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NO.00843

武陵高中 / 洪榮良 老師 家齊女中 / 黃峻棋 老師

【試題．答案】依據大考中心公布內容

出 版 / 民國一0二年七月

發行所 / 7 0 2 4 8 臺南市新樂路 76 號 編輯部 / 7 0 2 5 2 臺南市新忠路 8 - 1 號 電 話 /（06) 2619621 # 314

E-mail / periodical@hanlin.com.tw 翰林我的網 http://www.worldone.com.tw 發行人 / 陳炳亨

總召集 / 周耀琨 總編輯 / 蔣海燕 主 編 / 陳俊龍 校 對 / 黃秉璿

美 編 / 張淳惠．杜政賢

試題解析

高一數學：數與式、多項式函數、指數與對數函數、機率；

高二數學：三角、直線與圓、平面向量、空間向量、空間中的平面與直線、矩陣；

選修科目數學甲：機率統計Ⅱ、三角函數、極限與函數、多項式函數的微積分。

二 試題分析

各單元佔分 1

題號 題型 出處 內容 配分

1 單選題 選修甲（上）第二章 三角函數 6

2 單選題 第一冊第三章 指數與對數 6

3 單選題 選修甲（上）第一章 機率統計Ⅱ 6

4 單選題 第二冊第三章 第四冊第一章

機率

空間向量 6

5 多選題 第一冊第二章 第三冊第二章

多項式函數

直線與圓 8

6 多選題 第四冊第二章 空間中的直線與平面 8

7 多選題 第一冊第二章 選修甲（下）第一章

多項式函數

極限與函數 8

8 多選題 選修甲（上）第二章 三角函數 8

9 多選題 第三冊第一章 第四冊第一章

三角

空間向量 8

A 選填題 第四冊第一章 空間向量 8

B 選填題 第三冊第二章 直線與圓 8

一 非選擇題 選修甲（下）第二章 多項式的微積分 12

二 非選擇題 第四冊第三章 矩陣 12

武陵高中 洪榮良 老師

數學甲

試題分析

大考中心公布數學甲三顆星範圍

一

2 各冊佔分

第一冊 第二冊 第三冊 第四冊 選修甲（上） 選修甲（下）

10 3 12 35 12 28

※單選第4題與機率與空間有關，故第二冊與第四冊各佔3分；

　多選第5題與多項式與圓有關，故第一冊與第三冊各佔4分；

　多選第7題與多項式與極限有關，但偏重極限的概念，故將分數放在選修甲（下）； 　多選第9題與三角與空間有關，故第三冊與第四冊各佔4分。

　　由上表可知，今年是題分偏重高二第三冊、第四冊與高三選修（上）（下）部分，

尤其第四冊空間部分，共有四題出現與空間有關的試題。

三 試題特色

此份試題全部出現在大考中心公布的「99課綱指考數學考科命題方向」所標示的數 學甲三顆星的範圍內，而且幾乎每個單元都有命題。今年的題目陷阱多、計算量大，難易 度適中，但難、易題目比率變少，多集中在中間程度，而且非選擇題出現證明題，相較去 年較不容易拿分。整份試題，偏重圖形題，應可算近三年來最難。一些題目有陷阱，例如 多選第五題，考生若沒注意有三個點「共線」，就會多選一個選項；而多選第七題，須結 合微積分和多項式「勘根定理」觀念。

過去幾年，選修下第二章多項式的微積分都考了30至40分，但今年只考了兩題，這 是與往年差異較大的地方。其餘往年在數學甲常出現的三角函數、空間向量等，今年依舊 是熱門考題。另外，數甲非選擇題第二題考線性變換，是新課綱的單元，這一題的第二小 題考證明題，雖然證明題觀念理論不難，但一般來說，考生對於證明題較不拿手，且去年 未考證明題，可能因此較難拿分，所以今年的鑑別度應會提高。

四 未來趨勢

自然組學生將來選的科系均為理工相關科系，未來均需修維積分相關課程，所以今年 微積分部分佔分雖然比往年大幅減少，但未來還是不能忽視此單元；另外三角、空間亦為 每年的熱門考題。近年數學甲的題目完全按照大考中心公布的指考命題三顆星的單元命 題，範圍已不若以往那麼大，學生只要對高中數學基礎概念深入理解，平時解題時加強自 己解讀題目與邏輯推理能力，要在大考拿到理想的分數應非難事。 F

試題解析

第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占 76 分）

一、單選題（占 24 分）

說明：第1題至第4題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，

請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得6分；答錯、

未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

1 設 z 為一複數，且 z-

2

z+

2

^{=i（其中i= -1為虛數單位）。試問z 的絕對值│z│} 為下列哪一個選項？

1

1

2

²

2

2

^{3 1 4 2 52}

答 案 5

命題出處 選修數學甲（上）第二章　　三角函數

測驗目標 複數的絕對值

詳 解 z-

2

z+

2

^=i!z-2=zi+2i

!（1-i）z=2（1+i）

∴z=

2

（

1

+i）

1

-i

故│z│=│

2

（

1

+i）│

│

1

-i│ ⁼

2 2

2 ⁼² 故選5

難 易 度 易

類 似 題 《大滿貫複習講義•數學甲》第112頁範例14

2 坐標平面上，直線x=2分別交函數y=log10x、y=log2x的圖形於P、Q兩點；

直線x=10分別交函數y=log10x、y=log2x 的圖形於R、S兩點。試問四邊形 PQSR的面積最接近下列哪一個選項？（log₁₀20.3010）

1 10 2 11 3 12 4 13 5 14

答 案 3

命題出處 第一冊第三章　指數、對數函數

測驗目標 對數函數圖形、對數的運算性質

家齊女中 黃峻棋 老師

試題解析

數學甲

詳 解 作圖如右

∵y=log10 x，y=log2 x的圖形 　 具有凹口向下性

∴PQSR的圖形為一梯形，

　 且梯形的高為8

其中P（2﹐log10 2），Q（2﹐log2 2），R（10﹐log¹⁰10），S（10﹐log²10）

∴PQ=log2 2-log10 2=1-log10 2 　SR=log²10-log¹⁰10=log²10-1

∴面積為〔（1-log10 2）+（log210-1）〕*8*

1 2

　　　　=（log210-log10 2）*4

（ 0.3010 ¹

^-0.3010

）

^*412.08

故選3

難 易 度 中

類 似 題 《大滿貫複習講義•數學甲》第21頁經典試題9

3 袋中有大小相同編號 1到 8號的球各一顆。小明自袋中隨機一次取出兩球，

設 隨 機 變 數 X 的 值 為 取 出 兩 球 中 的 較 小 號 碼 。 若 pk表 X 取 值 為 k 的 機 率

（k=1﹐2﹐…﹐8），試問有幾個pk的值大於

1 5

^？

1 1 個 2 2個 3 3個 4 4個 5 5 個

答 案 2

命題出處 選修數學甲（上）第一章　機率統計Ⅱ

測驗目標 隨機變數的定義

詳 解 樣本空間n（S）=C28=28

∴p¹=

7 28

⁼

1 4

^>

1

5

^，p2=

6 28

⁼

3 14

^>

1 5

^， 　p³=

5

28

^<

1

5

^，p4=

4 28

⁼

1 7

^<

1 5

^， 　p5=

3

28

^<

1

5

^，p6=

2 28

⁼

1 14

^<

1 5

^， 　p⁷=

1

28

^<

1 5

∴大於

1

5

^{者有2個，故選2}

難 易 度 中偏易

類 似 題 《大滿貫複習講義•數學甲》第79頁範例1

試題解析

4 考慮所有由1、2、3、4、5、6各一個與三個0所排成形如

0 a b c 0 d e f 0

對角線均為

0的三階方陣。今隨機選取這樣一個方陣，試問其行列式值

0 a b c 0 d e f 0

為奇數的機

率為下列哪一個選項？

1

1

20

²

1

10

³

1

2

⁴

9

10

⁵

19 20

答 案 2

命題出處 第二冊第三章　機率、第四冊第一章　空間向量（B版）

測驗目標 三階行列式的運算、機率的定義

詳 解 由題意可知，此三階方陣共有6!=720個 又

0 a b c 0 d e f 0

=bcf+ade為奇數

1　bcf 為偶數且ade為奇數：（b、c、f 必排2、4、6）且

（a、d、e必排 1、3、5）

∴3!*3!=36

2　bcf 為奇數且ade為偶數：（b、c、f 必排1、3、5）且

（a、d、e必排 2、4、6）

∴3!*3!=36

∴所求機率為

72 720

⁼

1

10

^，故選2

難 易 度 中偏難

類 似 題 《大滿貫複習講義•數學甲》第50頁範例1

二、多選題（占 40 分）

說明：第5題至第9題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正 確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所 有選項均答對者，得8分；答錯1個選項者，得4.8分；答錯2個選項者，

得1.6分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

5 令A（-2﹐0）、B（0﹐1）、C（2﹐1）、D（4﹐3）為坐標平面上四點。請選出正確 的選項。

1恰有一直線通過A、B、C三點 2恰有一圓通過A、B、D三點

3恰有一個二次多項式函數的圖形通過B、C、D三點 4恰有一個三次多項式函數的圖形通過A、B、C、D四點 5可找到兩平行直線，其聯集包含A、B、C、D四點

答 案 345

命題出處 第一冊第二章　多項式函數、第三冊第二章　直線與圓

測驗目標 直線與圓、插值多項式

詳 解 作圖如右

1×：由圖形可知A，B，C不共線 2×：AB之斜率為

1

2

^{，BD之斜率為}

1 2

^， 　　　即A，B，D共線

　　　∴沒有圓通過A、B、D三點 3○：令所求f （x）=ax（x-2）+bx+c 　　　∵過（0﹐1），（2﹐1），（4﹐3） 　　　1代入（0﹐1）!1=c

　　　2代入（2﹐1）!1=2b+c　∴b=0 　　　3代入（4﹐3）!3=8a+4b+1　∴a=

1

4

　　　∴過B、C、D三點恰有一個二次多項式函數

4○：令所求g（x）=ax（x+2）（x-2）+bx（x+2）+cx+d 　　　1過（-2﹐0）!0=-2c+d

　　　2過（0﹐1）!1=d

　　　3過（2﹐1）!1=8b+2c+d　∴8b=-1　∴b=-

1 8

　　　4過（4﹐3）!3=48a+24b+4c+d　∴48a=3　∴a=

1

16

　　　∴過A、B、C、D恰有一個三次多項式函數

5○：∵ A、B、D三點共線，其方程式為x-2y=-2………L 　　　又過C點且平行L之直線為x-2y=0………M 　　　∴LkM包含A、B、C、D四點

故選345

難 易 度 中偏難

!c=

1

2

^，d=1

試題解析

6 設c為實數，E1、E2、E3皆為坐標空間中的平面，其方程式如下：

E1：cx+y=c E²：cy+z=0 E³：x+cz=1

已知E¹、E²、E³有一個交點的z坐標為1，請選出正確的選項。

1（1﹐0﹐0）是E1、E2、E3的一個交點 2E1、E2、E3有無窮多個交點

3E1、E2、E3中一定有兩個平面重合 4c=1

5E¹、E²、E³有一個交點的z坐標為2

答 案 125

命題出處 第四冊第二章　空間中的直線與平面（B版）

測驗目標 空間三平面的幾何判定、克拉瑪公式

詳 解 1○：（1﹐0﹐0）代入三平面中，均滿足方程式 2○：由克拉瑪公式Δ=

c 1 0 0 c 1 1 0 c

=c³+1，

　　　Δ_x=

c 1 0 0 c 1 1 0 c

=c³+1，Δ_y=

c c 0 0 0 1 1 1 c

=0，Δ_z=

c 1 c 0 c 0 1 0 1

=0，

　　　其中x=Δ_x

Δ，y=Δ_y

Δ，z=Δ_z Δ

　　　∵已知三平面有（1﹐0﹐0）和（x﹐y﹐1）兩交點 　　　∴三平面有無限多個交點，即c=-1

3×：承2，三平面交於一直線且c=-1時，表E1，E2，E3相異且交 於一直線

4×：承2，c=-1 5○：承2，c=-1，

-x+y=-1 -y+z=0 x-z=1

!

x-y=1 y=z x-y=1

! x-y=1 y=z

　　　∴

x=1+t y=t z=t

，tl ，當t=2時，交點為（3﹐2﹐2）

故選125

難 易 度 難

類 似 題 《大滿貫複習講義•數學甲》第54頁範例4

7 令 f（x）=x³-x²-2x+1。 設 a、b、c 為 方 程 式 f（x）=0 的 三 個 實 根 ， 且 a<b<c，請選出正確的選項。

1極限lim （f x） x-

1

^存在

2a、b、c至少有一個在0與1之間 3a﹐a²﹐a³﹐…﹐aⁿ﹐…為收斂數列 4b﹐b²﹐b³﹐…﹐bⁿ﹐…為收斂數列 5c﹐c²﹐c³﹐…﹐cⁿ﹐…為收斂數列

答 案 24

命題出處 第一冊第二章　多項式函數、選修數學甲（下）第一章　極限與函數

測驗目標 函數的極限、勘根定理、無窮等比數列的斂散性

詳 解 1×：∵f（1）=-1_0 　　　∴lim f（x）

x-

1

^不存在

2○：f（x）=x³-x²-2x+1，

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f

（x） - - + + - + +

　　　∴由勘根定理得知三實根介於（-2﹐-1），（0﹐1），（1﹐2）之間 　　　又a<b<c

　　　∴-2<a<-1，0<b<1，1<c<2 3×：公比為a　∴發散

4○：公比為b　∴收斂 5×：公比為c　∴發散 故選24

難 易 度 中

類 似 題 《大滿貫複習講義•數學甲》第121頁範例1、第126頁範例5、 第135頁範例14

8 考慮函數f（x）=│sin x│+│cos x│，其中x為任意實數。請選出正確的選項。

1 f（-x）=f（x）對所有實數x均成立 2 f 的最大值為 2

3 f 的最小值為0 4 f

（

^π

₁₀ ）

^>f

（

^π

₉ ）

5 函數 f 的（最小正）週期為π

x→1

x→1

試題解析

答 案 12

命題出處 選修數學甲（上）第二章　　三角函數

測驗目標 三角函數的圖形

詳 解 作f（x）=│sin x│+│cos x│之圖形如下：

1○： f（-x）=│sin（-x）│+│cos（-x）│ 　　　　　　=│-sin x│+│cos x│

　　　　　　=│sin x│+│cos x│=f（x） 2○： f（x）之最大值為 2

3×： f（x）之最小值為 1 4×：∵ f（x）在0<x<π

4

^{時為遞增函數} 　　　∴f

（

^π

₁₀ ）

^<f

（

^π

₉ ）

5×：f（x）之週期為 π

2

故選12

難 易 度 中

類 似 題 《大滿貫複習講義•數學甲》第107頁範例10及類題

9 考慮向量au =（a﹐b﹐0）、av =（c﹐d﹐1），其中a²+b²=c²+d²=1。請選出正確 的選項。

1向量av 與z軸正向的夾角恆為定值（與c、d之值無關）

2au•av 的最大值為 2

3au 與av 夾角的最大值為135n 4ad-bc的值可能為

5

4

5│au *av│的最大值為 2

答 案 135

命題出處 第四冊第一章　空間向量

測驗目標 空間向量的性質

詳 解 1○：令 z軸正向之方向向量avz=（0﹐0﹐1） 　　　∴cosθ= av•avz

│av││avz│⁼

1

2 ^恆為定值

2×：au^•av⁼ac+bd

　　　∴由柯西不等式得知（a²+b²）（c²+d²）M（ac+bd）² 　　　!1*1M（ac+bd）²

　　　!-1Nac+bdN1 　　　即au^•av ^{的最大值為}1 3○：au^•av⁼│au│•│av│•cosθ 　　　∴cosθ= ac+bd

1

* 2 ^{，當ac+bd有最小值-1時，cosθ=-}

1

2 　　　此時θ的最大值為135°

4×：承2，（a²+b²）（d²+（-c）²）M（ad-bc）² 　　　∴（ad-bc）²N1

　　　!-1Nad-bcN1，即ad-bc的最大值為1 5○：au^=（a﹐b﹐0）

　　　av^=（c﹐d﹐1）

　　　∴│au^*av│=│（b﹐-a﹐ad-bc）│

　　　 = b²+a²+（ad-bc）²N 1+1= 2 　　　∴最大值為 2

故選135

難 易 度 中

三、選填題（占 12 分）

說明：1 第 A. 與 B. 題，請將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示 的列號（10～15）。

　　　2 每題完全答對給 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 設A、B、C、D為空間中四個相異點，且直線CD垂直平面ABC。已知 AB=BC=CD=10，sineABC=

4

5

^{，且eABC為銳角，則AD=　0 q　。}

（化成最簡根式）

試題解析

答 案 6 5

命題出處 第三冊第一章　三角、第四冊第一章　空間向量

測驗目標 空間概念、餘弦定理

詳 解 作圖如右，

∵eABC為銳角且sineABC=

4 5

∴coseABC=

3 5

∴由餘弦定理得知

AC²=10²+10²-2*10*10*coseABC =200-200*

3

5

⁼⁸⁰

∴在直角△ACD中，AD²=AC²+CD²=80+100=180

∴AD=6 5

難 易 度 中

類 似 題 《大滿貫複習講義•數學甲》第102頁範例7

B. 設m 為實數。若圓 x²+y²+4x-7y+10=0，與直線 y=m（x+3）在坐標平面 上的兩個交點位於不同的象限，而滿足此條件的m 之最大範圍為a<m<b，則 a=　w

e^、b= r

t^{。（化成最簡分數）}

答 案 2 3^；

5 3

命題出處 第三冊第二章　直線與圓

測驗目標 直線與圓的關係

詳 解 1　 圓C：（x+2）²+

（

^y-

⁷ ₂ ）

²⁼

²⁵ ₄

^，圓心A

（

^-2﹐

⁷ ₂ ）

^半徑為

⁵ ₂

　　直線L：y=m（x+3）表斜率m且通過（-3﹐0）的直線，

　　作圖如右

　　∵L與圓C的交點在不同象限

　　∴ L之斜率應介於L1與L2之斜率之間，

如右圖

2　 圓C與y 軸之交點P，Q 　　令x=0

　　∴y²-7y+10=0!（y-2）（y-5）=0 　　!y=2或5，即P（0﹐2），Q（0﹐5）

　　∴L¹之斜率m¹=

2

3

^{，L2之斜率m2=}

5 3

^，故

2

3

^<m<

5 3

 　　∴a=

2

3

^，b=

5 3

難 易 度 中

類 似 題 《大滿貫複習講義•數學甲》第37頁經典試題4

第貳部分：非選擇題（占 24 分）

說明：本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號

（一、二）與子題號（1、2、……），同時必須寫出演算過程或理由，否 則將予扣分甚至給零分。作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不 得使用鉛筆。每一子題配分標於題末。

一、設p（x）為一實係數多項式，其各項係數均大於或等於0。在坐標平面上，已知 對所有的tM1，函數y=p（x）、y=-1-x²的圖形與直線x=1、x=t所圍成有 界區域的面積為t⁴+t³+t²+t+C（其中C為常數）。

　　1試說明p（x）>-1-x²對所有的xM1均成立。（2分）

　　2設tM1，試求

∫

1

（-t 1-x²）dx。（3分）

　　3試求C。（2分）

　　4試求p（x）。（5分）

答 案 1　略 2　- 1

3^t

3-t+ 4 3 3　-4

4　4x³+2x²+2x

命題出處 選修數學甲（下）第二章　多項式函數的微積分

測驗目標 定積分、微積分基本定理

詳 解 1　∵p（x）的各項係數均大於或等於0 　　∴xM1時，p（x）M0

　　又當xM1時，-1-x²<0恆成立 　　故p（x）>-1-x²，xM1恆成立

試題解析

2　tM1，

∫

1

（-t 1-x²）dx=

（

^-x-

¹ ₃

^x3

）

1 t

=

（

^-t-

¹ ₃

^t3

）

^-

（

^-1-

¹ ₃ ）

=-

1 3

^t

3-t+

4 3

3　由函數y=p（x），y=-1-x² 與x=1，x=t 所圍之面積為 　　

∫

1

〔t p（x）-（-1-x²）〕dx=

∫

1

pt （x）dx+

∫

1

t

（1+x²）dx =

∫

1

pt （x）dx+

（

^x+

¹ ₃

^x3

）

^1t

=

∫

1

pt （x）dx+

1 3

^t

3+t-

4 3

=t⁴+t³+t²+t+C

　　令t=1時，0+

1

3

^+1-

4

3

^{=4+C　∴C=-4} 4　承3，

∫

1

pt （x）dx=t⁴+

2 3

^t

3+t²-

8 3

　　∴由微積分基本定理得p（x）=4x³+2x²+2x

難 易 度 中偏難

類 似 題 《大滿貫複習講義•數學甲》第166頁範例23

二、設A（1﹐0）、B（0﹐1）為坐標平面上兩點，C為直線AB外一點。經平面線性 變換M作用後，A被映射至A'（1﹐ 2）、B被映射至B'（-1﹐ 2），而C被映 射至C'。

　　1試問變換M的矩陣為何？（4分）

　　2試證明變換M將△ABC的重心映射至△A'B'C'的重心。（4分）

　　3若△ABC的面積為3，試求點C'與直線A'B'的距離。（4分）

答 案 1 1 -1 2 2 2 略

3 6 2

命題出處 第四冊第三章　矩陣（B版）

測驗目標 平面上的線性變換與二階方陣

詳 解 1　由題意知M• 1

0 = 1

2 ，M• 0

1 = -1 2 　　!M• 1 0

0 1 = 1 -1 2 2 　　∴M= 1 -1

2 2

2　設C點坐標為（a﹐b），則△ABC之重心G

（

^a+

₃ ¹

^﹐b+

₃ ¹ ）

　　又C'= 1 -1

2 2 • a

b = a-b

2a+ 2b

　　∴ △A'B'C' 之重心G'

（

^a-

₃

^{b﹐ 2a+ 2}

₃

^b+

²

²

）

　　且 1 -1 2 2 •

a+

1

b+

3 1

3

=

a-b 2a+ 2b

3

+

2

2

3

　　∴變換M將 △ABC重心G映射至△A'B'C' 的重心 G' 3　∵ △ABC面積為 3

　　∴ △A'B'C' 面積=│det M│*3=2 2*3=6 2 　　又A'B'=2

　　∴C'到A'B' 的距離為

6

2

1 2

^*2

=6 2

（

^{△A'B'C'面積=}

¹ ₂

^*2*h

）

難 易 度 中偏難

類 似 題 《大滿貫複習講義•數學甲》第69頁範例2、第72頁範例 5 F