3. 第二换元积分法(2)与分部积分法.pdf

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

高等数学A

3.1.4 换元积分法 3.1.5 分部积分法

第3章 一元函数积分学

3.1 不定积分

第二换元积分法积分法 换元积分法习例1-5

3.1 不定积分

3.1.4 不定积分的换元积分法

分部积分法

分部积分法习例6-19

3.1.5 不定积分的分部积分法

小结与思考题

换 元积 分法 与 分部 积分 法

其中



( x)^是 x 



(t)^{的反函数.}

设

x ^  ( t )

是单调的、可导的函数，

 ^{[ ( )] ( )} 

_{( )}

)

( x dx f t t dt

t x

f   

_

 ^{ }

则有换元公式

并且

  ( t )  0

^，又设

^{f [}  ^{( t )]}  ^{ ( t )}

^{具有原函数，}

一、第二换元积分法

应用过程:

( )

( ) [ ( )] ( )

x t

f x dx f t t dt

  

 

 

 

^

^

^{g(t)dt  (t)  C}

. ]

) ( [

) (

C x

x

t  

^



第二换元积分法习例 例1 计算

dx

x

 x _

^{5 2}

1

例2 计算

. 1

1 dx e

^x

 _

例3 计算

dx x

 x ₍ ¹

⁷

_{ 2 )}

例4 计算

. 1

1

2

4

dx

x

 x _

例5 计算

. )

1 (

1

3

dx

x

 x _

积分中为了消去根式并不一定采用三角 代换，需根据被积函数的情况来定.

例1 计算

dx x

 x _

^{5 2}

1

^{（三角代换很繁琐）}

1 2

t   x

令

 x

²

 t

²

 1 , xdx  tdt ,

xdx x

dx x x

x





_⁵ ₂ ^ _⁴ ₂

1 1

 

t tdt

 t ^



2 2

1 ^ _  ^t

⁴

^{ 2 t}

²

^{ 1}  ^{dt  t}

⁵

^{ t}

³

^{ t  C}

3 2 5

1

. )

1 ( )

1 3( ) 2

1 5(

1 ₂ ⁵_{2 2 2}³ ₂ ¹₂

C x

x

x     



 解(1)

2 2

4 2

5

2 1 1 1

dx x

dx x x

x





_ ^ _

解(2) ₂ ²

2 2

1

1 )

1 )(

1 (

2

1 dx

x x



x ^ _ ^{ }



2 2

2

2 ]

1 ) 1

1 (

1 2 [

1 dx

x x



^ x ^{ } _



2 2

2

2 ]

1 ) 1

2 1

( 1

2 [

1 dx

x x



^ x ^{  } _



) 1

( ] 1

) 1 1

2 )

1 2 [(

1 ₂

2 2

2 ₂³

x d

x x

x 

 











. )

1 ( )

1 3( ) 2

1 5(

1 _{2 2}⁵ _{2 2}³ ₂ ¹₂

C x

x

x     





例2 计算 解

1 .

1 dx e

^x

 _

ex

t  1

令

 e

^x

 t

²

 1 , 1 , 2

2

dt

t dx t

  e

^x

dx

 _

1

1 dt

 t _

 1

2

2

C

t

t 



 

1 ln 1

. 1

1 ln

2  e^x   x  C



 ¹  ^,

ln

²



 t x

C e

e

x

x 







 

1 1

1 ln 1

当分母的阶较高时, 可采用倒代换

1 . x  t

例3 计算

dx x

 x ₍ ¹

⁷

_{ 2 )}

x  1t

令

1 ,

2

dt dx   t

 x dx

 x ₍ ¹

⁷

_{ 2 ) t} ^dt

t

t 



 

  



 



 



  

⁷

¹

²

1 2 ^{ }  _{1 } ^t

⁶

_{2 t}

⁷

^dt

C t 





 ln | 1 2 | 14

1

₇

.

|

| 2 ln

| 1 2

| 14 ln

1

₇

C x

x  







解

例4 计算

解

1 . 1

2

4

dx

x

 x _

x dx

 x _

1 1

2 4

x 1t 

令

1 ,

2

dt dx   t



t dt

t t



 

 

 



 



 



 







 4 2 2

1 1 1

1

1

（分母的阶较高）

t dt

 t _





2

3

1

2 2

2

2 1

1 dt

t

 t _





2 2

2

1

1 1

2

1 dt

t



^ t_ ^





) 1

( ) 1

1 1 2 (

1 ₂

2

2 d t

t

t 

 









C t

t   





 ( 1 ² )³ 1 ² 3

1

1 . 1

3

1

^{2 3 2}

x C x x

x    



 



 





当被积函数含有两种或两种以上的根式

时,可采用令 (其中 为各根指数的最小公倍数)

l k

x , , x t

n

x  _n

例5 计算

. )

1 (

1

3

dx

x

 x _

解 令

x  t

⁶

 dx  6 t

⁵

dt , x dx

 x _{( 1} ¹ _

³

₎ ^  _t

³

_{( 1} ^{6 t} _

⁵

_t

²

₎ ^{dt }  ₁ ⁶ _ ^t

²

_t

²

^dt

 ^ _ ^

 dt

t t

2 2

1

1

6 1 ^{ 6}  ^ _ ^{ 1 } _{1 } ¹ _t

²

^ _ ^{ dt}

C t

t  

 6 [ arctan ]  6 [

⁶

x  arctan

⁶

x ]  C .

二、不定积分的分部积分法

问题

 ^xe

^x

^{dx  ?}

e dx

x



xde

x



^{和 哪一个计算简单？}

解决思路 利用两个函数乘积的求导法则可将 化为容易积分的 形式.

xde

x

x





e dx

x x x

dxe  e dx  xde

x x x

xde  dxe  e dx

即

两边积分，得

x x x x x

xde  dxe  e dx  xe   e C

  

xe dx

x





设函数

u  u ( x )

^和

v  v ( x )

^{具有连续导数},

  uv   u  v  u v  , u v     uv   u  v ,

, dx v u uv

dx v

u 

 ^{   }  ^{udv  uv }  ^{v du .}

  

,





^{uvdx  uv dx  uvdx}

定理 设u  u(x),v  v(x)具有连续导数,则有分部积分公式

. du v uv

udv 

 ^{ }

注意 (1)分部积分法用于求两类不同函数乘积的积分. (2)用分部积分法计算的不定积分类型常见的有:

, dx e

x^{k x}



^



^{xk lnm xdx,}



^{xk sinaxdx,}

, cosaxdx x^k

 

^{xk arctanbxdx,}



^{ex sinbxdx.}

(3)分部积分法与换元法经常穿插着使用. (4)分部积分法常用来推导递推公式.

(5)  f x g x dx ( )

'

( )   udv  uv   vdu .

分部积分法习例

例7 计算

 ^x

²

^e

^x

^dx .

例8 计算

 ^x arctan ^xdx .

^{例9 计算}

^{ ( x}

³

^{ 3 x  1 ) ln xdx .}

例10 计算

 ^e

^x

sin ^xdx .

^{例11 计算}

例6 计算

 ^x cos ^xdx .

2 2

d x  a x



例12 计算

 (arcsin ^x )

²

^dx .

^{例13 计算}

 ^{sin(ln x ) dx .}

例14 计算



sec^{3 xdx}. ^{例15 计算}



^xarctan_{1  x}^{2 x dx.}

例18计算 ( ).

)

( ^{2 2} n N

a x

I_n dx _n 







. )

( ,

)

(^{x e 2}



^{xf  x dx}

f 的一个原函数为 ^x 求 设

例19

例16 计算

1

例17 计算

(ln ln ) . x ln dx

 x

  _{(1 ln ) } ^{ln x} _x

²

^{dx .}

例6 计算

 ^x cos ^xdx .

解(1) 令

u  cos x ,

, 2

1 ₂



 



 

 xdx d x dv





^{ )}

2 (1 cos

cos xdx xd x²

x

^{ x} ₂

²

^{cos x }  ^x ₂

²

^{sin xdx}

显然，

u

, v 

选择不当，积分更难进行.

解(2) 令

u  x ,

dv  cos xdx  d(sin x),

 ^{x cos xdx }  ^{xd sin x  x sin x }  ^{sin xdx}

. cos

sin x x C

x  



例7 计算

 ^x

²

^e

^x

^dx .

解

u  x

²

,

dv  e^xdx  de^x,

 ^x

²

^e

^x

^{dx  x}

²

^e

^x

^{ 2}  ^xe

^x

^dx

. )

(

2

2

C e

xe e

x

^x



^x



^x





（再次使用分部积分法）

u  x ,

_{dv  e}^x_{dx  de}^x

总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函

数为 ,

u

使其降幂一次(假定幂指数是正整数)





^{x2exdx  x2dex}

^{ x}

²

^e

^x

^{ 2}  ^xe

^x

^dx

^{ x2ex  2}

^

^xdex

) (

2 2







 x e^x xe^x e^xdx  x²e^x  2(xe^x  e^x )  C.



 x²de^x

例8 计算

 ^x arctan ^xdx .

解 令

u  arctan x ,

),

( 2 x2

d xdx

dv  





^{ )}

2 (1 arctan

arctan xdx xd x²

x

) (arctan arctan 2

2

2 2

x x d

x x







x dx x x

x

2 2

2

1 1 arctan 2

2   

 

x dx x x

1 ) 1 1

2 ( arctan 1

2

²

2

 





 

. )

arctan 2 (

arctan 1 2

2

C x

x x x









例9 计算



(^{x3 } 3^{x } 1)ln ^xdx.

解 )

2 3 4

(1 ln

ln ) 1 3

(x³  x  xdx  xd x⁴  x²  x

 

总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂

函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函 数或反三角函数为 .

u

xdx x

x x

x x

x

x ^{  }



^{ }

 1

2 ) 3 4

(1 ln

2 ) 3 4

(1 ^{4 2 4 2}

dx x

x x

x x

x ^{  }



^{ }

 1)

2 3 4

(1 ln

2 ) 3 4

(1 ^{4 2 3}

4 . 3 16

ln 1 2 )

3 4

(1 x⁴  x²  x x  x⁴  x²  x  C



例10 计算

 ^e

^x

sin ^xdx .

解

 ^e

^x

^{sin xdx }  ^{sin xde}

^x

^{ e}

^x

^{sin x }  ^e

^x

^{d (sin x )}





 e

^x

sin x e

^x

cos xdx ^{ e}

^x

^{sin x }  ^{cos xde}

^x







 e

^x

sin x ( e

^x

cos x e

^x

d cos x )







 e

^x

(sin x cos x ) e

^x

sin xdx



 e

^x

sin xdx (sin cos ) .

2 x x C

e

^x







注意循环形式

总结 若被积函数是指数函数与三角函数乘积时，可任 意令u，但要两次使用分部积分，且u的设法相同.

解题技巧:

把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三”

顺序, 前者为

u

后者为

^{v  .}

的 ^{反: 反三角函数}

对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数 反对幂三指

反对不要碰，三指动一动

2 2

d . I 



x  a x

例11求积分 解

2

2 2 2 2

2 2

d x d x

I x a x x x a

x a

    

 



2 2 2

2 2

2 2

(x a a )d x x x a

x a

 

  





2 2 2 2 2

2 2

d d x

x x a x a x a

x a

    

 



2 2 2 2 2

ln | |

x x a I a x x a

     

2

2 2 1 2 2 2 2

d ln | | .

2 2

I x a x x x a a x x a C

 



      

例12 计算



(arcsin ^x)^2dx.

方法1



^{(arcsin x)2dx  x(arcsin x)2 }



^{xd(arcsin x)2}

. 2

arcsin 1

2 )

(arcsin x ² x² x x C

x    





_



 dx

x x x x

x 2

2

1

arcsin 2

) (arcsin



^



 x(arcsin x)² 2 arcsin xd 1 x²

) arcsin 1

arcsin 1

( 2 )

(arcsin ^{2   2 }



^{ 2}

 x x x x x d x

) arcsin

1 ( 2 )

(arcsin ^{2   2 }



 x x x x dx

方法2



^{x dxt} _ ^x



^{t tdt}

t

x cos

)

(arcsin ²

arcsin sin

2 ^



^{t2d sint}





 t² sint 2 t sintdt ^{ t2 sint  2}



^{td cost}

) cos

cos (

2

2 sin







 t t t t tdt C t

t t

t

t   

 ² sin 2 cos 2sin

. 2

arcsin 1

2 )

(arcsin ^{2 2}

arcsin

C x

x x

x x

x

t^    

总结 若被积函数是超越函数(指数函数,对数函数,三角 函数,反三角函数)时，直接令超越函数为u.

例13 计算

 sin(ln ^x ) ^dx .

解

 ^{sin(ln x ) dx  x sin(ln x ) }  ^{xd [sin(ln x )]}

 ^



 dx

x x x

x

x 1

) cos(ln )

sin(ln







 x sin(ln x ) x cos(ln x ) xd [cos(ln x )]







 x [sin(ln x ) cos(ln x )] sin(ln x ) dx



 sin(ln x ) dx [sin(ln ) cos(ln )] .

2 x x  x  C







 x sin(ln x) cos(ln x)dx

例14 计算



sec^{3 xdx}.

解



^{sec3 xdx }



^{sec2 xsec xdx }



^{sec xd tan x}





 sec x tan x tan² xsec xdx



^



 sec x tan x (sec² x 1)sec xdx



^



 sec xtan x (sec³ x sec x)dx





^



 sec xtan x sec³ xdx sec xdx





^{ }

 xdx x x sec xdx

2 tan 1

2sec sec³ 1

. tan

sec 2ln

tan 1 2sec

1 x x  x  x  C



例15 计算

 ^{x arctan} _{1  x}

²

^{x dx .}

解

  ^,

1

²

1

₂

x x x

 

 



 _

 dx

x x x

1

2

arctan

 ^

 arctan xd 1 x

²

) (arctan 1

arctan

1 ^ x

²

x ^  ^ x

²

d x



x dx x

x

x

^{2 2} ₂

1 1 1

arctan

1     

 



_





 2

2

1 arctan

1

x x dx

x

x x arctan 1 

²

  ln( x  1  x

²

)  C .

解 ^{原式 }



^{lnln xdx }



_ln¹_x ^dx





^



 dx

x x xd

x

x ln

) 1 ln

(ln ln

ln





^{ }



 dx

dx x x x x

x

x ln

1 1

ln ln 1

ln

1 1

ln ln

ln ln dx dx

x x x

 x

   

. ln

ln x C

x 



例16 计算

1

(ln ln ) .

x ln dx

 x



解

2

ln

(1 ln )

x dx x

x

 x





原式 ^



^{x ln xd(} _1¹_{ln x}⁾



^ _

 



 ( ln )

ln 1

1 ln

1

ln d x x

x x

x x



_ ^

 



 dx

x x

x x x

ln 1

1 ln

ln 1

ln

ln . 1

ln x C

x x

x  

 



例17 计算

2

ln .

(1 ln )

x dx

 x



解 dx a

x n x

a x

x a

x

dx

n n

n 

 _  ^ _  ^{ } _

) ) (

1 (

) 2 (

)

( ^{2 2}

2 1

2 2

1 2

 2



 





 

 

 

 







dx

a x

a a

x n dx

a x

x

n n

n 2( 1) ( ) ( )

)

( ^{2 2}

2 1

2 2

1 2

2



_{n n}



n n n I a I

a x

I x ₁ ²

1 2

1 2 2( 1)

)

(   

  _{ }

即 



  



 

 _{2 2 2 1} (2 3) _1

) (

) 1 (

2

1

n n

n n I

a x

x n

I a

. arctan

1

1 C

a x

I  a 

且

利用分部积分法可以得到某些积分的递推公式 例18 计算 ( ).

)

( ^{2 2} n N

a x

I_n dx _n 







例19 ^设f (^x)^{的一个原函数为ex2} ,^求



^{xf }(^x)^dx. 解 e^x2是f ₍x₎的一个原函数_,

) (

)

(  ² 

 f x e^x  2xe^x2 .

. )

(x dx e ² C₁ f  ^x 



 

  ^{x f ( x ) dx}

^{ xf (x) }

^

^{f (x)dx}

2 2

2 x e

^x



  e

^x2

 C .



^{xdf (x)}

小结：

第二换元法的形式还有倒代换、根式代换等其它.

分部积分题目的类型: 1) 直接分部化简积分 ;

2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;

(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 ,

解出积分后加 C )

3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .

思考题：

1. 归纳用分部积分法计算不定积分的类型．

2. 在接连几次应用分部积分公式时，应注意 什么事项？