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中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第 第 7 7 章 多元函数积分 章 多元函数积分 学 学

高等数学 A

7.2 7.2 曲线曲面积分 曲线曲面积分

7.2.2 第二类曲线积分

7.2 7.2 曲线曲面积分 曲线曲面积分

7.2.2 第二类曲线积分

第二类曲线积分

.引例与概念 一

.性质 二

三 . 对坐标的曲线 积分的计算

直接计算法 习例 1-8

对称性简化计算法

.对坐标的曲线积分的应用

四 变力作功

习例 9-10

两类曲线积分之间的联系 ^{联系表达式（公式）}

习例 11-12

第

二

类

曲

线

积

分

引例 : 变力沿曲线所作的功 一 . 引例与概念

. ,

, )

, ( )

, ( )

, (

所作的功 求

移至 由

面上光滑曲线弧

沿 作用下

考虑质点在

F B

A L

xoy

j y x Q i

y x P y

x

F 





  

o x

y

A

B L

1

Mn

Mi

1

Mi

M2

M1

xi

 ⁱ

y

分割

. ),

, (

, ),

, ( ,

1 1

1

1 1

1 0

B M

y x

M

y x

M M

A

n n

n

n 











. ) (

)

1M ( x i y j

M_{i i}   _i    _i 

) , ( _{i i} F  

, ) ,

( )

, ( )

,

( P i Q j

F _i _i  _i _i   _i _i  取

, )

,

( _{i i i 1 i}

i F M M

W   _

  

. )

, ( )

,

( _{i i i i i i}

i P x Q y

W    

    

即

求和

.]

) ,

( )

, ( [



1













 ⁿ

i P i i xi Q i i yi

取极限 lim [ ( , ) ( , ) .]

0



1

      

 ⁿ

i P i i xi Q i i yi

W    



近似值

精确值







 ⁿ

i

Wi

W

1

定义 :

. )

, ( ), ,

(

, 上有界

在

的有向光滑曲线弧 到

面上从 为

设

L y

x Q y

x P

B A

xoy L

), ,

, 1 (

) 1

( 任意分L成n个有向小弧段M_i1M_i i   n ;

,  





x x x y y y

, )

, ( ) 2

(  _i _i  M_i1M_i

; )

, (

, )

, (

1

1





 



 ⁿ

i i i i

n

i P i i xi Q   y

作

}, {

max )

3

( ₁

1 的长度

记 _{i i}

n

i M _ M



 



, )

, (

, 在 ₁ 上怎样的取法 怎样的分划

如果无论对L _i _i M_i M_i (*)

)

, ( lim

0



1

 ⁿ 

i P i i xi



; )

, ( (*)

,则称 为 在 上对坐标 的曲线积分 都存在 P x y L x

(**)

)

, ( lim

0



1

 ⁿ 

i Q i i yi



. )

, (

(**)为 在 上对坐标 的曲线积分 称 Q x y L y

也称为第二类曲线积分或 II 型曲线积分 ! 记为 ( , ) lim ( , )

0



1



  ⁿ 

i i i i

L

x P

dx y

x

P  



)

, ( lim

) , (

0



1



  ⁿ 

i i i i

L

y Q

dy y

x

Q  

注意 : 

. ,

) , ( ),

, ( :

) 1 (

第二类曲线积分存在 上连续时

在光滑曲线弧 当

存在性 P x y Q x y L

. )

, ( )

, ( )

, ( )

, ( )

2

(



_L ^{P x y dx }



_L^{Q x y dy }



_L ^{P x y dx  Q x y dy}

(3) 物理意义 : 变力沿曲线作功 ,



^ .

 _L F ds

W 

.

, ds dxi dyj

j Q i

P

F         其中

. ,

, ,

) 4

( x_i y_i是弧M_i1M_i在x y轴上的投影 可正可负 )

5

( 对于空间有向曲线弧 有

. )

, , ( )

, , ( )

, ,



_ ^P(^{x y z dx  Q x y z dy  R x y z dz} .

) ,

, ( lim

) , , (

0 1 i i i

n i

i x

P dx

z y x

P 







     



. )

, ,

( lim

) , , (

0 1 i i i

n i

i y

Q dy

z y x

Q 



   



  

. )

, ,

( lim

) , , (

0 1 i i i

n i

i z

R dz

z y x

R 



   



  

(6) , ,

当路径为一条封闭平面曲线时规定逆时针方向L 为正方向记作



L^

F  ^ d S 

( , ) ( , )

L

P x y dx Q x y dy





 



或

( , , ) ( , , ) ( , , )

F dS P x y z dx Q x y z dy R x y z dz

    



^{ }



 

o z

x y

 2 ,

2 1

2









  

 x y z y x

从 z 轴正向看为逆时针方 向 .

.性质 二

. )

, ( )

, (

) , ( )

, ( .

1

2 1

2 1













L L

L

dy y

x Q k

dx y

x P k

dy y

x Q k dx

y x P k

.

, .

2

2 1

2 1







_L ^{Pdx  Qdy } _L ^{Pdx  Qdy } _L ^{Pdx  Qdy}

L L

L分成 和 则

如果把





_L ^{P(x, y)dx  Q(x, y)dy  } _L ^{P(x, y)dx  Q(x, y)dy}

. 3





_AB ^{P(x, y)dx  Q(x, y)dy  } _BA ^{P(x, y)dx  Q(x, y)dy}

即

即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关 .

.对坐标的曲线积分的计 算 三

定理 . (1)设 P(x, y),Q(x, y)在 L上连续 , ),

( ) ) (

2

( 





t y

t L x

 的参数方程为 

, 0 )

( )

( ,

) ( ),

(t  t ² t  ² t 

 _{具有一阶连续导数 且} 1. 直接计算法

. )

, (

, )

3 (

B L

A L

y x M

t

运动到 沿

的起点 由

点

时 变到

单调地由

当  

{ [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )} .

L Pdx Qdy

P t t t Q t t t dt

   ^    ^



 





则

注意 :

. )

( )

1

( 定积分是从 起点  终点 进行积分的 .

,

, 可正可负

的方向不同

随L x y



. )

( :

) 2

( L y  x x由a  b

. )

( :

) 3

( L x   y y由c  d

{ [ , ( )] [ , ( )] ( ) } .

b

L

Pdx Qdy  

a

P x  x  Q x  x   x dx

 

{ [ ( ), ] ( ) [ ( ), ]} .

d

L Pdx Qdy  c P  y y  y  Q  y y dy

 

.

), (

: ) 4

( L r  r  由  

.

sin , )

(

cos )

: (   







 







  由

r y

r L x

.

, ) (

) (

) ( :

) 5

(  







 











 t由

t z

t y

t x

{ [ ( ), ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( ), ( )] ( ) Pdx Qdy Rdz

P t t t t Q t t t t



       







 

  









 





(6) 计算过程概括为 “ 一代二换三定向” .

{ [ ( ) cos , ( ) cos ] ( )

[ ( ) cos , ( ) cos ] ( )]}

L Pdx Qdy P r r x

P r r y d



     

     

  

 

 

例 1

. )

1 , 1 ( )

1 , 1 (

, ²

的一段弧 到

上从 为抛物线

其中 计算

B A

x y

L

L xydx







. )

0 , (

) 0 , ( )

2 (

; )

1 (

2 ,

的直线段 轴到点

沿 从点

的上半圆周

针方向绕行

、圆心为原点、按逆时 半径为

为 其中

计算

a B

x a

A a

L dx

L y





例 2

例 3 ²

2 2

2 ,

(1) (0,0) (1,1) ;

(2) (0,0) (1,1) ;

(3) , , (0,0)(1,0),(1,1).

L xydx x dy L

y x O B

x y O B

OAB O A B









计算其中为

抛物线上从到的一段弧 抛物线上从到的一段弧 有向折线，这里依次是点

第二类曲线积分计算举例 ---- 直接积分法

2 2

( ) ( )

4. ,

L

x y dx x y dy x y

  



 例 计算



).

2(

2

2 按逆时钟方向绕行 为圆周

其中L x  y  a

2 2 2

, ( ) ( 0)

5.

L

xydx L x a  y  a a 



计算其中为圆周 例

).

(按逆时钟方向绕行 在第一象限内的部分

2 ,

y L

xe dy^

 

例6. 计算

. ),

1 , 0 ( ), 1 , 1 ( ), 0 , 0

( A B O

O L为有向折线 其中

7 dx dy ydz,



 

 

算 例 计

. ),

1 , 0 , 0 ( ), 0 , 1 , 0 ( ), 0 , 0 , 1

( B C A

为有向折线A 其中

例 8. 求I 



_ (z  y)d x  (x  z)dy  (x  y)dz, ^其中 2 ,

2 1

2









  

 x y z y

x 从 z 轴正向看为顺时针方 向 .

例 1

. )

1 , 1 ( )

1 , 1 (

, ²

的一段弧 到

上从 为抛物线

其中 计算

B A

x y

L

L xydx







解 ^{(1) 化为对x的定积分，}y   x.

L

xydx 

AO

x dx y 

OB

x dx y

  

0 1

1 x( x)dx 0 x xdx





 



^



0¹ 2 3

2 x dx .

5

 4

x y² 

) 1 , 1 (  A

) 1 , 1 ( B

: , :1 0,

: , : 0 1,

AO y x x x dx x xdx

OB y x x x dx y

x dx

y x

    

  

的定积分，

化为对y )

2 (

, : x y

²

L

_AB



L xydx  AB xydx

 

1 2 1

2 ( )y

y y dy

 





. 1 1到 从 

y





 ¹

1

2 y4dy .

5

 4

x y² 

) 1 , 1 (  A

) 1 , 1 ( B

(1, 1) (1,1) ?

L A  B



L xydx 

若为从到的直线段, 思考:

2

2

dx yd

y

x  y   y y

补充： 利用对称性简化计算 ,

) 1

( 当L对称于x轴时























0 ( , ) ( , ) ) , ( )

, ( )

, ( ) 2

,

( P x y P x y

y x P y

x P dx

y x dx P

y x

P ^L

L ^上

,

) 2

( 当L对称于y轴时























0 ( , ) ( , ) ) , ( )

, (

)

, ( ) 2

,

( Q x y Q x y

y x Q y

x Q

dy y

x dy Q

y x

Q ^L

L ^右

5). , (1,0),(0,1),( 1,0),(0, 1)

, .

C

dx dy x y C

  





习题2(计算其中为以



为顶点的正方形闭路逆时针方向为其正向

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

0 1

1 0

: 2(5)

: 1 , , :1 0

: 1, , : 0 1

: 1 , , : 1 0

: 1, , : 0 1

| | | |

( ) ( ) (

C C C C

C

C C C C C

C y x dy dx x C y x dy dx x C y x dy dx x C y x dy dx x

dx dy dx dy dx dy dx dy dx dy

x y x y x y x y x y

dx dx dx dx dx d







   

    

    

      

   

    

   

      

     

    

 



解

0 1

1 x) 0 (dx dx) 0

   

 

| | | | _C | | | | _C | | | | 0

C

dx dy dx dy

x y x y x y



   

  

  



解法 2 ：利用对称性 _{C 关于 x 轴对}

称

C 关于 y 轴对 称

. )

0 , (

) 0 , ( )

2 (

; )

1 (

2 ,

的直线段 轴到点

沿 从点

的上半圆周

针方向绕行

、圆心为原点、按逆时 半径为

为 其中

计算

a B

x a

A a

L dx

L y





例 2

解 _{(1) :} ^{2 2} _,

:

L y a x

x a a

 

 



) 0 , (a A )

0 , ( a B 

原式  

_a^{a (a2  x2)dx   4}₃ ^a3.

2 2

2 ( )

y dx  a  x dx

) 0 , (a A )

0 , ( a B 

, 0 :

) 2

(  L y 

， 变到

从 a a

x 



^

 ^a

a 0dx

原式  0.

问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但 路径不同积分结果不同 . （即该Ⅱ型曲线积分 与路径有关）

例 3

).

1 , 1 ( ), 0 , 1 (

) 0 , 0 ( ,

, )

3 (

; )

1 , 1 ( )

0 , 0 ( )

2 (

; )

1 , 1 ( )

0 , 0 ( )

1 (

, 2

2 2

2

依次是点

，这里 有向折线

的一段弧 到

上从 抛物线

的一段弧 到

上从 抛物线

为 其中

计算

B A O OAB

B O

y x

B O

x y

L dy

x

L xydx









x2

y 

) 0 , 1 ( A

) 1 , 1 ( B

解 ^{(1) 化为对 x 的积分.}

2

2 2 2

: , 0 1,

2 (2 2 )

L y x x

x dx x y d y x x x x dx



    

从变到



^{  }

 ¹

0

2

2 2 )

2

( x x x x dx

原式



 ¹

0

4 x3dx  1.

) 0 , 1 ( A

) 1 , 1 ( B

y2

x 

. )

2

( 化为对 y 的积分

2

2 2 4

: , 0 1,

2x x x (2 2 )

L x y y

yd dy y y y y dy



    

从变到





^{ } 0^{1   }

4 2

2 (2 2 )

2xydx x dy y y y y dy

L



 ¹

0

5 y4dx

 1 .

) 0 , 1 ( A

) 1 , 1 ( B

) 3 (











 OA

dy x

xydx

dy x

xydx

2 2

2 原式 2

上,

在 OA y  0, x从 0 变到 1 ,





^{ } 0^{1   }

2

2 (2 0 0)

2xydx x dy x x dx

OA

.

 0 上,

在 AB x  1, y 从 0 变到 1 ,





^{ } 0^{1  }

2 (2 0 1)

2xydx x dy y dy

AB  1.

1 0 



原式  1.

) 0 , 1 ( A

) 1 , 1 ( B

此题说明：被积函数 相同，起点和终点也 相同，但路径不同而 积分结果相同 . （即 该Ⅱ型曲线积分与路 径无关）

思考：这一性质有普遍性吗？若有，怎样利用它简化计算？

2 2

( ) ( )

4. ,

L

x y dx x y dy x y

  



 例 计算



).

2(

2

2 按逆时钟方向绕行 为圆周

其中L x  y  a 解

x y

o sin ,

cos









t a

y

t a

选取参数方程 x t由0  2 .



^ _^{ }



L x y

dy y

x dx

y x

2 2

) (

) (

2 0 2

( cosa t a sin )t ( asin )t ( cosa t asin )t ( cos )a t a dt

  

  





^

 ^2 dt  2 .

sin , cos

dx   a tdt dy a  tdt

2 2 2

, ( ) ( 0)

5.

L

xydx L x a  y  a a 



计算其中为圆周 例

).

(按逆时钟方向绕行 在第一象限内的部分

解法 1

x y

o sin ,

cos











t a

y

t a

a 选取参数方程 x

t .

0   由

t

0

( cos ) sin ( sin )

L

xydx

^

a a t a t a t t d

     



^

 ^

0

2

3 (1 cos t)sin tdt

a .

2 a3





sin

dx   a tdt

解法 2.

x y

o )

( ^{2 2 2}的极坐标方程为 圆周 x  a  y  a

. cos

2a 

r 

sin , cos

2

cos

2 ²













 a

y

a 选取参数方程 x

 2 .

0 

 由 

2 2

0

(2 cos )(2 cos s in ) ( 4 cos si n )

L

a

xydx a a d



      

   





 ²

0

2 4

3 cos sin

16

  d

a _{ } a³.

4 cos sin

dx   a    d

2 ,

y L

xe dy^

 

例6. 计算

. ),

1 , 0 ( ), 1 , 1 ( ), 0 , 0

( A B O

O L为有向折线 其中

解

x y

o

) 1 , 1 ( ) A 1 , 0 ( B ,

: y x

OA^  _{xe dy}^y2 _{ xe}^x2_{dx, x由 0 1;}

, 1

: 

 y

AB dy  0, x由 1 0;

, 0

: 

 x

BO ^{xe dyy2  0, y由 1 0;}









^{  }

 ^

BO AB

OA L

y dy xe ²



^

 ₀¹xe ^x2dx  0 0 (1 ).

2

1  _1

 e

7 dx dy ydz,



 

 

算 例 计

. ),

1 , 0 , 0 ( ), 0 , 1 , 0 ( ), 0 , 0 , 1

( B C A

为有向折线A 其中

解

0 , : 1













z

x

AB y x由1  0;

0 , : 1













x

y

BC z y由1  0;

0 , : 1













y

x

CA z x由0  1;









^{    }



 AB BC CA

ydz dy

dx



^

 ₁⁰(1 1)dx^



₁^{0(1  y)dy }



₀^{1dx  1 .}

(1 ) 0 dx dy ydz

dx d x

 

   

0 (1 ) ( 1 )

dx dy ydz

dy yd y y dy

 

       0 0

dx dy ydz

dx dz dx

 

   

o z

x y



例 8. 求I 



_(z  y)d x  (x  z)dy  (x  y)dz, ^其中 2 ,

2 1

2









  

 x y z y

x 从 z 轴正向看为顺时针方 向 .

解 : 取  的参数方程 , sin ,

cos t y t

x   z  2  cost  sin t (t : 2



 0)







 ^2

0 [ I

t t

t sin )cos cos

2 2

(  



t t

t t

t sin )(cos sin )]d

(cos  



t t) d cos

4 1

( ²

2

0 





^

) sin )(

cos 2

(  t  t



2



小结：以上计算对坐标的曲线积分的方法 称为直接法，具体步骤为 :

1. 画出 L 的图形，指明该有向曲线的方向

，写出 L 的方程，参数变量的变化（起点

、终点）

2. 将 L 的方程代入被积表达式中，简化被 积表达式 P(x,y)dx+Q(x,y)dy

3. 将对坐标的曲线积分化为定积分。

注意：定积分的下限为积分变量的起点 定积分的上限为积分变量的终点。

积分变量

.对坐标的曲线积分的应用 四



^ .

 L F ds

W 

j dy i

dx ds

j Q i

P

F    ,     平面曲线上 :

k dz j

dy i

dx ds

k R j

Q i

P

F      ,       空间曲线上 :

2 2

2 2

7 1 ( , )

, ,

( ,0) (0, ) , .

x y

x y F

a b

A a B b F

  

 例例例例例例例例例例例例例例例

例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例例 例例例例例例例例例例例例例

2 2

8 { , 2 , 2 } ( 0),

0 ( ,0,0) ( ,0,0) .

y a x

F yz xz xy a

y z

A a B a

  

   

  

 例例例例例例例 

例例例例例例

例 9

例 10