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中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第 第 7 7 章 多元函数积分 章 多元函数积分 学 学

高等数学 A

7.2 7.2 曲线曲面积分 曲线曲面积分

7.2.6 Gauss 公式 7.2.7 Stokes 公式

7.2 曲线曲面积分

7.2.6 Gauss 公式 7.2.7 Stokes 公 式

高斯 (Gauss) 公式

Gauss 公式

Gauss 公式应用习例 1-3 、 4-6 、例 7 沿闭曲面的曲面积分为零的条件 例 8综合习例

斯托克斯 (Stokes) 公 式

Stokes 公式 应用习例 11-15

沿闭曲面的曲面积分为零的条件 应用习例 16-17

高 斯 公 式 与 斯 托 克 斯 公 式

高斯

(1777 – 1855)

德国数学家、天文学家和物理学家 , 是与阿基米德 , 牛顿并列的伟大数学家 ,

他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、

级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创 性的贡献 , 他还十分重视数学的应用 ,

地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、

曲面论和位势论等 . 他在学术上十分谨慎 , 原则 :

代数、非欧几何、 微分几何、 超几何

在对天文学、大 恪守这样的

“ 问题在思想上没有弄通之前决不动笔” .

5.5.2 (P285)

( ) ( ) ( ) ,

x y dydz y z dzdx z x dxdy



    





回顾上节例 求

：以下图示立方体外侧。

（用代入投影法直接计算，计算量大）

1

一代二投三定向

提问： Greens 公式表达了平面有 界闭区域上的二重积分与其边界 上的 II 型曲线积分之间的关系

，那么封闭空间闭区域上的三重 积分与其边界曲面上的 II 型曲 面积分之间有什么关系？

一、 Gauss 公式 定理 1.

; )

1

( 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面 所围成

; )

, , ( ), , , ( ),

, , ( ) 2

( P x y z Q x y z R x y z 在上有一阶连续偏导





  

 



 



 



 dv

z R y

Q x

Rdxdy P Qdzdx

Pdydz ( )

则





  

 



 



 



 dv

z R y

Q x

dS P R

Q

P cos cos cos ) ( )

(   

或

. )

, , (

cos ,

cos ,

cos ,

弦 处的外法向量的方向余 上点

是 的整个边界曲面的外侧

是 其中

z y

 x



   

证 .

(1) 设平行于坐标轴的直线与边界曲面的交点不

多于两 个，如图

x

y z

o



设闭区域



_在

xoy

_面上的投

影区域为

D

_xy.

Dxy

_由_1,_2和_{3三部分组成,}

1

; ),

, (

:

₁

1

z  z x y 取下侧





2

; ),

, (

:

₂

2

z  z x y 取上侧





3

.

3

, 取外侧



} )

, ( ), ,

( )

, (

| ) , ,

{(x y z z₁ x y  z  z₂ x y x y  D_xy

 且 

根据三重积分的计算法

dxdy z dz

dv R z

R

Dxy

y x z

y x

  

z

 

 



 { ^{( , )} }

) , (

2 1

. )]}

, ( ,

, [ )]

, ( ,

, [

{ _{2 1}



^



Dxy

dxdy y

x z

y x R y

x z

y x R

根据曲面积分的计算法

, )

, , (

3 2

1









   





 Rdxdy Rdxdy Rdxdy dxdy

z y x R







Dxy

dxdy y

x z

y x

R[ , , ₁( , )] ^



Dxy

dxdy y

x z

y x

R[ , , ₂( , )]  0 .

) , ,



(



 

 

  dv R x y z dxdy z

R

同理 , ^{  {(x, y, z) | y}₁^{(x, z)  y  y}₂^{(x, z),(x, z) D}_xz^}



,



 

 

 dv Qdzdx y

Q

} )

, ( ), , ( )

, (

| ) , ,

{(x y z x₁ y z  x  x₂ y z y z  D_yz





 ,



 

 

 dv Pdydz x

P

三式相加得 ,

. )

(





 





 

 



 



 dv Pdydz Qdzdx Rdxdy

z R y

Q x

P

(2) 当平行于坐标轴的直线与边界曲面的交点多于两个 时 , 引进辅助曲面分成多个 (1) 中的区域，可得结论 .

公式成立的条件

 封闭曲面

 )

1 (

方向取外侧

  )

2 (

z 连续 R

y Q x

P











 , , )

3 (

根据

Gauss

公式，用三重积分来计算曲面积 分

是比较方便的，同时也说明，可用曲面积分来计算 三重积分 .

注意 :

(1) Gauss 公式的实质：表达了空间闭区域上的三重积分

与其边界曲面上的曲面积分之间的关系 .

(2) Gauss 公式可用来简化某些曲面积分的计算 .

(3) 不是封闭曲面时 , 添加辅助面后可用 Gauss 公式 .

(4) 使用 Gauss 公式时应考虑 : P,Q,R 是对什么变量求偏

导 , 是否有连续偏导 , 是否是闭曲面的外侧 .

如果是闭曲面的内侧 , 则在三重积分号前添“”号 ! (5) 可用曲面积分计算空间区域的体积 :









 xdydz ydzdx zdxdy V 3

1





 xdydz

or





 ydzdx

or





 zdxdy

or

Gauss 公式的实质

表达了空间闭区域上的三重积分与其边 界曲面上的曲面积分之间的关系 .

( )

( cos cos cos ) .

P Q R

x y z dV

P  Q  R  dS





    

  

  



 

由两类曲面积分之间的关系知

, )

( )

( .

1 

^{2 2}









 z dydz x dzdx y xz dxdy x

计算 y 例

其中是第一卦限内边长为 a 的正方体表面并取外侧 .

.

cos ,

cos ,

cos ,

) cos cos

cos (

. 3

2 2

2 2

3 3

3

的方向余弦

是球面内法线 球面

是 其中

计算 例











 a z

y x

dS z

y x

















Gauss 公式应用一 : 直接用

解 ^{记所围的区域为,}利用 Gauss 公式，有



 

 



 



  dv

z R y

Q x

P )

原式 (







 ( y x)dxdydz







^

 ^adx ^ady ^a y x dz

0 0

0 ( )  a⁴.

, )

( )

( .

1 

^{2 2}









 z dydz x dzdx y xz dxdy x

计算 y 例

其中是第一卦限内边长为 a 的正方体表面并取外侧 .

解

x

o

y z

1 1

利用 Gauss 公式 , 得 3



 

 



 



  dv

z R y

Q x

P )

原式 (







 ( y z)dxdydz







 (r sin z)rdrddz







^

 3

1 0 2 0

0 ^d ^{rdr (r sin} ^z)dz

. 2

 9



解 记所围空间区域为由, Gauss 公式 , 有









 x³dydz y³dzdx z³dxdy 原式











 3(x² y² z²)dv









 3 ₀^2 d ₀^ sind ₀^a ⁴d . 5

12 ₅



a













 3



²



² sin



d



d



d



.

cos ,

cos ,

cos ,

) cos cos

cos (

. 3

2 2

2 2

3 3

3

的方向余弦

是球面内法线 球面

是 其中

计算 例











 a z

y x

dS z

y x

















2 2 2 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( 3 )

0 .

I y x z dydz x z y dzdx z y x dxdy

z x y z a



        

    



计算曲面积分

其中为旋转抛物面上在部 例.

分的下侧 4

高斯公式的应用二：间接用

（补平面使曲面封闭再用）

例 5

. ^{I }



_ (^{x3z  x})d ^y d ^{z  x2 yz} d ^z d ^{x  x2z2} d ^x d ^y. 设 为曲面z  2  x²  y², 1 z  2_取上侧 , 求

例 6 d d d d d d ,

2 2



2

  



 

z y

x

y x z x

z y z

y I x

计算

的 为球面x²  y²  z²  a²

 外侧 .

2 2 2 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( 3 )

0 .

I y x z dydz x z y dzdx z y x dxdy

z x y z a



        

    



计算曲面积分

其中为旋转抛物面上在部 例.

分的下侧 4

a2



z

x

o

y

2 2 2 2

0

: 2 2 1,

,

: ( ), .

P Q R

x y

x y z

z a x y a

        

  



    解

因为不是封闭的可补平面

取其上侧

a2







 







0 0

则 I

0

2 2

: ,

( 2 2 1) ( 3 )

z a

z

x y dxdydz y x dxdy

  

        

上侧

2 2 2

( 3 )

Dxy

dxdydz a y x dxdy











 

0 , ,











 

ydxdydz xdxdydz

zox yoz

则

面对称 面

关于 因为

4 4

4 0

2 2

2 2 0 4

0

2 2

2 2

2 2 0

0 2

0

2 3 ) 2

2 cos 2

2 (

) cos

3 sin

(

2 2

a a

a rdr

r r

a d

a

rdr r

r a

d

dz rdr

d

a a

a r a

 

 

 





















































例 5

. ^{I }



_ (^{x3z  x})d ^y d ^{z  x2 yz} d ^z d ^{x  x2z2} d ^x d ^y. 设 为曲面z  2  x²  y², 1 z  2_取上侧 , 求

解 :

作取下侧的辅助面 1

1 : 

 z (x, y) D_xy : x²  y² 1



I

 











1 1



_

 d xd ydz ^{ (1)}



_Dxy(x²)d x d y



 ^2



0 d



¹₀^{d r}



₁^{2r2 d z }



₀^{2 cos2}

^

^d

^ 

¹₀^{r3 d r  13}₁₂

^

1 z

o

x y

2 1



1

用柱坐标 用极坐标

2 2 2

3 1 2 1

P Q R

x z x z x z

x y z

         

  

x

y z

O

n 例 6 d d d d d d ,

2 2



2

  



 

z y

x

y x z x

z y z

y I x

计算

解

 I



^





z y

a3 dxd d _{3 2}

3 4 4

3 a a

a     的

为球面x²  y²  z²  a²

 外侧 .







 y z x z x y z

y

xd d d d d d a

1

能否直接用

点 (x,y,z) 在曲面上

, 然后再用高斯公式 .

可先用曲面方程将被积 因被积函数中的 函数化简，

高斯公式

解

( 如图 )

2

1 z

2

x y   

y x yz x

z y

z y x y

I 



(8  1) d d  2(1 ²)d d  4 d d



) 3 1

0 (

1  









 y

x

y 是曲线 z

其中

2 . 恒大于 高斯公式的应用三：计算曲面积分

绕 y 轴旋转曲面方程 为

的曲面 , 它的法向量与 y 轴正向的夹角









 0

1 x

y z

绕 y 轴旋转一周所成

x

y z

o ^{1 3}

2

 ^*

例 7

x y z

O

z y z x

R y

Q x

P d d d

1





^{ }_^{ }_ ^{ }_ ^{ }_ ^_^

 





^{  }





z y x y

y

y 1 4 4 )d d d 8

(

y x yz x

z y

z y x y

I 



(8  1) d d  2(1 ²)d d  4 d d



欲求







v d

1

:

补 

_{取右侧 .}





^



₁ ₁



I

2

1 z2 x y   

有

n

n

,

 3 y

高斯公式









 ³

1 2

0 2

0 d d ² d





  

y

 

 



Dxz x z ³ z x y

1 ^{2 2} d d

d

2 2

2 ( 2)

: x  z  D_zx

柱 坐 标



^

 ²

0

3)d 2

(

2

   

^{ 2 .}



 32







 ( 32 )

2   34 

y x yz x

z y

z y x y

I ( 8 1 ) d d 2 ( 1 ) d d 4 d d

1

2









 



求

, 3

1 : y 

补



^取右侧





1







Dzx

x zd d 16

)2

2 (

16











2

2 2

2 ( 2)

: x  z  D_zx

0 0

Dzx

x zd d

) 1

(  3²

故







2

1













 

₁ ₁



I

注

① 应用

Gauss

公式计算曲面积分时，要求 曲面必须是封闭曲面，若不封闭，则需要添加

一辅助曲面使其封闭，而在所添加的曲面上，

曲面积分应是容易计算的，用

Gauss

_公式计算

三重积分，最后减去所补曲面上的积分值。

②

Gauss

公式要求曲面取外侧这一点也不容 忽视，尤其是对非封闭曲面的曲面积分，所添加 的辅助曲面的侧一定要和所给曲面的侧一致，若 不满足外侧的要求，可利用反向性予以调整

（相差一个负号）

③ 可以证明在特殊情况下，

Gauss

_公式就是

Green

_公式

.沿闭曲面的曲面积分为零的条件 二

定理 2. (1)设开区域 G是一个空间的单连通域;

; )

, , ( ),

, , ( ),

, , ( ) 2

( P x y z Q x y z R x y z 在G内有一阶连续偏导 则有结论 :

, )

1

( 若为G内任一有向闭曲面

. 0

0 



 



 



 









 z

R y

Q x

Rdxdy P Qdzdx

Pdydz

, ,

) 2

( 若₁ ₂为G内同一边界曲线所张的任两有向曲面



















2 1

Rdxdy Qdzdx

Pdydz Rdxdy

Qdzdx Pdydz

.

 0



 



 



 

z R y

Q x

P

证 .



由 Gauss 公式，有

z dv R y

Q x

Rdxdy P Qdzdx

Pdydz





  

 



 



 



 ( )

0

0 









^反证法 dv

,

0  0



 



 





z R y

Q x

M P

G内有一点 使得

假设在

,

 0



 



 





z R y

Q x

不妨设 P 由于 , , 连续, z

R y

Q x

P













1,

1 0



 小空间区域

为边界曲面的 的

内存在一个包含

故在G M

,

1  0



 



 



 

z R y

Q x

内也有 P 且在

0 )

(

1 1

 

 



 



 







 





z dv R y

Q x

Rdxdy P Qdzdx

Pdydz

与已知矛盾，故结论成立 .

例 8

.

^{I } 

^

2 ^x d ^y d ^{z  y} d ^z d ^{x  z} d ^x d ^y .

设 为曲面 ^{z  a2  x2  y2 ,} ₂^{a  z  a , 上侧}, 求

P309-4(5).

P Q R 0,

x y z

  

  

  

解：

: ( )

2

2 d d d d d d

Z a

I x y z y z x z x y

 

   

上

2 2 2

2 3

: ( ) : 3

2 4

3 3

2 2 4 8

xy

Z a up D x y a

a a

zdxdy dxdy  a  a

   

 



 



    

该积分与曲面无关，可选平 面 _: , 取上侧

2 Z a

 

三、综合习例

2 2

3. I y zdxdy x ydzdx,









例算计

. )

1 0

2(

2 的下侧

是第一卦限内抛物面    

 z x y z

1. 4zxdydz 2 yzdzdx (1 z dxdy2) ,



  



例算计

. 2 ,_{其法向量与 轴正向夹角恒大于}



所成的曲面 z

轴旋转一周 绕

为由曲线

其中 y a z

x

e z ^y

) 0

(

0  







 

2 2

2. I xf x( y 1)dydz,







 

例算计

. 1

1

2 1

2 被 与 所截的外侧 是

其中 x  y  z  z  

4. x z2 cos dS,





例算曲面分计积

轴正向的夹角. 向上的法线正向与

是 oz



2 ,

2 2

2 的下半部

是球面

其中 x  y  z  a

2 2 2 3/2

5. ,

( )

xdydz ydzdx zdxdy

I _ x y z

 



 

  例算曲面分计积

. 4

2

2 ^{2 2 2} 的外侧

是

其中 x  y  z 

2 2 2

6.  z a  x  y z  0 ,

例空域由曲面与平面成设间区围

其中 a 为正常数 , 记 Ω 表面的外侧为∑ , Ω 的体积为 V, .

) 1

2 (

2 2



2









 xy z dzdx z xyz dxdy V dydz

yz 证明 x

. )

( )

( )

(x dydz p y dzdx q z dxdy

r  





7. ( ), ( ), ( ) , 0 ,0 ,

0 ,

r x p y q z x a y b

z c

    

 

例可微方体

的外求 设为长

侧

x

y z

o a 解 所给曲面如图，

ea

,

1 : z  ea

添加辅助面 _取上侧 ,

,₁ 

 围成的空间区域为 记

由 Gauss 公式有

1. 4zxdydz 2 yzdzdx (1 z dxdy2) ,



  



例算计

. 2 ,_{其法向量与 轴正向夹角恒大于}



所成的曲面 z

轴旋转一周 绕

为由曲线

其中 y a z

x

e z ^y

) 0

(

0  







 







  







1 1

原式

 













1 1









 (4z 2z 2z)dv









1

) 1

( z² dxdy













2 2

2

) 1

( ²

a y

x

a dxdy e

. )

1

(e^2a 



a²



解 如图所示 , 关于yoz面对称, . )

1

( x² y² 是x的奇函数

xf  

, 1

: ²

1 x   y

记 _取前侧 ,













1

) 1 (

2 xf x² y² dydz

I x

y z

o 1 1

 1







  







1

1 1

1

2 (2) 1

2

zy

dydz f

y ^{ 2 f (2)}



_¹₁^dy



_¹₁ ^{1  y2dz}

).

2 ( 2



f



2 2

2. I xf x( y 1)dydz,







  例算计

. 1

1

2 1

2 被 与 所截的外侧 是

其中 x  y  z  z  

解 如图所示，

, 0

1 : 

 x

添加辅助面 取后侧

, 0

2 : 

 y 取左侧

, 1

3 : 

 z 取上侧 ^x

y z

o 1

由 Gauss 公式有









    

















3 2

1 3

2 1

I

, ,

,

,₁ ₂ ₃ 

 围成的空间区域为 记

2 2

3. I y zdxdy x ydzdx,









例算计

. )

1 0

2(

2 的下侧

是第一卦限内抛物面    

 z x y z







 (x² y²)dv







3

2zdxdy y





 r²rdrddz





 



0 ,

0 1

2

2 2

y

x y

x

dxdy y





 r²rdrddz













0 2

1 0

2 2 sin

 





r

rdrd r







 ₀^2 d ₀¹r³dr r¹2 dz ^



₀^{2 sin2 d}



₀^1r3dr

48 .

 



x

y z

o

解 如图所示，

0 sin

cos

0 sin

2 2

2 2

2 2

0 







^d



^{ d}



^{a   d}











 d d ₀^{a 4}d

2 2 3

0

2 sin

cos   _^    



, 0

1 : 

 z

添加辅助面 取下侧







  







1 1

2zdxdy 原式 x







 x²dv







1

2zdxdy x

 

4. x z2 cos dS,





例算曲面分计积

轴正向的夹角. 向上的法线正向与

是 oz



2 ,

2 2

2 的下半部

是球面

其中 x  y  z  a

解 添加辅助面^₁ ^{: x2  y2  z2  1,} 取内侧

1之间的部分, 与

为 

 由Gauss公式得,





 









1 1

原式

 



  



 



1

2 / 3 2 2

2 )

0 (

z y

x

zdxdy ydzdx

xdydz dv













1

zdxdy ydzdx

xdydz











2 1

2 2

3

z y

x

dv  4 .

2 2 2 3/2

5. ,

( )

xdydz ydzdx zdxdy

I _ x y z

 



 

  例算曲面分计积

. 4

2

2 ^{2 2 2} 的外侧

是

其中 x  y  z 