第二节 二重积分的计算---直角坐标系下的计算

7.1 重积分

7.1.2

二重积分的计算

---

直角坐标系下的计算

一、相关问题

1. 观察如下的曲顶柱体，能否用平行截面面积已知的立体体积的定积分计算公式给出其 体积计算？

解 ： f(x,y)0_{时 ，} ( , )

D f x y d



^V （ 曲 顶 柱 体 的 体 积）。可用平行截面面积已知的立方体体积的公式求该曲顶柱 体的体积如下：

（1）D：

1( ) 2( )

a x b

x y x

 

  

  

 ^{； x0 [ , ]a b ，过x0点作垂直}

于x轴的平面，平面与曲顶柱体有一截面，设截面面积为 A x( )0 _，

则A x( )0 _为： ^{2 0}

1 0

( )

0 ( ) 0

( ) ^x ( , )

A x ^ x f x y dy





 ^；

由x0[ , ]a b _{的任意性，有} x [ , ]a b _{，截面面积为：}A x( ) ²

1

( )

( )^x ( , )

x f x y dy







 ^；

根据平行截面面积已知立体体积的计算公式，曲顶柱体的体积为

V  ^b ( )

a A x dx



^b[ ₁²( )^{( )x} ( , ) ]

a ^ x f x y dy dx



 



从而， ( , )

D f x y d



^b[ ₁²( )^{( )x} ( , ) ]

a x

V ^ f x y dy dx

 

 

 —二次积分（累次积分）

上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把x看作常数, f(x,y)_只看作y_的函数, 对 f(x,y)_计算从



₁(x)_到



₂(x)的定积分,然后把所得的结果( 它是x^{的函数 )再对}x^从

a

到b计算定积分.（以上积分区域D也称为X型区域）

注：为了书写方便，这个先对y, 后对x的二次积分也常写为：

( , )

Df x y d



^b[ ₁²( )^{( )x} ( , ) ]

a ^ x f x y dy dx



 

 1²

( )

( ) ( , )

b x

a dx ^ x f x y dy



 

 ^(7.2.1)

在上述讨论中,假定了 f(x,y)0，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计 算公式(7.2.1).但实际上,公式(7.2.1)并不受此条件限制,对一般的 f(x,y)_(在D上连续), 公式(7.2.1)总是成立的.

（2）同理，若积分区域D为Y型区域，即D：

1( ) 2( )

c y d

y x x

 

  

  

 ^{，写出相应的二}

次积分公式： ( , )

D f x y d



^d[ ₁²( )^{( )y} ( , ) ]

c ^ y f x y dx dy



 

 1²

( )

( ) ( , )

d y

c dy ^ y f x y dx



 



二、有关知识

1. 给定如下简单的积分区域，怎样用不等式组的形式来描述它们？

解 ： (1) a x b

D c y d

  

    ^；

（2） _{2 2}

0

R x R

D y R x

  

 

  

 ^{或 2 2 2 2}

0 y R

D R y x R y

  

      ^；

（3） 1 2 1 2 2

0 1 1 2

, ,

0 0 2

x x

D D D D D

y x y x

   

 

 

其其

      

或 0 1

2 D y

y x y

  

    

2. 积分区域的不等式组描述的一般方法？

答：平面上的简单区域及其不等式组的表示方法，如图

D

O 1 2

y x 2 x y 2 D

a b

c

d

D

R R

2 2

y R x

X 型区域：将区域D向x轴投影得x[ , ]a b _，在[ , ]a b _{内任取一点}x_{，作垂直于}x_的 直线，交区域的下、上边界曲线y1( ),x y2( )x _，得₁( )x  y ₂( )x _{，于是区域}D

可以表示为

1( ) 2( )

x

a x b

D  x y  x

  

   

同理可以确定Y型区域的不等式表示

1( ) 2( )

y

c y d D  y x  y

  

    ^：

如果积分区域不是以上简单区域，

则应当适当划分为简单区域，分别用不等式组表示出来。









^{  }

3 2

1 D D

D D

3. 直角坐标系下计算二重积分的关键步骤是什么？

答：关键步骤是选择合适的积分变量，并将积分区域表示为直角坐标系下的关于（X，Y） 的不等式组的形式。

4. 如果积分区域D为：axb，^{c yd}时，则二重积分的计算公式简化为什么形 式？

答：



^

 

^

 

^b

a d

c D

d

c b

a

dx y x f dy dy

y x f dx d

y x

f( , )  ( , ) ( , ) ；

三、练习题

1．求



^

D

dxdy y

x )

( ² _，其中D是由抛物线y x²和x y²所围平面闭区域.

解：求两曲线的交点

2

2 (0,0) , (1,1), y x

x y

  

 

 ^如图，

将D看成X型 ₂0 1

x , D x

x y x



  

   

型

2

1 1

2 2 2 2 4

0 0

1 33

( ) ( ) [ ( ) ( )] .

2 140

x D x

x y dxdy dx x y dy x x x  x x dx 

   

2．计算 其中 由 1, 2围成．

,

2 .

2   



^x_y ^{d D y x y} _x ^x

D



（分别按将D看成X型或Y型区域讨论，对比其计算上的差异）

解：交点坐标为（1，1），（2,1/2）,（2,2），

将Ｄ看成X-型区域

1 2

: 1 ,

x

D y x

x

  



  

2 2 2

2 1 1 2

x D x

x x

d dx dy

y   y

  

^{12 2} 1

x

x

x dx y

 

  

 



^

_

₁^{2(x3x dx) 9}₄

若将Ｄ看成Ｙ－型区域，则需将Ｄ分成两部分 1 2

1 1

1 2

: 2 ,

1 2 2

y y

D D

x y x y

  

   

   

  



2 1 2 2 2 2 2 1 3 2 2 3 2

1 1 1 1

2 2 1 2 2 1 2

2 2

1 1 1 1 1 1

| |

3 3 ^y

y y y

D

x d dy x dx dy x dx x dy x dy

y   y  y  y   y 

      

^{ 9}₄^.

3．求



^

D

y dxdy e

x^{2 2} _{，其中D是以}(0,0),(1,1), (0,1)_为顶点的

三角形.

解：^



e dy^y2 无法用初等函数表示，积分必须考虑次序，先对x积分，

即将D看成Y-型区域 0 1 0 ,

Y

D y

 x y

  

   

型

2 y2

D

x e dxdy^



₀¹ ₀ ^{2 2} ₀^{1 2 3}

3

y y y y

dy x e dx^ e^ dy



 





 0^{1 2} 3³

y y

e^ dy





 0^{1 2} 6^{2 2}

y y

e^ dy







1 2

(1 ).

6 e

 

4．改变二次积分

 

^



1³



^

3 0 2

0 1

0dy ^y f(x,y)dx dy ^y f(x,y)dx的积分顺序。

解：D如图所示，

0 2

D 1 ,

2 3 x

x y x

  

   

交换积分次序：



即，原积分化为 ₀^{2 13}

2

( , )

x

dx x^ f x y dy



 

四、思考题

1．直角坐标系下计算二重积分时，如何确定合适的积分次序？

答：要根据积分区域的特点，同时兼顾被积函数的特点选择合适的积分次序。

2．如何交换二重积分的积分次序？

答：先利用已给的的积分次序，得到D的不等式组（如Ｘ－型）描述，作出的图形，在将 D的不等式组描述换成另一种描述（如Ｙ型），从而得到交换次序的二重积分计算形式。