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CH12 常微分方程

在力学、物理学、经济学及工程技术等 领域中，需要寻求变量间的函数关系，但根据 问题的性质，常常只能得到 ( 建立 ) 待求函数的 导数或微分的关系式，这种关系式在数学上称 之为微分方程。

微分方程模型的研究内容：增长、改变、

速率、衰变、繁殖、边际、增量、导数、微分

… ( 函数变化率 ) 建立微分方程；

重点

几种标准类型的一阶方程的求解 二阶线形微分方程及其解得结构

二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解

难点

求常系数非齐次线性方程的通解

基本要求

① 明确微分方程的几个基本概念

② 牢固掌握分离变量法，能熟练地求解可分 离变量的微分方程、齐次方程；

③ 牢固掌握一阶线性微分方程的求解公式，

④ 牢固掌握二阶线性微分方程解的结构、

会求解二阶常系数线性方程

12.1 微分方程的基本概念

例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点

) ,

(xy

M _{处的切线的斜率为}2x^,_{求这曲线的方程}^. )

( x y y 

设所求曲线为

dx x

dy  2

|

_x 1

2 y

_



2

y xdx

  

^{即 y  x2  C,}

1, C  得

.

2  1

 x 所求曲线方程为 y

例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度0.4_米/秒²_{,问开始制动}

后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？

解 设制动后 s s t ( )

2 2

0 0 0

0.4

,

|_t 0, |_t |_t 20 d s

dt

s v ds

  dt 

  



   



4 1

.

0 t C dt

v  ds    _{s  0.2t} ² _{ C1t  C2}

代入条件后知 ^C₁ ^{ 20, C}₂ ^{ 0} ,

20 4

.

0 





 t

dt

v ds

s   0 . 2 t

²

 20 t ,

, 20 4

.

0 





 t

dt

v ds s   0 . 2 t

²

 20 t ,

开始制动到列车完全停住共需 ^{50( ),} 4

. 0

20  秒

 t

列车在这段时间内行驶了

).

( 500 50

20 50

2 .

0  ²    米



 s

补充 : 微分方程的初等解法 : 初等积分法 . 求解微分方程 求积分

( 通解可用初等函数或积分表示出来 )

二、微分方程的定义

微分方程：“凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量 之间的关系的方程”

例 y  xy, y   2 y  3y  e ^x, (t²  x)dt  xdx  0, ,

y x x

z  





分类 1: 常微分方程（未知函数为一元函数）；

偏微分方程（未知函数为多元函数） .

三、微分方程的分类

例 y  xy, y   2 y  3 y  e^x ,

方程的阶 : 未知函数的最高阶导数的阶数 分类 2:

一阶微分方程 F(x, y, y)  0, y  f (x, y);

高阶 (n) 微分方程 F (x, y, y,, y⁽ⁿ⁾)  0,

).

, ,

, ,

( ^{( 1)}

)

(ⁿ  f x y y y ⁿ

y 

注：以后仅讨论“已解出最高阶导数”、或“能解出 最高阶导数”的方程，且 f 连续 .

分类 3: 线性与非线性微分方程 .

（线性：关于未知函数及其导数的一次方程）

), (

)

(x y Q x P

y  

; 0 2

)

( y ²  yy  x  x

分类 4: 单个微分方程与微分方程组 .















, 2

, 2 3

z dx y

dz

z dx y

dy

, 1 cos 

  y y

五、微分方程的解

“ 代入方程能使方程成为恒等式的函数”

( ) ,

y  x I n

设在区间上有阶连续导数且

. 0 ))

( ,

), (

), (

,

(x  x  x ^{( )} x 

F  ⁿ

微分方程的解的分类：

(1) 通解 : “ 微分方程的解中含有任意常数 , 且独立的任意 常数（不能合并使得任意常数的个数减少）的个数与方 程的阶数相同”

,

y   y

_{通解 y Ce} ^x_;

,

 0

  y

y 通解 ^{y C} ₁ ^{sin x C} ₂ ^{cos ;x} 练习：验证

( , , , , ( )ⁿ ) 0, F x y y  y  如如

(2) 特解 : 确定了通解中任意常数以后的解 .

解的图象 : 微分方程的积分曲线 . 通解的图象 : 积分曲线族 .

初始条件 : 用来确定任意常数的条件 .

初值问题 : 求微分方程满足初始条件的解的问题 .







 

 ₀ 0

) , (

y y

y x f

y

x x

一阶 : 二阶 :

 



 

 

 





 ₀ 0

,

₀ 0

) ,

, (

y y

y y

y y x f

y

x x x

x

例 3 验 证 :函 数 x  C₁ cos kt  C₂ sin kt _{是 微 分}

方 程 ₂ ² 0

2  k x 

dt x

d 的 解. 并 求 满足 初 始 条 件

0 ,

0

0  

 

t

t dt

A dx

x _{的 特 解}^.

解 kC₁ sinkt kC₂ coskt, dt

dx   



, sin

cos ² ₂

1 2 2

2

kt C

k kt

C dt k

x

d   

2 ,

2

的表达式代入原方程 和

将

x dt

x d

. 0 )

sin cos

( )

sin cos

( _{1 2} ² _{1 2}

2    

 k C kt C kt k C kt C kt

, 0 ,

0

0  

 

t

t dt

A dx

 x  C₁  A, C₂  0.

所求特解为 x  Acoskt.

. sin

cos ₂

1

是原方程的解

故

x  C kt  C kt

四、小结

微分方程 ; 微分方程的阶 ; 微分方程的解 ; 通解 ; 初始条件

; 特解 ; 初值问题 ; 积分曲线 ;

思考题

函数

y  3 e

^2x_{是微分方程}

y   4 y  0

的什么解?

, 6e^2x y 

 y   12e^2x , y   4 y  12e^2x  4 3e^2x  0, e x

y  3 ²

 ^{中不含任意常数 , 故为微分方程的特解 .}