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8.3 高阶微分方程

8.3.1 可降阶的高阶微分方程 8.3.2 二阶线性微分方程——解的结构 三 练习题

1. 求

^y

^{ }

^x2

^

^sinx

的通解.

解

2 3

( sin ) cos 1

3

y 



x  x dx x  x C

3 4

1 1 2

( cos ) sin

3 4

x x

y 



 x C dx   x C x C 

4

1 2

( sin )

4

y x x C x C dx

 



  

即 ⁵ 1 ₁ ² _{2 3} 60 cos 2

y x  x C x C x C 为通解。

2. 求微分方程 ^{(1  x y}

²

^{)   2 xy }

^{满足初始条件 y|x01, y|x03的特解.}

解 所给方程是yf(x, y)型的. 设yp, 代入方程并分离变量后, 有

dx

x x p

dp 1 2

2

 .

两边积分, 得 ln|p|ln(1x²)C,

即 pyC¹(1x²) (C1e^C).

由条件y|x03, 得C13, 所以 y3(1x²).

两边再积分, 得 yx³3xC². 又由条件y|x01, 得C21, 于是所求的特解为

yx³3x1.

3. 求解微分方程

^2yy

^{ }

^y

^

²

^

⁰

.

解 令y  p y( )_，则 dp y p

  dy _{，方程变形为} 2 dp ² 0

yp p

dy  分离变量得

2 dp dy

p   y

1

ln 1ln ln

p  2 y  C ， 这样 C¹ p y

即 dy C¹ dx  y

,分离变量得 ydy C dx 1 ，两边积分得2 ³² _{1 2} 3y C x C 即 2³

3 4

y C x C ^，或

2 3

3 4

( )

y C x C ^.

4. 设 是某二阶线性非 齐次微分方程的三个解，求此微分方程.

解 是 对 应 齐 次 方 程 的 两 个 线 性 无 关 的 解 ， 且

是非齐次的一个特解，故 是所求方

程的通解，将这通解求一阶二阶导数，消去两个任意常数记得到所求的微分方程 .

四 思考题

1. 给出 阶线性微分方程的 个解，能否写出这个微分方程及其通解？

答：不一定能写出这个微分方程及其通解。因为所给的问题中没有明确方程是齐次还是非 齐次，也没有明确微分方程的n个解是线性相关还是线性无关.

如果说：给出n阶线性齐次微分方程的n个线性无关的特解，能否写出这个方程及其通解？

答案就是肯定的. 因为由线性微分方程解的结构定理，其通解就是这n个线性无关的特解的 线性组合，为了求出微分方程，只需要将通解依次求导n次，得到n个方程构成的方程组，

把这个方程组合通解联立起来，消去所有的任意常数，即可得到所求的微分方程.

2. 可以验证 ^y

¹

^{ ( x  1)}

²

和 ^y

²

^{ ( x  1)}

²

都是微分方程

( x

2

 1) y   2 xy   2 y  0 和 ^{2 yy   ( ) y }

²

^{ 0} 的解，但这两个解的线性组合

（其中 ^{C C}

¹

^,

²

是任意常数） ^{y C x }

¹

^{(  1)}

²

^{ C x}

²

^{(  1)}

²

为什么只满足前一个方程而不满足后一个方程？

答 这两个方程有本质的差异.前一个方程是二阶线性齐次微分方程，后一个方程是非线性 微分方程，解的叠加原理只适用于线性微分方程，而非线性微分方程没有解的叠加性质，

因此两个解的线性组合只满足第一个方程而不满足第二个方程. 又如

y

1

 x y ,

2

 sin x

_都

是方程

y 

²

 yy   1

的解，但它们的线性组合

y c y 

1 1

 c y

2 2

 c x c

1



2

sin x

却不是此方 程的解.