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中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第 第 8 8 章 常微分方 章 常微分方 程 程

高等数学 A

习 题 课

微分方程习题课

一阶微分方程 ^{例题 1-2}

习题 1-2

高阶微分方程 ^{例题 3-5}

习题 3-6

微分方程应用问题 ^{例题 6-9}

习题 7-8

微

分

方

程

习

题

课

一阶微分方程求解

1. 一阶标准类型方程求解

关键 : 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解

变量代换法 代换因变量 代换某组合式 三个标准类型

可分离变量方程 齐次方程

线性方程

代换自变量

例 1. 求下列方程的通 解 1 e 0;

) 1

(   ₂ ^y3x  y y

; )

3

( xy  x²  y²  y .

2 ) 1

4

( ₂

y y x

 



2 ; ) 3

2 (

2 2

xy y y  x 

例 2. 求下列方程的通解 :

) ln ln

( )

1

( xy  y  y x  y

0 d

) 1 ln

( d

ln 2

) 2

( x x y  y y² x  x  y

y x

x y

y x

2 2

3 6

) 3 3 (

2 2







 



例 1. 求下列方程的通 解 1 e 0;

) 1

(   ₂ ^y3x  y y

提示 : (1) 因e^y3x  e ^y3e^x, ^{故为分离变量方程 :}

通解

; )

3

( xy  x²  y²  y .

2 ) 1

4

( ₂

y y x

 



2 ; ) 3

2 (

2 2

xy y y  x 

x y

y² e ^y3d  e^xd

 ^

x C

y  

 e

3e

1 ³

(2) 这是一个齐次方程 ， 令 y = u x , 化为分离变量方程 :

x x u

u

u d

3 d 2

2 



方程两边同除以 x 即为齐次方程 ,

, 0时

 x

y y

x y

x   ²  ²  )

3 (

时，

 0 x

1 u2

u

x   

1 u2

u

x    

 

x y x

y  1 y ² 

 

x y x

y   1 y ² 

令 y = u x , 化为分 离变量方程 .

调换自变量与因变量的地位 , 2 2

) 1 4

( y x y

 



, d 2

d ₂

y y x

x   

用线性方程通解公式求解 .

化为

例 2. 求下列方程的通解 :

) ln ln

( )

1

( xy  y  y x  y

提示 : (1)

令 u = x y , 得 (2) 将方程改写为

0 d

) 1 ln

( d

ln 2

) 2

( x x y  y y² x  x  y

y x

x y

y x

2 2

3 6

) 3 3 (

2 2







 



x u u x

u ln d

d 

) (

ln )

(xy   y xy

x y y

x x

x y

2 ln

2 1 d

d    ³ _{( 伯努利方程 )} 令 z  y^2

( 分离变量方程 ) 原方程化为

令 y = u t

y y

x

x y

y x

2 2

3 6

) 3 3 (

2 2







 



) 1 (

2

) 1 (

3 d

d ^{2 2}





 

x y

y x

x y

( 齐次方程 )

y t

y t

t y

2 3 d

d  ²  ²

令 t = x – 1 , 则

t y x

t t

y x

y

d d d

d d

d d

d  

可分离变量方程求解 化方程为

习题 1 求以 ( x  C )²  y² 1 ^{为通解的微分方程 .}

提示 : ( x  C )²  y² 1 0 2

) (

2 x  C  yy  ^{消去 C 得} y²(y² 1)  1

习题 2 求下列微分方程的通解 :

xy y

y

x 2

) 1

(   

提示 : 令 u = x y , 化成可分离变量方程 : u  2 u )

1 ln

( ln

) 2

( xy x  y  a x x 

提示 : 这是一阶线性方程 , 其中

ln , ) 1

(x x x

P  )

ln 1 1

( )

(x a x

Q  

) ln

( 2 d

) d 3

( y x

y x

y

 

提示 : 可化为关于 x 的一阶线性方程 y x y

y y

x 2 2ln d

d  

d 0 ) d 4

(   ^{3 3} 

 xy x y

x y

提示 : 为伯努利方程 , 令 z  y^2 (6) y y  y2  1 0

0 d

) 3

( ) 9

( ⁴  ²  

 y x y xydx

提示 : 可化为伯努利方程

x x y

y y x

4

d 3

d   

令 z  x²

提示 : 为可降阶方程 , 令 p  y ( p  p(y))

原方程化为

y x

x

y   ²  )

10 (

x y

x

u  ²   ^{, 即}y  2 xu  u², ^则 x

y d d

x u u u

x

u   

d ) d (

2 2

故原方程通解 x  y  x  xy  C 2

) 3

( ^{2 3 3}

2 2 d

d  x   u

u x

u u

x ^d

2

e^



 

^{ 2eu dudu  C}



2



^{u u C}



u  

 ¹²



^{2 2 d  } ₃^{2u2 } _u^C2



 2u

x x u

d 2 d

x u u

d 2 d



提示 : 令

两类二阶微分方程的解法

1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法

) d (

d

2 2

x x f

y 



d ) , d d (

d

2 2

x x y

x f

y 

 ^令 x

x y

p d

) d ( 

) , d (

d f x p

x p 

d ) , d d (

d

2 2

x y y

x f

y 

 ^令 x

y y

p d

) d ( 

) , d (

d f y p

y p p 

逐次积分求解

2. 二阶线性微分方程的解法

• 常系数情形 齐次

非齐次 代数法

• 欧拉方程

y

x²   pxy  qy  f (x) D t

x ^t

d , d

e 

令 



^{D(D 1)  pD  q}



^{y  f (et )}

例 3 求微分方程 ,

0  0



y x y _x0  0 ,

π2



在 x 处连续且可微的解 .

2 满足条件

,  π



  y x x y

2π

, 0

4  

  y x y

的解 .

(1) 试将 x ＝ x( y) 所满足的微分方程

变换为 y ＝ y(x) 所满足的微分方程 ;

(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 0

d ) )(d sin

d (

d ₃

2

2   

y x x

y y x

, 0 )

0 (  y

例 4 设函数 y  y(x) 在 (,)

, )

( )

( ,

0 x x y 是 y y x 的反函数

y   

内具有连续二阶导 数 , 且

2 ) 3

0 ( 

y ⁽²⁰⁰³ _考研 ⁾

. )

( ),

(

) 1 ( )

(

2

此方程的通解

（２）

的表达式；

（１）

，试求：

的齐次方程有一特解为

，对应 有一特解为

设

x f x

p

x x x f y

x p

y     例 5

x x

C x

C

y  ₁ cos  ₂ sin 

特征根 : r_1,2  i,

例 3 求微分方程 ² ,  π



  y x x y

,

0  0



y x y _x0  0 ,

提示 : 当 x  ₂^π 时,

故通解为

) (

sin   ₂^π



 x x x

y

2π

, 0

4  

  y x

y ^满足条件

π2

 在 x

解满足 y   y  x ,

0  0



y x y _x0  0

处连续且可微的解 .

设特解 : y^  Ax  B, ^{代入方程定 A, B, 得} y^  x ,

0 ,

0 ₀

0   _ 

 x

x y

利用 y ^得

2



由 x ^{处的衔接条件可知 ,} 当x  ^₂ 时, 0

4 

  y y

, 1 ₂

2

_    

y x 1

2 

 _x y

解满足

故所求解为

2 2

21 sin 2  (1 ^)cos2 ,  ^

 x x x

, sin x x

y    x  ₂^

x C

x C

y  ₁ sin 2  ₂ cos 2

其通解 :

定解问题的解 :

2 2

12sin 2  (1 ^) cos2 ,  ^



 x x x

y



  y

的解 .

例 4 设函数 y  y(x)在 (,)

, )

( )

( ,

0 x x y 是 y y x 的反函数

y   

内具有连续二阶导 (1) 试将 x ＝ x( y) 所满足的微分方程

变换为 y ＝ y(x) 所满足的微分方程 ;

(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 0

d ) )(d sin

d (

d ₃

2

2   

y x x

y y x

, 0 )

0 (  y

数 , 且

2 ) 3

0 (  y

解 : 1 ,

d d

y y

x

  1,

d

d 

 y y x

即 上式两端对 x 求导 , 得

(1) 由反函数的导数公式知

(2003 考研 )

0 d )

)(d sin

d (

d ₃

2

2   

y x x

y y

x 1 ,

d d

y y

x

 

0 )

d ( d d

d ₂

2

2  

  y

y x y

y x

2 2

2

) (

d d d

d

y

y y x

y x









 ( y )3

y



 



代入原微分方程得

x y

y    sin ①

(2) 方程①的对应齐次方程的通解为

x

x C

C

Y  ₁ e  ₂ e^

设①的特解为 y^  Acos x  Bsin x,

x C

C

y ^{x x} sin

2 e 1

e ₂

1  

 ^

由初始条件 ,

2 ) 3

0 ( ,

0 )

0

(  y 

y ^得

1 ,

1 ₂

1  C  

C

故所求初值问题的解为

x

y ^{x x} sin

2 e 1

e  

 ^

代入①得 A ＝ 0, , 2

 1



B sin ,

2

1 x

y^   故

从而得①的通解 :

. )

( ),

(

) 1 ( )

(

2

此方程的通解

（２）

的表达式；

（１）

，试求：

的齐次方程有一特解为

，对应 有一特解为

设

x f x

p

x x x f y

x p

y     例 5

解 （１）　由题设可得：

















), (

1 ) )(

2 (

, 0 2

) ( 2

2

3 f x

x x x p

x x

p 解此方程组，得

3 . )

( 1 ,

)

( ₃

x x x f

x   



（２）　原方程为 1 3 . x3

x y

y    

， 的两个线性无关的特解

程 是原方程对应的齐次方 显见 y₁  1, y₂  x²

是原方程的一个特解，

又 y_* 1x



由解的结构定理得方程的通解为 1 .

2 2

1 C x x

C

y   

习题 3 求以 y  C₁ e^x  C₂ e^2x _{为通解的微分方程 .}

提示 : 由通解式可知特征方程的根为 r₁  1, r₂  2 ,

故特征方程为 (r 1)(r  2)  0 , 即 r²  3r  2  0

因此微分方程为 y   3y  2y  0

习题 4 求下列微分方程的通解

(1) y y  y2  1 0, (2) y  2 y  5 y  sin 2 .x

提示 : (1) 令 y  p( y) , ^{则方程变为}

, 0 d 1

d  p₂   y

p p

y y

y p

p

p d

1 d

2  即 

特征根 : r_{1, 2}  1 2i ,

齐次方程通解 : Y  e^x(C₁ cos2x  C₂ sin 2x )

令非齐次方程特解为 y*  Acos2x  Bsin 2x

代入方程可得

417 117 ,  ^

 B

A

思 考

若 (2) 中非齐次项改为sin² x,

提示 : sin² x  ^1cos₂ ^2x , 故 y*  Acos 2x  Bsin 2x  D

原方程通解为

x x sin 2 2

cos ₁₇⁴

17

1 



) 2 sin 2

cos (

e C₁ x C₂ x

y  ^x 

特解设法有何变化 ?

(2) y  2 y  5 y  sin 2 .x

习题 5 求解 y   ay²  0 ,

0  0



y x y _x0  1 提示 : 令y  p(x), _{则方程变为} ²

d

d a p

x p  积分得 1 ,

C1

x p  a 

 _利用 p _x0 y _x0  1 得 C₁ 1

再解 ,

1

1 d

d

x a x

y



  _并利用 y _x0  0 , 定常数 C₂ .

思考 若问题改为求解

 



^{y   12 y3  0}

,

0  0



y x y _x0 1 则求解过程中得 ,

1

2 1 p x

  _{问开方时正负号如何确} 定 ?

习题 6 设

( ) ex ^x x 0 ^x ( x u) d , (0) 0,u

^  



  

? ) (x 如何求

提示 : 对积分换元 , 令 t  x u , ^则有



^





 x ^{x x} t t

0 ( ) d e

) (

) ( e

)

(x  ^x   x



解初值问题 :

x x

x) ( ) e

(   



, 0 )

0 ( 

 ^{(0) 1}

答案 :  x  ^x x   e^x 4

) 1 1 2

( 4 e

) 1 (

微分方程的应用

1 . 建立数学模型 — 列微分方程问题

建立微分方程 ( 共性 ) 利用物理规律 利用几何关系

确定定解条件 ( 个性 )

初始条件 边界条件

可能还有衔接条件 2 . 解微分方程问题

3 . 分析解所包含的实际意义

例 6 y   (x)y  f (x) _有特 1 ,

y  x

解 _{而对应齐次方程有解} y  x², 求 (x ,) f (x) 及 微分方程的通解 .

设二阶非齐次方程

例 7 设函数u  f (r) , r  x²  y²  z² 在 r > 0 内满 拉普拉斯方程 ₂ 0, 足

2 2

2 2

2 



 



 





z u y

u x

u 其中 f (r) _二阶可导 ,

, 1 )

1 ( )

1

(  f  

f _{试将方程化为以 r 为自变量的常微} 方程 , 并求 f 分

(r) . 且

例 8 欲向宇宙发射一颗人造卫星 , 为使其摆脱地球 引力 , 初始速度应不小于第二宇宙速度 , 试计算此速度 .

求质点的运动规律 例 9

上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比 ( 比例 系数 初始位移为s₀, 初始速度为v₀,

).

(t s s 

为 k),

已知一质量为 m 的质点作直线运动 , 作用在质点

例 6 y   (x)y  f (x) _有特 1 ,

y  x

解 _{而对应齐次方程有解} y  x², 求 (x ,) f (x) 及 微分方程的通解 .

解 : _将 y  x² _代入 y   (x)y  0,

x 1x )

(   得

代入

再将 y  1x 1 ( ) x f x y

y    

3

) 3

(x x

f 

得

故所给二阶非齐次方程为 1 3₃ y x

y   x   ),

(x p y 

令 方程化为 1 3₃ p x

p  x  设二阶非齐次方程

一阶线性非齐次方程

3

3 1

p x p  x 

故 y  p  ^{ xd x}

1

e

x x² C¹

1  





再积分得通解 1 ₁ ² ₂ C x

x C

y    ( C₁  ¹₂ C₁ )



³₃ ^{e 1d d x C}₁



x

x x  







) ( )

(x y f x P

y  

 

^



 ^ f x ^ x C

y e ^P(x)dx ( )e ^{P(x)d x}d

复习 : 一阶线性微分方程 通解公式 :



₃²



2 2 2

2 1

) ( )

( r

y r r

r f r y y f

u     







₃²



2 2 2

2 1

) ( )

( r

z r r

r f r z z f

u     





例 7 设函数u  f (r) , r  x²  y²  z² 在 r > 0 内满 拉普拉斯方程 ₂ 0, 足

2 2

2 2

2 



 



 





z u y

u x

u 其中 f (r) _{二阶可导 ,}

, 1 )

1 ( )

1

(  f  

f _{试将方程化为以 r 为自变量的常微} 方程 , 并求 f 分

(r) .

提示 :

r r x x f

u  ( )



   





2 2 2

2

) ( r

r x x f

u ^{f (r)}





r 1

3 2

r

 x

利用对称性 ,

0 )

2 ( )

(   

 f r r r

f

即 r² f (r)  2r f (r)  0 _{( 欧拉方程 )} 原方程可化为

且

0 )

( 2

)

2 f (r  r f  r  r

, ln r t 

令

1 )

1 ( )

1

(  f   f

1 . 2

)

(r r

f  

解初值问题 :

d , d D  t

记 ^{则原方程化为} 0

] 2 )

1 (

[D D   D f  即 [D²  D] f  0

通解 : f (r)  C₁  C₂ e^t

C r

C 1

2 1 



利用初始条件得特解 :

例 8 解 :

欲向宇宙发射一颗人造卫星 , 为使其摆脱地球 引力 , 初始速度应不小于第二宇宙速度 , 试计算此速度 .

设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为 M , 卫星 的质心到地心的距离为 h , 由牛顿第二定律得 :

2 2

2

d d

h

m M G t

m h  

②

0 , 为v

(G 为引力系数 )

则有初值问题 :

2 2

2

d d

h M G t

h  

又设卫星的初速度 已知地球半径 R  6310⁵，

0 ③

0 d 0

, d v

t t R h

h _t   

②

2 2

2

d d

h M G t

h  

③

0 0

d 0

, d v

t t R h

h _t 

 



), d (

d v h t

h 

设

,

d d d

d

2 2

h v v

t

h 

则

_{代入原方程② , 得}

d 2

d

h M G h

v v   h

h M v G

vd   ₂ d

两边积分得 C

h M v²  G  2

1

利用初始条件③ , 得 R M v G

C  ₀²  2

1

因此

 

R M h

G v

v 1 1

2 1 2

1 ₂

2  0  

 



2

2 lim 1 v

h v G M R1

2 1 ₂

0 

注意到

 



2

2 lim 1v

h v G M R1

2 1 ₂

0 

为使 v 0, v₀ 应满足 R

M v 2G

0 

因为当 h = R ( 在地面上 ) 时 , 引力 = 重力 ,

) s m 81 . 9

( ²

2  m g g 

R

m M G

即

2g , R M

G 

故

④

代入④即得

81 . 9 10

63 2

2 ⁵

0  R g    

v

) s (m 10

2 .

11  ³



这说明第二宇宙速度为 11.2 km s

求质点的运动规律 例 9

上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比 ( 比例 系数 初始位移为s₀, 初始速度为v₀,

).

(t s s 

提示 : d ,

0

t k s

s F

s 



由题设 两边对 s 求导得 : s

k t

F d

 d ^{牛顿第二定律}

s k t

t m s

d d d

d

2 2 

m k t

s t

s ²₂  d

d d

d

t d

d

 

²

d d

t s

m k  2

 

²

d d

t s

1

2 t C m

k 

 ^…

为 k),

开方如何定 + – ?

已知一质量为 m 的质点作直线运动 , 作用在质点

思考 : 能否根据草图列方程 ? O y

x

习题 7 已知某曲线经过点 ( 1 , 1 ),

轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方 程 提示. : 设曲线上的动点为 M (x,y),

) (X x y

y

Y    

令 X = 0, 得截距Y  y  yx, _{由题意知微分方程为} x

x y

y   

即   1 y  1 y x

定解条件为 y _x1  1.



^{x tan  xy}

x

此点处切线方程为 它的切线在纵

1

1

) , (x y M

Y

内车间内

习题 8 已知某车间的容积为 3030 6 m³ ,

, CO

% 12 .

0 的 ₂

其中含 的新鲜空气

问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空 CO2

气中 ^{的含量不超过 0.06 % ?}

提示 : 设每分钟应输入k m³, t 时刻车间空气中含CO2

, m³

为x _则在 [t , t  t ] ^CO₂



 x ^{两端除以 t ,} 并令 ^{t  0} 2500

5400 d

d k

k x t

x  

与原有空气很快混合均匀后 , 以相同的流量排 出 )

得微分方程

t k  

100 04 .

0 x t

k  

 5400

5400 ( 假定输入的新鲜空气

CO2

% 04 . 现以含 0 输入 ,

的改变量为

t = 30 时 5400 0.06 54 100

06 .

0   

 x 250 4

ln

180 

 k

2500 5400

d

d k

k x t

x  

54 12

.

0  0 



x t

解定解问题

) 04 . 0 e

08 . 0 (

54 ⁵⁴⁰⁰ 



k t

x

因此每分钟应至少输入 250 m³ _新鲜空气 .

初始条件 5400

100 12 . 0

0  



x t  0.1254

得 k = ?