx x dx
x
1
0
0 0 3
1
3
x dx x dx
.
1
0
1
3
x dx
即
例 7 设
f ( x )
可导,且lim ( ) 1
f x
x
,
求
f t dt
t t
x
x
lim
x 2sin 3 ( )
.解 由积分中值定理知有
[ x , x 2 ],
使
f t dt t t
x
x 2sin 3 ( ) sin 3 f ( )( x 2 x ),
dt t t f
x
t
x
lim
x 2sin 3 ( ) 2
lim
sin 3 f ( )
) ( 3 lim
2
f
6 .
内 容 小 结
1. 定积分的实质:特殊和式的极限.
2. 定积分的思想和方法:
分割 化整为零
求和 积零为整
取极限 精确值——定积分
求近似以直(不变)代曲(变)
取极限
3. 定积分的性质