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10 8 指 考

10 8 指 考

【試題．答案】依據大考中心公布內容

家齊高中 / 黃峻棋 老師

數 學 考科

前　言 一

最近四年指考數學甲五標的比較表如下：

104指考數學甲五標 105指考數學甲五標

頂標 前標 均標 後標 底標 頂標 前標 均標 後標 底標

67 56 40 25 16 75 65 47 27 15

106指考數學甲五標 107指考數學甲五標

頂標 前標 均標 後標 底標 頂標 前標 均標 後標 底標

71 60 43 26 15 76 66 50 33 22

試題的難易度難免讓五標分數來回擺盪，如果從最近四年的分數來看，105、107 年算是較理想的試題。

指考試題的難易度，我把它分成三類：

1　中等偏易的題型：

　　1　以104指考為例：單選1、2，選填C，計算一。

　　2　以105指考為例：單選1、4，選填C。

　　3　以106指考為例：單選1、2、4，選填A、B、C、D。 　　4　以107指考為例：單選1，選填A、C。

2　中等的題型：

　　1　以104指考為例：單選3、4，多選5、6、7、8，選填A。

　　2　以105指考為例：單選2、3，多選5、6，選填A、B，計算一。

　　3　以106指考為例：單選3，多選6、7。

　　4　以107指考為例：單選2、3，多選5、8，選填B，計算一。

試 題 分 析 試 題 分 析

108 ^指考 108 ^{ZX 指考}

家齊高中 / 黃峻棋老師

數 學 甲

數甲考試重點

二 （

打★者是 104 指考考過的重點

）

　打★者是 105 指考考過的重點 　打★者是 106 指考考過的重點 　打★者是 107 指考考過的重點 1數與式

2多項式函數

3指數與對數函數

5三　角

6直線與圓

7平面向量

8空間向量

9空間中的平面與直線

0矩　陣

q機率統計

w三角函數

e極限與函數

r多項式函數的微積分

108 大學指考數學甲試題分布 三

題號 題型 命題出處 考試重點（測驗目標） 難易度 1 單選 選修數學甲（上）第一章　

機率統計 隨機的意義、期望值 中

2 單選 第一冊第三章　指數與對數函數 首數與位數的關係 中 3 單選 第三冊第一章　三角 三角測量 中偏難 4 多選 第三冊第二章　直線與圓 圓的定義、圓與直線的

關係 中偏難

5 多選 第二冊第三章　機率 條件機率、獨立事件 中 6 多選 選修數學甲（下）第一章　

極限與函數 數列的極限 中

7 多選 選修數學甲（下）第二章　

多項式函數的微積分 三次函數的圖形 中 8 多選 第三冊第三章　平面向量 向量的內積 中 A 選填 第四冊第三章　矩陣 平面上的坐標變換 中偏易 B 選填 第一冊第三章　指數與對數函數 對數函數的圖形 中偏易 C 選填 選修數學甲（上）第二章　

三角函數

複數極式乘法的幾何意

義 中偏易

一 計算

第四冊第一章　空間向量、

第四冊第二章　 空間中的平面與直線

向量內積、平面方程式、

直線方程式 中

二 計算 選修數學甲（下）第二章　 多項式函數的微積分

微積分基本定理、定積

分 中

試題分析說明 四

1　 今年數甲的試題難易度和去年差不多。每一冊的配分如下：第一冊12分，第二冊 8 分，第三冊22分，第四冊18分，選修數甲40分。

2　 單選題第3題非常有技巧性，如果有計算機，計算的速度就會快很多。我想命題教授 是在為以後的計算機入題鋪路吧！

3　多選題的部分，儘管是比較花時間的地方，但是考題多半是在大考中曾出現的類似 題，對程度較好的同學來說障礙不大。

4　 選填題A、B平易近人，應該可以拿到分數。至於選填C，要注意題目強調順時針旋 轉，角度應該為負。

5　 計算題的部分，第一題的空間平面就考基本概念，應該可以輕鬆得分，而第二題的微 積分基本定理也是複習講義常見的考古題型。

整體來說，個人覺得頂標和前標會略升。頂標大概 78∼80，前標66∼68，均標大概50。同

學參考看看。 F

試 題 解 析 試 題 解 析

108 ^指考 108 ^指考

第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占 76 分）

一、單選題（占 18 分）

說明： 第1題至第3題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，

請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 6 分；答錯、

未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

1 某公司尾牙舉辦「紅包大放送」活動。每位員工擲兩枚均勻銅板一次，若出現 兩個反面可得獎金400 元；若出現一正一反可得獎金800元；若出現兩個正面 可得獎金800元並且獲得再擲一次的機會，其獲得獎金規則與前述相同，但不 再有繼續投擲銅板的機會（也就是說每位員工最多有兩次擲銅板的機會）。試問 每位參加活動的員工可獲得獎金的期望值為何？

1 850元 2 875元 3 900元 4 925元 5 950元

答　　案 2

命題出處 選修數學甲（上）第一章　機率統計

測驗目標 隨機的意義、期望值

難 易 度 中

類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第92頁題型1

詳　　解 隨機變數X：X1（只丟一次），X2（恰丟二次）

E（X1）=1

4 *400+

（

²₄

）

^*800=500

E（X）=1

* 1

*1200+ 1

*2

*1600+1

* 1

*1600=375

二反　 一正一反

ZX

家齊高中 / 黃峻棋老師

數 學 甲

2 設n為正整數。第 n個費馬數（Fermat Number）定義為 Fn=2^（2n）+1，例如 F1=2^（21）+1=2²+1=5，F2=2^（22）+1=2⁴+1=17。試問 F₁₃

F12

的整數部分以十進 位表示時，其位數最接近下列哪一個選項？（log 2»0.3010）

1 120 2 240 3 600 4 900 5 1200

答　　案 5

命題出處 第一冊第三章　指數與對數函數

測驗目標 首數與位數的關係

難 易 度 中

類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第22頁題型5

詳　　解 由題意知：F13=2^（213）+1，F12=2^（212）+1

∴ F₁₃ F12

=2^（213）+1 2^（212）+1»2²¹³

2²¹²=2^213-212=2²¹²

∴log

（

^F_F¹³₁₂

）

^{»log 2212=212*log 2}

»4096*0.3010=1232.896

∴ F₁₃ F12

是1233位數 故選5

3 在一座尖塔的正南方地面某點A，測得塔頂的仰角為14n；又在此尖塔正東方

地面某點 B，測得塔頂的仰角為 18n30'，且A、B兩點距離為65 公尺。已知當

在線段AB上移動時，在C點測得塔頂的仰角為最大，則C點到塔底的距離最 接近下列哪一個選項？（cot 14n»4.01，cot 18n30'»2.99）

答　　案 3

命題出處 第三冊第一章　三角

測驗目標 三角測量

難 易 度 中偏難

類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第106頁題型3

詳　　解 作圖如右

當eOCT最大時，OCrAB且TCrAB

（∵CTrAB，CT 最小，且OT 值固定

　∴sin θ最大即θ 最大）

又cot 14n=OA

OT ，cot 18n30'=OB OT

!cot ²14n+cot ²18n30'= OA²+OB²

OT² = 65² OT²

∴OT²= 65²

cot ²14n+cot ²18n30' » 65²

4²+3²=169

∴OT»13

!OA»13*4=52，OB»13*3=39

∴OC*65»52*39!OC»31.2 故選3

二、多選題（占 40 分）

說明： 第4題至第8題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正 確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所 有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者，

得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

4 設Γ為坐標平面上通過（7﹐0）與

（

^0﹐7₂

）

兩點的圓。試選出正確的選項。

1 Γ的半徑大於或等於5

2當Γ的半徑達到最小可能值時，Γ通過原點

答　　案 25

命題出處 第三冊第二章　直線與圓

測驗目標 圓的定義、圓與直線的關係

難 易 度 中偏難

類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第41頁題型4

詳　　解 作簡圖如右

由題意知，圓心在AB的中垂線L上

AB之斜率為

-7 2

7 =-1 2

∴L之斜率為2

∴L的方程式為2x-y= 21 4

令圓心C

（

^{t﹐2t- 21}₄

）

半徑CA= （t-7）²+

（

^2t-21₄

）

^{2= 5t2-35t+1225}₁₆

∴當t=-

（

^-₁₀³⁵

）

⁼⁷₂ ^時，

CA 有最小值為 5* 49

4 -35*7

2+1225

16 = 245

16 =7 5 4 <5 1*：r的最小值 7 5

4 <5

2○：當 r最小時，圓心C

（

⁷₂^﹐7₄

）

　　　∴OC=

（

⁷₂

）

²⁺

（

⁷₄

）

^{2= 245}₁₆ ^{=7 5}₄

　　　∴此圓過原點

3*：L'：x+2y=6與Γ可能沒有交點，如右圖

5 袋中有2顆紅球、3顆白球與1顆藍球，其大小皆相同。今將袋中的球逐次取 出，每次隨機取出一顆，取後不放回，直到所有球被取出為止。試選出正確的 選項。

1「取出的第一顆為紅球」的機率等於「取出的第二顆為紅球」的機率 2「取出的第一顆為紅球」與「取出的第二顆為紅球」兩者為獨立事件

3「取出的第一顆為紅球」與「取出的第二顆為白球或藍球」兩者為互斥事件 4 「取出的第一、二顆皆為紅球」的機率等於「取出的第一、二顆皆為白球」

的機率

5 「取出的前三顆皆為白球」的機率小於「取出的前三顆球顏色皆相異」的機 率

答　　案 15

命題出處 第二冊第三章　機率

測驗目標 條件機率、獨立事件

難 易 度 中

類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第30頁題型3類題1

詳　　解 袋中2紅3白1藍

1○：第一次取中紅球的機率為 2 6= 1

3 　　　第二次取中紅球的機率為 1

3（公平原則）

2*：P（紅1j紅2）= 2 6*1

5= 1

15 _P（紅1）*P（紅2）=1 3*1

3= 1 9 3*：P（紅1j（白2或藍2））= 2

6* 4 5= 4

15 _0 4*：P（紅1j紅2）= 2

6*1 5= 1

15 　　　P（白1j白₂）= 3

6*2 5=1

5 5○：P（三白）=3

*2

* 1

= 1

6 設〈an〉、〈bn〉為兩實數數列，且對所有的正整數n，an<bn

2<an+1均成立。若 已知 lim an=4，試選出正確的選項。

1對所有的正整數n，an>3均成立 2存在正整數n，使得an+1>4

3對所有的正整數n，bn2<bn+12均成立 4 lim bn

2=4

5 lim bn=2或 lim bn=-2

答　　案 34

命題出處 選修數學甲（下）第一章　極限與函數

測驗目標 數列的極限

難 易 度 中

類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第133、134頁題型3、4

詳　　解 1*：反例，令an=4n-3

n ，當n=1時，a1=1 2*：∵lim an=4!lim an+1=4

　　　∴〈an+1〉為收斂數列，且〈an〉為嚴格遞增數列 　　　∴an+1N4

3○：∵ an<bn

2<an+1，〈an〉為嚴格遞增數列 　　　∴an<bn

2<an+1<bn+1

2<an+2

　　　∴bn2<bn+12

4○：∵ an<bn2<an+1

　　　!lim an<lim bn2<lim an+1

　　　承2，lim bn

2=4（夾擠定理）

5*：∵lim bn2=4，且〈bn〉為嚴格遞增數列 　　　令bn2=4n²+2n+1

n² !bn= 4n²+2n+1 n² 　　　則lim bn=2

　　　∴數列b 只能收斂到一定值2

n→¥

n→¥

n→¥ n→¥

n→¥ n→¥

n→¥ n→¥ n→¥

n→¥

n→¥

n→¥

7 已知三次實係數多項式函數 f（x）=ax³+bx²+cx+2，在-2NxN1範圍內的圖 形如示意圖：

試選出正確的選項。

1 a>0　　　　　　2 b>0

3 c>0　　　　　　4方程式 f（x）=0恰有三實根 5 y=f（x）圖形的反曲點的y坐標為正

答　　案 235

命題出處 選修數學甲（下）第二章　多項式函數的微積分

測驗目標 三次函數的圖形

難 易 度 中

類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第164頁題型12

詳　　解 f '（x）=3ax²+2bx+c f ''（x）=6ax+2b

3○：∵ f（x）的圖形在x=0的切線斜率為正 　　　∴ f '（0）=c>0

2○：∵ f（x）的圖形在x=0的凹口向上 　　　∴ f "（0）=2b>0　∴b>0

1*：1　若a>0，則圖形如右

　　　 　則 f '（x）=0有兩相異實根α，β 　　　 　使得α+β=-2b

3a<0 　　　 　且α．β= c

3a>0（合）

　　　2　若a<0，則圖形如右

8 坐標平面上以原點O為圓心的單位圓上三相異點A、B、C滿足

2aaOA+3aaOB+4aaOC=aa0，其中A點的坐標為（1﹐0）。試選出正確的選項。

1向量2aaOA+3aaOB 的長度為4 2內積aaOA．aaOB<0

3eBOC、eAOC、eAOB中，以eBOC的度數為最小 4 AB>3

2

5 3 sineAOB=4 sineAOC

答　　案 15

命題出處 第三冊第三章　平面向量

測驗目標 向量的內積

難 易 度 中

類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》課後練習簿第23回選填 C

詳　　解 1○：∵2aaOA+3aaOB+4aaOC=aa0 　　　!2aaOA+3aaOB=-4aaOC

　　　!│2aaOA+3aaOB│=│-4aaOC│=4 　　　（∵│aaOA│=│aaOB│=│aaOC│=1） 2*：│2aaOA+3aaOB│=│-4aaOC│=4

　　　!4．│aaOA│²+9．│aaOB│²+12．aaOA．aaOB=16 　　　∴aaOA．aaOB=1

4>0

3*：承2，同理│3aaOB+4aaOC│=│-2aaOA│=2

　　　!9+16+24．aaOB．aaOC=4　∴aaOB．aaOC=- 7 8 　　　│2aaOA+4aaOC│=│-3aaOB│=3

　　　!4+16+16．aaOA．aaOC=9　∴aaOA．aaOC=- 11 16 　　　∴eBOC為最大角

a

a aa-aa

三、選填題（占 18 分）

說明： 1 第 A. 至 C. 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的 列號（9∼18）。

　　　 2 每題完全答對給 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 在坐標平面上，定義一個坐標變換 y1

y2

= 1 0 -1 2

x1

x2

+ -2

3 ，其中 x1

x2 代表舊坐標， y1

y2

代表新坐標。若舊坐標為 r

s 的點P經此坐標變換得到的 新坐標為 1

-2 ，則（r﹐s）=（9﹐0 q）。

答　　案 （3﹐-1）

命題出處 第四冊第三章　矩陣

測驗目標 平面上的坐標變換

難 易 度 中偏易

類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第80頁題型4例題4

詳　　解 由題意知： 1

-2 = 1 0 -1 2

r

s + -2 3 = r

-r+2s + -2

3 = r-2 -r+2s+3

∴1=r-2!r=3

　-2=-r+2s+3!2s=-2!s=-1

∴數對（r﹐s）=（3﹐-1）

B. 在坐標平面上，A（a﹐r）、B（b﹐s）為函數圖形 y=log2 x 上之兩點，其中 a<b。已知 A、B連線的斜率等於 2，且線段AB 的長度為 5^，則（a﹐b）=

（

^we ﹐ r

t

）

^{。（化成最簡分數）}

（

^{1﹐ 4}

）

詳　　解 作圖如右

由題意知：A（a﹐log2 a），B（b﹐log2 b）

∴AB的斜率為 log₂ b-log₂ a

b-a =2………．．1 又AB= ^（b-a）²+（log2 b-log2 a）²= 5^{…………2} 由1得log2 b-log2 a=2（b-a）

代入2得 5^．（b-a）²= 5

∴（b-a）²=1，即b-a=1………3（∵b>a） 3代入1得log2 b-log2 a=2!log2

b a=2

∴ b

a=4即b=4a………．4 解3、4得a=1

3，b=4

3　∴數對（a﹐b）=

（

¹₃^﹐4₃

）

C. 設z 為複數。在複數平面上，一個正六邊形依順時針方向的連續三個頂點為

z、0、z+5-2 3 i（其中i= -1^），則z的實部為 yu

i 。（化成最簡分數）

答　　案 -7 2

命題出處 選修數學甲（上）第二章　三角函數

測驗目標 複數極式乘法的幾何意義

難 易 度 中偏易

類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第123頁題型15

詳　　解 如右圖，將z逆時針旋轉120n，可得 z+5-2 3i

（或用順時針240n，角度變成負）

z．（cos120n+i sin120n）=z+5-2 3i

!

（

^{-1 + 3 i}

）

^{z=z+5-2 3 i}

第貳部分：非選擇題（占 24 分）

說明： 本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號

（一、二）與子題號（1、2、……），同時必須寫出演算過程或理由，否 則將予扣分甚至零分。作答使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用 鉛筆。若因字跡潦草、未標示題號、標錯題號等原因，致評閱人員無法清楚 辨識，其後果由考生自行承擔。每一子題配分標於題末。

一、坐標空間中以O表示原點，給定兩向量aaOA=（1﹐ 2^﹐1）、aaOB=（2﹐0﹐0）。 試回答下列問題。

　　1　 若aaOP是長度為2的向量，且與aaOA之夾角為60n，試求向量aaOA與 aaOP的 內積。（2分）

　　2　 承1，已知滿足此條件的所有點P均落在一平面E上，試求平面E的方程 式。（2分）

　　3　 若aaOQ是長度為 2的向量，分別與aaOA、aaOB之夾角皆為60n，已知滿足此 條件的所有點Q均落在一直線L上，試求直線L的方向向量。（4分）

　　4　 承3，試求出滿足條件的所有 Q點之坐標。（4分）

答　　案 1 2；2 x+ 2 y+z=2；3 （0﹐1﹐- 2^）；

4

（

^1﹐- ₃^2﹐5₃

）

^{或（1﹐ 2﹐-1）}

命題出處 第四冊第一章　空間向量

第四冊第二章　空間中的平面與直線

測驗目標 向量內積、平面方程式、直線方程式

難 易 度 中

類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第55、56頁題型3、4

詳　　解 由題意知，│aaOP│=2，│aaOA│=2，│aaOB│=2 1　 aaOA．aaOP=2*2*cos 60n=2

2　 aaOA．aaOP=（1﹐ 2^﹐1）．（x﹐y﹐z）=2 　!x+ 2 y+z=2

a a

OA．aaOQ=（1﹐ 2﹐1）．（x﹐y﹐z）=2*2*cos 60n

4　令Q（1﹐t﹐1- 2 t），tl ，且│aaOQ│=2 　∴ 1+t²+（l- 2 t）²=2!3t²-2 2 t+2=4 　!3t²-2 2 t-2=0!（3t+ 2^）（t- 2^）=0 　!t=- 2

3 或 2　∴Q

（

^1﹐- ₃^2﹐5₃

）

^{或Q（1﹐ 2﹐-1）}

二、設 f（x）為實係數多項式函數，且x f（x）=3x⁴-2x³+x²+₁^x f（t）dt 對xM1恆 成立。試回答下列問題。

　　1　試求 f（1）。（2分）

　　2　試求 f '（x）。（4分）

　　3　 試求 f（x）。（2分）

　　4　試證明恰有一個大於1的正實數a滿足 ₀^af（x）dx=1。（4分）

答　　案 1 f（1）=2；

2 f '（x）=12x²-6x+2； 3 f（x）=4x³-3x²+2x-1； 4 略

命題出處 選修數學甲（下）第二章　多項式函數的微積分

測驗目標 微積分基本定理、定積分

難 易 度 中

類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第171頁題型18範例2

詳　　解 ∵x．f（x）=3x⁴-2x³+x²+₁^x f（t）dt，xM1 1　 f（1）=3-2+1+0=2

2　兩邊微分（由微積分基本定理）

　f（x）+x．f '（x）=12x³-6x²+2x+f（x）

　∴ f '（x）=12x²-6x+2 3　 由2可令

　f（x）=4x³-3x²+2x+k

　∵ f（1）=2　∴4-3+2+k=2，即k=-1