第一节 向量及其线性运算

数量关系 —

第八章

第一部分 向量代数

第二部分 空间解析几何

在三维空间中 :

空间形式 — 点 , 线 , 面

基本方法 — 坐标法 ; 向量法 坐标 ,方程（组）

空间解析几何与向量代数

四、利用坐标作向量的线性运算

第一节

一、向量的概念

二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系

五、向量的模、方向角、投影

向量及其线性运算

第八章

表示法 :

向量的模 :向量的大 小 ,

2 ,

1M 记作 M

一、向量的概念

向量 : ( 又称矢

量 ).

M1

M2

既有大小 , 又有方向的量称 向为 量

自由向量 :与起点无的向量关关 关 关. 关位向量 : 模为 1 的向

量 ,

零向量 : 模为 0 的向 量 ,

有向 段线 M₁ M₂

或

,

a ,

,

或 a ^{或 a .}

记作 e 或 e .

或 a .

. 0，或 0 记作

规定 : 零向量与任何向量平行 ; 若向量 a 与 b 大小相等 , 方向

相同 ,

则称 a 与 b 相 等 ,

记作 a ＝

b ;若向量 a 与 b 方向相同或 相反 ,

则称 a 与 b 平 行 ,

a∥b ;

与 a 的模相同 , 但方向相反的向量称为 a 的负 向量 ,

记作

因平行向量可平移到同一直上关关, 故两向量平行又称 两向量共关 .

若 k (≥3) 个向量平移可移到同一平面关关 关 关 关 关 关 关 关 关 上 ,

则称此 k 个向量共面 .

记作－ a ;

二、向量的线性运算

1. 向量的加法

三角形法则 : 平行四 形法边 则 :

运算规律 :交换律 结合律

三角形法则可推广到多个向量相加 . b

b

a b

b

a    c b

a  ) 

(  a  (b  c )  a  b  c a

b c

b a 

c b  )

(b c a  

c b

a  )  (

a

a

b a 

b a 

c b

a  

s a3

a4 a₅

a2

a1

5 4

3 2

1 a a a a

a

s     

2. 向量的减法

三角不等式 a

b   b  (a ) 有

时 特别当b  a ,

a

a   a  (a )

b a

b

a   

a b 

a

b b  a

 a

 0

b a

b

a   

可见 a a  1

; 1a  a

 3. 向量与数的乘法

 是一个数

, 规定 :



 0时，

, 0时





, 0时



 总之 : 运算

律 :

结合律 分配律

因此

， 同向 与 a

 a

 _与 a 的乘 是一个新向量积 , 记作

.

 a

; a a 

 

， 反向 与 a

 a  ^a   ^{a ;} .

 0

 a

a a 

  ) ( a



a )

(    a   a )

( a



    a

b a 

 

 ) (a  b

 ,

 0

若a 则有单位向量 e_a  ¹ a.

a a  a e^a

定理 1. 设 a 为非零向量 ,

则 ( 为唯一实 数 )

证 : “ ”. , 取 _＝

± 且

关 关

再数  的唯一性

. 则

,

 0





故



即







.

a∥b b 



a

设 a∥b ^b

a

关 关 关 反向取号 ,

, a , b 同向取正关 关 关 则 b 与  a 同 号

向 ,

设又有 b ＝ a ,

0 )

(







a 



a 



_a ^ b

a a  b .

a b 



故

,

 0 而 a

“ ” 则 ,

0 时 当  

例 1. 设 M 为

M A B

D C 解 :

ABCD 对角线的交点 , ,

0 时 当  

b

a ,

0 时 当  

, a

AB  AD  b,

AC  2 MC  2 MA BD  2 MD  2 MB 已知 b ＝

a , b ＝ 0

a , b 同向 a , b 反 向

a∥b

. ,

,

,MB MC MD

MA b

a 与 表示 试用



 b a



 a b

)

2 (

1 a b

MA   

 MB   ¹₂ (b  a) )

2 (

1 a b

MC   MD  ₂¹ (b  a )

Ⅶ

Ⅲ Ⅱ

x Ⅵ

y z

Ⅷ Ⅴ

Ⅳ

三、空间直角坐标系

由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系 .

• 坐标原

点• 坐标轴

x 轴 ( 横 轴 )

y 轴 ( 纵 轴 )

z 轴 ( 竖 轴 )

过空间一定点 O ,

• 坐标

面• 卦限 ( 八 个 )

1. 空间直角坐标系的基本概念

Ⅰ O ^xOy面

面 yOz

zOx 面

在直角坐标系下

x

y z



向径

 



^11

坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C

点 M

特殊点的坐 标 :

有序数组

( x , y , z ) ^{  }

^1

^

^1

) 0 , 0 , (x P

) 0 , , 0 ( y Q

) , 0 , 0

( z

R B(0, y, z)

( 称为点 M 的坐

标 ) 原点

O(0,0,0) ;

r

O

r

) 0 , , (x y A

M

) , 0 , (x z C

坐标 轴 :

轴 

x 0

0



 z

y

0 0



 x

 z 轴

y

轴 

z 0

0



 y 坐标面 : x

xOy面  z  0

yOz面  x  0

zOx面  y  0 x

y z

O

2. 向量的坐标表示 在空间直角坐标系下 ,

设点 M ,

) , ,

(x y z

M _则

沿三个坐标轴方向的分向量 ,

) , ,

(x y z

 x

O y

z

M

N

B C

A

, ,

, ,

, 分别表示 轴上的单位向量 以 i j k x y z

的坐标为

此式称为向量 r 的坐标分解 式 ,

任意向量 r 可用向径 OM 表示 .

NM ON

OM    OA  OB  OC

记

, i x

OA  OB  y j,

r k

z j y i

x , , 称为向量

k z OC  k

z j

y i

x

r    ⁱ

k j r

. ,

, y z 称为向量 r 的坐标

x

四、利用坐标作向量的线性运算

则 )

, ,

(a_x  b_x a_y  b_y a_z  b_z )

, ,

(



a_x



a_y



a_z

x

x a

b 



y

y a

b 



z

z a

b 





x x

a

b 

y y

a b

z z

a b 平行向量对应坐标成比例 :

，

 为实数 设 ^{a  ( a}_x ^,a_y ^,a_z^), b  (b_x ,b_y ,b_z),



 b a



 a

, 0 时 当 a 

a

b  b   a

例 2. 求解以向量为未知元的线性方程组

解 :

①

②

2× ① － 3× , ② 得

) 10 , 1 ,

7 ( 

 代入②得

) 16 , 2 ,

11

( 

 a y

x  3  5

b y

x  2  3

. 2 1

1 ,

2 1

2，，） （ ，， ）

（

其中a  b    b

a

x  2  3

) 3

2(

1 x b

y  

例 3. 已知两点

在 AB 所在直上求一点关 关 关 关 关 M , 使解 : 设 M 的坐

标为

, ) , ,

(x y z _{如图所示 A}

B M

o



 1 1

A

B

, ) ,

,

(x₁ y₁ z₁

A B(x₂ , y₂ , z₂ ) _及实数



 1,

得

 ) , ,

(x y z 11 (x₁ 



x₂ , y₁ 



y₂ , z₁ 



z₂) 即

. MB AM 



AM 



MB



AM OM  OA



MB OB  OM A

O

OM  



(OB  OM )



OM (^OA 



^OB



M

说明 : 由

得定比分点公式 : 1 ²

,

1 



 x

x ^y1₁^_^_^y2

,









1 ²

1 z

z

, 1时

当



 _{点 M 为 AB 的中} 点 ,

于是得



x ^x1₂^x2

,

^{y  y1}₂ ^y2

,

^{z  z1}₂^z2

 ) , ,

(x y z 11 (x₁ 



x₂ , y₁ 



y₂ , z₁ 



z₂ )



x y 

 z

中点公式 :

A

B M

o

A

B M

五、向量的模、方向角、投影

1. 向量的模与两点间的距离公式

2 2

2 y z

x  

 则有

2 2

2 OQ OR

OP  



x

O y

z

M

N Q R

由勾股定理得 P

) ,

,

(x₁ y₁ z₁

A _因

A

B 得两点 的距离公式间 :

) ,

,

( x₂  x₁ y₂  y₁ z₂  z₁



1 2 2 2

1 2 2

1

2 ) ( ) ( )

(x  x  y  y  z  z



对两点 与B(x₂ , y₂ , z₂ ), ,

r OM   作

NM ON 



B A B

A 

OA OB

B

A   ), ,

,

(x y z r 

设

OM r 

OM r 

OR OQ

OP  



例 4. 求证以M₁(4,3,1),M ₂(7,1,2),M₃(5,2,3)

证 :

M1

M 2

M3

2 

1M

 M (7  4)²  (1 3) ²  (2 1)²  14

3 

2M

M (5  7)²  (2 1) ²  (3 2)²  6

3 

1M

M (5  4)²  (2  3 )²  (3 1)²  6

3 1

3

2M M M

M 



即  M1M 2M3 _{为等腰三角形 .}

的三角形是等腰三角形 .

为顶点

例 5. 在 z 轴上求与两

点 A(4,1,7) 等距 解 : 设该点为M (0,0, z), 因为 M A  M B ,

)²

(4 1² (7  z)²  3²  5²  (2  z )² 解得 z  ¹⁴₉ , ^{故所求点为}

及 B(3,5, 2)

. ) ,

0 , 0

( ¹⁴₉ M

思考 :

(1) 如何求在 xOy 面上与 A , B 等距离之点的轨迹方 程 ?

(2) 如何求在空 与间 A , B 等距离之点的轨迹方程

?

离的点 .

(1) 如何求在 xOy 面上与 A , B 等距离之点的轨迹方 程 ?

(2) 如何求在空 与间 A , B 等距离之点的轨迹方程 )

7 , 1 , (4

A B(3,5, 2) 提示 :

(1) 设动点为M (x , y,0),_利用 M A  M B , _得 ,

0 28

8

14x  y  

(2) 设动点为M (x, y , z), _利用 M A  M B , _得 0

14 9

4

7x  y  z  

且 z  0

例 6. 已知两点A(4,0,5)和B(7,1,3), 解 :

14

 1 (3 ,1,  2)

 

14 , 2

14 , 1

14

3 



B A

B A

求 AB 的单位向量

 e . e

O y z

x 2. 方向角与方向余弦

设有两非零向量 任取空间一点 O ,

O

A B 称  = AOB ∠ (0≤ ≤  ) 为向量



的夹角 .

类似可定义向量与轴 , 轴与轴的夹角 .

与三坐标轴的夹角 ,  , 

  为其方向角 .



cos x2 y2 z2

x



 

方向角的余弦称为其方向余弦 .

, a OA  作

, b OB 

, ,b a

b a,

, 0 )

, ,

(





x y z

给定

r

称

r



 ) , (a b

记作 或 (b, a)  

r

 x

r

O y z

x

r

 



cos x2 y2 z2

x



 



cos x2 y2 z2

y



 



cos x2 y2 z2

z



 

1 cos

cos

cos²



 ²



 ²



 方向余弦的性质 :

) cos ,

cos ,

(cos

  

 r

 x

r

 y

r

 z

r e_r  r

的单位向量 : 向量 r

例 7. 已知两

点 M₁( 2,2, 2 ) _和M ₂(1,3,0), 的模 、方向余弦和方向角 .

解 : 1 2, 3  2, 0  2)

计算向量

) 2 ,

1 , 1

( 



2 2

2 1 ( 2)

) 1

(     2

2,

cos



  1 ,

2 cos



 1

2 cos



  2



 _, 3

π

2



 ,

3

π





4 π 3

2 1M M

2 (

1M  M

2 

1M M

例 8. 关 点 A 位于第一卦 限 ,

解 : 已知

角依次为 ₃^π

,

₄^π

,

求点 A 的坐标 . 4 ,

, π 3

π 







则





 ^{2 2}

2 1 cos cos

cos   

4

 1 因点 A 在第一卦限 故, ^,

2

cos  1 于是



 6 cos



, cos



, ^cos

^ 

) 3 , 2 3

, 3

 ( 故点 A 的坐标为(3,3 2,3).

向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 ,

 6 A 且 O

OA  OA e_OA



 6 , 2

1 ,

2

2



2 1

O u

u u a (a)

Prj 或

记作

M  3. 向量在轴上的投影

O u

a 则 a 在轴 u 上的投影为

例如 , ^{a  (a}_x^,a_y^,a_z⁾在坐标轴上的投影分别为 设 a 与 u 轴正向的夹角为 ,

M



, 即

 cos )

(a _u  a



 cos a

z y

x a a a , , 投影的性质

2) ( a)_u   (a)_u

1) (a  b)_u  (a)_u  (b)_u

( 为实数 )

M  M

例 9.设立方体的一条对角线为 OM, 一条棱为 OA, 且 ,

a

OA  求 OA 在 OM 方向上的投影 .

解 : 如图所示 , 记 ∠ MOA =  ,

  cos

A O

M

OM  OA

3

 1

3

 a

作业 P12 3 , 5, 13, 14,

15, 18, 19

a



cos Prj _OM OA  OA



备用题

解 : 因

1. 设

求向量 在 x 关 上的投影及在 y 轴上的分 向量 .

13 a x

在 y 轴上的分向量为 故在 x 轴上的投影为

, 8 5

3i j k

m    n  2 i  4 j  7k , p  5 i  j  4k p

n m

a  4  3 

p n

m

a  4  3 

) 8 5

3 (

4 i  j  k

  3(2 i  4 j  7 k) ) 4 5

( i  j  k

 k j

i 7 15

13  



j j

a_y  7

2. 设 求以向量 行四边形的对角线的长度 .

该平行四边形的对角线的长度各为 3, 11 对角线的长为

解：

为边的平

m n

n m ,

|,

| m  n | m  n | )

1 , 1 ,

1

( 



 n

 m

) 1 ,

3 , 1

( 



 n m

3

|  

 m n

11

| m  n 

, 2 j k n    ,

j i

m  