一、张量概念 - DrHuang.com

§4 张量算法 一、 张量概念

[张量的一般定义] 若一个量有n^N个分量，而每个分量在n维空间Rⁿ中的坐标变换



ⁿ



i

i x x x

x  ^1,, ^ (i= 1 , ···, n) 之下，按下面的规律变化：

l m m

m

l j l

l m

j j

i i i i i

i j j j

j j

i

i T

x x x

x x x x

T x _{  }^









 



 







 

 



1 1 1

1

1 1 1

1

式中 ^l

m

j j

i

Ti_¹_^

1 是xⁱ的函数， ¹

1 l m

j j

i

Ti _^ 是x^i的函数，则量 ^l

m

j j

i

Ti_¹_^

1 (共有n^N个分量)称为l阶逆变(或抗变)m 阶协变的N(=l＋m)阶混合张量(或称为(l＋m)型混合张量).

张量概念是矢量和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵(方阵)是

二阶张量，而三阶张量(例如T_jkⁱ )好比“ 立体矩阵” (图8.18右).更高阶的张量不能用图形表达.

下面列出n=2时的张量示意图：

[张量举例]

1

可乘张量 设由逆变分量和协变分量所给定的两个矢量a , b是已知的，则由等式

i k i k k i i k k i ik k i

ik a b T ab T ab T a b

T  ,  , .  , ^  确定的都是二阶张量，称为可乘张量.

2

克罗内克尔符号 克罗内克尔符号ⁱ_j是一阶逆变一阶协变的二阶混合张量，这是 因为从

i j j i i i

x x x

x 







 ^



可得

i j j j i i j i i i i

j x

x x x x

x x

x 

 ^_ ^ _ ^ _







 







 

[二阶对称张量与反对称张量] 若张量满足等式

k i i k ki ik ki

ik T T T T T

T  ,  , 

则分别称为二阶对称协变张量、二阶对称逆变张量和二阶对称混合张量.若张量满足等式 T_ik  T T_ki, ^ik  T^ki,T_kⁱ  T_i^k

则分别称为二阶反对称协变张量、二阶反对称逆变张量和二阶反对称混合张量.

张量的逆变(协变)指标的对称性质在坐标变换下是不变的.

在三维空间中，二阶反对称张量与矢量等价.

二、 张量代数

[指标的置换] 指标置换是张量代数的最简单运算，利用它可作出新的张量.例如，通过

指标置换，可由张量T^ki得到新的张量T^ik，它的矩阵是张量T^ki的矩阵的转置矩阵.

[加(减)法] 同类型的若干个张量的对应分量相加(或相减)就得到一个新的同类型张量的

分量，这种运算称为张量的加法(或减法).

任何二阶张量可分解为对称张量与反对称张量两部分.例如



_{ik ki}

 

_{ik ki}



ik T T T T

T    

2 1 2

1

[张量的乘法] 把两个张量的分量按各种可能情形相乘起来，就会得到一个新张量的分

量.这个张量的逆变与协变的阶数分别等于原来两个张量的逆变与协变的阶数之和.这种运算

称为张量的乘法.例如

k h l

m k

l h m

s s

t t r r

p p s

s r r

t t p

p T T

T ^_^_ ^_  ^_^_  _^1_^

1 1

1 1

1 1 1

这是一个l＋k阶逆变m＋h阶协变的混合张量，它的阶数为l＋m＋k＋h.

注意，张量乘法的次序是不可交换的.

[张量的缩并] 对一个给定的混合张量，把它的一个逆变指标与一个协变指标相等的相

加起来，得出阶数较低(逆变和协变各低一阶)的张量，这种运算称为张量的缩并.例如

l m l

m

s s s

q q s s

s q

q

T

T

_^_^



^{1 2}_^_^

2 1 2

2

是一个l－1阶逆变m－1阶协变的混合张量.

[指标的升降] 在应用中经常用二阶逆变张量^aij



^det

 

^{aij 0}



的相乘与缩并来“ 升高” 张

量的协变指标，用二阶协变张量^aij



^det

 

^{aij 0}



相乘与缩并来“ 降低” 张量的逆变指标.这种 运算称为指标的升降.例如T_ijk就可由a^ij和a_ij升降：

ijk kp jm il lmp ijk jm il k lm ijk

il jk l

lmp ijk kp jm il lm j ijk km il lm k ijk jm il

l ij ijk kl l

ik ijk jl l

jk ijk il

T a a a T T a a T T

a T

T T a a a T T a a T T a a

T T a T

T a T

T a



















, ,

, ,

, ,

[张量的商律] 设T_j^{i i}_j

m l 1

1 和T

j j i i

m l 1

1 ' ' ' '



 各为一组xⁱ和x^i'的函数，如果对任意逆变矢量ⁱ与^i及 任一指标j_k， j_k^' 使

i jk i

j j j

l m k

T ^1_^ _



1

与 ^{ } _

 





 k

l m

k j

i i

j j j

T ¹ 

1

成为张量，则T_jⁱ _jⁱ

m l 1

1 必为张量.这种判别张量的法则称为张量的商律.

例如 T_klm^ij 与T_{k l m}^{i j}_{  }^{ } 各为xⁱ，x^i的函数，而且

m m k k j j i i ij l klm j l

i m l

k x

x x x x x x T x

T _{ }



 



 

 













  

 则

m m k k j j i i l l l ij klm l

j i

m l

k x

x x x x x x x x T x

T _{ }













 

 

















  



即

'  0

























  ^{ } _{ } ^



 

 l

m m l l k k j j i i ij klm j

i m l

k x

x x

x x x x x x T x

T 

对所有的^l都成立，所以上式括号中的表达式等于零，因此T_klm^ij 是张量.

以任意协变矢量代替逆变矢量可得相仿的结果.

[张量密度] 按下面规律变化的量







 



 





 

 



 





 

  ^l_k

w a a k

k l

l l

k T

x x x

x x

T x

称为张量密度，式中w为一常数，称为张量密度的权.张量就是权为零的张量密度.根据张量的 阶数，还可以定义标量密度和矢量密度.

两个指标的数目相同，且权相同的张量密度之和是一个同类型的张量密度.两个张量相乘 时，权相加.

三、 张量分析

上述张量都假定它的分量是空间Rⁿ中点M(xⁱ)的函数：

 

T_j^{i i}_j T_j^{i i}_j xⁱ

m l

m l 1

1

1

 1





当点M(xⁱ)在空间Rⁿ中某一区域D中变动时，则称T_j^{i i}_j

m l 1

1 是区域D中的一个张量场.上面所建 立的张量代数的各种运算，都可以应用到张量场上来.

对于张量场还有一个不变的运算——绝对微分(也称为协变微分)，这就是张量分析要讨

论的内容.

一个标量场的普通导数是一个协变矢量场(梯度场)的分量.但是，一般说来，一个张量场

的普通导数并不构成新的张量场.

[仿射联络空间] 若对空间Rⁿ中的每一坐标系(xⁱ)，在一已知点M给定了一组(n³个)数

k

ij ，并在坐标变换

 

x^i x^i xⁱ 下，它们按下列规律变化

k k ij k j

j i i k k j i

k k

j

i x

x x x x

x x

x x x

x 











 









 

_^_ ²_{ } ^ _{ } ^ (1)

则称在点M给定了一个联络对象(或联络系数)，其中偏导数是在点M取值的.

假定在空间Rⁿ中给定了联络对象场

 

ij^k



ⁿ



k

ij M  x¹,,x



而且这些函数是连续可微的，则称Rⁿ为仿射联络空间，记作Lⁿ.一般说来，

k ji k

ij 

 

[挠率张量] (1)式中_ij^k的变换规律包括两项：第一项不依赖于旧坐标系中的_ij^k；第二

项依赖于_ij^k，并和张量的变换规律的形式完全相同.由于第一项对两个下标i j , 是对称的，

它一般不等于零，所以_ij^k不是一个张量.但是

k ji k ij k

Tij  

构成一个张量，称为仿射联络空间Lⁿ的挠率张量.如果挠率张量_ij^k等于零，即

k ji k

ij 

 

则称所给定的空间是无挠率的仿射联络空间，记作Lⁿ₀.

[矢量的绝对微分与平行移动] 若在空间Lⁿ中给定一个逆变矢量

 

^{ai ，则在坐标变换下}

有

i M i i

i a

x a x 









  ^

 (2)

这构成矢量

 

^{ai 在点M的变换规律.如果从点M( x i)移到点N(xi＋dxi)，则有}



^{i i}



j M j i

i

M i i i

i x a a

x x

x x

a x

a d d d

2 















 









 



 







 

 ^{  }



式中daⁱ表示矢量

 

^{ai 从M移到N时的改变量的分量.}

在上式中只取一次项就得到

^{i j}

M j i

i i

M i i

i a x

x x a x

x

a x d d

d

2













 











  ^{ }

 (3)

若变换的二阶偏导数在M不等于零，则一个矢量的改变量决不是一个矢量的分量.

如果Rⁿ为仿射联络空间，可由(1)，(2)，(3)式得到



jk^{i j k}



i M i i k

j i

k j

i a a x

x x x

a

a d d d

d   

 







 

 _^_ ^{  }



这表明

k j i jk i

i a a x

Da d  d

是一个逆变无穷小矢量.称Daⁱ为矢量

 

^{ai 在点M处关于分量为dxi的位移MN的绝对微分.如}

果联络对象

 

jkⁱ _M ^0，则绝对微分与普通微分一致.

若矢量

 

^{Dai 等于零，即}

k j i jk i

i a a x

Da d  d =0

就称矢量

 

^{ai 关于联络jki 从点M平行地移动到点N.当}

 

jkⁱ _M ^0，分量aⁱ保持不变(daⁱ = 0) 时，矢量从点M平行移动到点N，就相当于欧氏空间中的平行移动.

如果给定一条曲线C

x ⁱ = x ⁱ ( t )

和一个逆变矢量

 

^{ai ，沿这条曲线C可以作伴随于}

 

^{ai 的矢量}

t a x t

a t

Da _{i j} ^k

jk i i

d d d

d

d  

称它为沿曲线C的导矢量.如果

 

^{ai 的导矢量为零，即}

d 0 d d

d  

t a x t

a _{i j} ^k

jk

i  (4)

则矢量aⁱ自身沿曲线C平行地移动，(4)式与坐标系的选择无关，就是说，矢量沿曲线的平行 移动在坐标变换下是不变的.

同样地可以考虑协变矢量

 

^ai 的绝对微分与平行移动.称

k i i jk j

j a a x

Da d  d 为协变矢量

 

^{ai 关于位移dxi}的绝对微分.平行移动的条件为

0 d da_j _jkⁱ a_i x^k  或沿曲线C平行移动的条件为

d 0 d d

d  

t a x t

a ^k

i i jk

j 

[协变导数] 从逆变矢量与协变矢量的绝对微分的定义公式可以得到量

j i k jk

i

a x

a 



 和 _k^j _jkⁱ a_i x

a 





它们是关于指标k协变的二阶张量，分别称为矢量

 

^{ai 和}

 

^{aj 的协变导数，分别记作ai;k和}

a_{j k;} 或_kaⁱ和_ka_j.

[张量的绝对微分与平行移动及其协变微分法]

由乘积的微分公式和张量的定义可以推出张量的平行移动规律.

例如，三阶张量的平行移动规律为



ik^r



^s

l rs l ir r ks l rk r is l

ik T T T x

T d

d    

四阶张量的平行移动规律为



ij^lr



^s

k rs rk ij l rs lk ir r js lk rj r is lk

ij T T T T x

T d

d     

可以看出,张量平行移动规律中所包含的项数与张量的阶数是相同的, 对于张量的逆变指标, 类似于逆变矢量平行移动的规律; 对于张量的协变指标, 类似于协变矢量平行移动的规律.记



ij^lr



^s

k rs rk ij l rs lk ir r js lk rj r is lk ij lk

ij T T T T T x

DT d      d

则称DT_ij^lk为张量T_ij^lk的绝对微分.

[张量的协变导数及其运算法则]

lr ij k rs rk ij l rs lk ir r js lk rj r s is lk lk ij

ij s lk

s

ij T T T T

x T T

T    



 



; 

称为张量T_ij^lk的协变导数，它是一个五阶张量的分量.

在普通导数中，对于已微分的张量的每个指标再加上一项就可以构成任意张量的协变导

数，对于逆变指标，这项的形式是





















 _{s rs}ⁱ _^r

i T

T _; 

对于协变指标是













 _{}







 r

r ks s

k T

T _; 

协变导数的运算法则如下：

1

若干个同样结构的张量之和的协变导数等于各个张量的协变导数之和，即

 

_s T_jⁱ_^i_j Uⁱ_j^_ⁱ_j  _sT_jⁱ_^i_j  _sU_j^i_ⁱ_j

m l

m l

m l

m l 1

1

1 1

1 1

1 1

2

满足积的微分法则，即

       

_s ABC  _sA BC A_sB C AB_sC

[自平行曲线] 在仿射联络空间中，如果切于曲线上一点M₀的每个矢量

 

^{a0i 沿这曲线平}

行移动时是切于这曲线的，则称这曲线为自平行曲线.

设曲线的方程为xⁱ=xⁱ(t), 它的切矢量为

t xⁱ d

d ，它沿曲线平行移动的条件为

d 0 d d d d

d

2

2  

t x t x t

x _i ^{j k}

jk

i 

这就是联络_jkⁱ 的自平行曲线的微分方程.设



_jkⁱ _kjⁱ



i

Sjk    2

1 上面的微分方程可写成

t x t S x t

x _i ^{j k}

jk i

d d d d d

d

2

2 

系数Sⁱ_jk显然关于j和k是对称的，并构成一个仿射联络.称Sⁱ_jk构成伴随于_jkⁱ 的对称仿射联络，

如果_jkⁱ 关于j , k也是对称的，则Sⁱ_jk与_jkⁱ 一致.