7. 微积分基本定理.pdf

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

高等数学A

3.2.4 牛顿莱布尼兹公式

3.2 定积分

第3章 一元函数积分学

3.2 定积分

3.2.4 牛顿莱布尼兹公式

问题的提出

积分上限函数及其导数

Newton-Leibniz公式

积分上限函数习例2-8

Newton-Leibniz公式习例9-16

内容小结

微 积

分 基

本

公 式

一、问题的提出

变速直线运动中位置函数与速度函数的联系

变速直线运动中路程为



T^T₁²

v ⁽ t ⁾ dt

设某物体作直线运动，已知速度

v  v (t )

^是时

间间隔

[ T

₁

, T

₂

]

^上

t

的一个连续函数，且

v ( t )  0

^，

求物体在这段时间内所经过的路程.

另一方面这段路程可表示为

s ( T

₂

)  s ( T

₁

)

).

( )

( )

( _{2 1}

2

1

T s T

s dt

t

T v

T  





^{其中 s(t)  v(t).}

二、积分上限函数及其导数

1. 积分上限函数

设函数

f ( x )

^在区间

[ a , b ]

^{上连续，并且设}

x

为

[ a , b ]

^{上的一点，}



a^x

f ( x ) dx

考察定积分





^x

a

f ( t ) dt

记

^ ( x ) ^ 

a^x

f ( t ) dt .

^{积分上限函数}

如果上限

x

^在区间

[ a , b ]

^{上任意变动，则对于}

每一个取定的

x

值，定积分有一个对应值，所以 它在

[ a , b ]

^{上定义了一个函数，}

. ) ( )

( ₀ ^



⁰

 ^x

a f t dt 且 x

a b ^x y

o

定理１ 如果 f (x)^在[a,b]上连续，则积分上限的函 数 x ^x f t dt



a



( ) ( ) ^在[a,b]^{上具有导数，且它的导} 数是 ( ) f (t)dt f (x)

dx

x d ^x

a 







^{(a  x  b)}

2. 积分上限函数的性质

x x  

证

x x

^{x x}

f t dt



a ^







 ( ) ( )

) ( )

( x   x   x







dt t f dt

t

f ^x

a x

x

a





^

 ^ ( ) ( )

) (x



x



dt t f dt

t f dt

t

f

^x

a x

x x x

a

 

 ^{ }

 ( )

^

( ) ( )

, )



^ (

 ^{x x}

x f t dt

由积分中值定理得

x

f 



 (  )   [ x , x   x ],

, ,

0 x

x  





且 ),

(



x  f





a b x

y

o ^{x  x}

) (x



x

) ( lim

lim )

(

0

0 f



x x

x

x  

 



 



 lim ( ) ( ).

0 f  f x

 





结论1 若f(x)在[a,b]上连续，则原函数一定存在，且





(x) _a^x f (t)dt 就是f(x)在[a,b]上的原函数.

2 sin

^x x .

e x

分别写出  与 的一个原函数

解 ^{ex2的一个原函数是 }(^x) ^



_a^{x et2dt}, sin . )

( sin





 ^x

a dt

t x t

x

x的一个原函数是 例1

原函数存在定理

结论2 ^{( ) f (t)dt}



^{( ) f (t)dt}



^{f [ (x)] (x).}

dx

d x

a x

a^{ }  







^







结论3 _{( )} ^{f (t)dt}



_{( )} ^{f (t)dt}



^{f [ (x)] (x).}

dx

d b

x b

x _

 

     







结论4 ₍⁽ ₎⁾ f (t)dt f [ (x)] (x) f [ (x)] (x).

dx

d x

x

   



      



问:

_dx ^d 

_a^b

^f ( ^x ) ^dx  ? _db ^d 

_a^b

^{f ( x ) dx  ?}

积分上限函数习例

. ) cos(

2 ^cos

sin

2 dt dx t

d ^x



x

^

计算 例

. 0

3 ²

0 0 2

2 dx

x dy y

dt t

dt

e ^x

y

t 所确定的隐函数 对 的导数 求由

例









. ,

) 2 )(

1 (

4 0

2 求其极值点 设

例 y ^



^x x ^ x ^ dx .

lim

5 ₂

1 cos 0

2

x

dt

x e

t x



^

求 

例

).

( )

( ,

) )(

( )

(

, ]

, [ )

(

6

x f x

F dt

t x

t f x

F

b a x

f

x

a   





^证明

上连续 在

若 例

例 7 设

f ( x )

^在

(  ,  )

^{内连续，且}

f ( x )  0

.证明函数



 

_x

x

dt t

f

dt t

x tf F

0 0

) (

) ) (

(

^在

( 0 ,  )

^{内为单调增加函数}.

例 8 设 f (x)^在[0,1]^{上连续，且} f (x)  1.证明 2 ( ) 1

0 





^{f t dt}

x ^{x 在}[0,1]^{上只有一个解}.

解 t dt dx

d x



_sin^cosx^cos(



²⁾

) (sin )

sin cos(

) (cos )

cos

cos( ²    ²  





x x



x x

x x

x

x) sin cos( sin ) cos cos

cos( ²   ² 





 

. ) cos(

2 ^cos

sin

2 dt dx t

d ^x



x

^

计算 例

解 方程两边对x求导得，

0 2

4

2 ²

2    

 e ^y yy x

4 .

2

2

yey

x dx

dy 



. 0

3 ²

0 0 2

2 dx

x dy y

dt t

dt

e ^x

y

t 所确定的隐函数 对 的导数 求由

例









解  y  (x  1)(x  2)², , 2 ,

1 ,

0  

  x x

y 得

令

x (,1) 1 (1,2) 2 (2,)

y ^ 0  0 

y

.

 1

极小值点为x

. ,

) 2 )(

1 (

4 0

2 求其极值点 设

例 y ^



^x x ^ x ^ dx

0

分析：这是

0

型不定式，应用L’Hospital法则.

解

x

x e

x

dt

e ^x

x x

t

x 2

) lim (cos

lim

2 2

cos

2 0 1

cos 0

 

 ^









x e

x

^x

x

2

lim sin

cos2

0





  2 .

1

 e

. lim

5 ₂

1 cos 0

2

x

dt

xe

t x



^

求 

例

证 ^



^



a^x x

a f t dt tf t dt

x x

F( ) ( ) ( )







 F(x) _a^x f (t)dt  xf (x) xf (x)





_a^x f (t)dt ).

( )

(x f x

F  



).

( )

( ,

) )(

( )

(

, ]

, [ )

(

6

x f x

F dt

t x

t f x

F

b a x

f

x

a   





^证明

上连续 在

若 例

证 ^{( )  ( )}

^

⁰



⁽

_

₀^{x) () (}



²⁾

^

^{0 ( )}

x x

dt t

f

dt t

tf x

f dt

t f x

x xf

 F

 _

₀ ^{(( ))}



²

^

^{0 (  ) ( ) ,}

 ^x

x x t f t dt

dt t

f x f

) 0 (

, 0 )

( x  x 

 f

例 7 设

f ( x )

^在

(  ,  )

^{内连续，且}

f ( x )  0

.证明函数



 

_x

x

dt t

f

dt t

x tf F

0 0

) (

) ) (

(

^在

( 0 ,  )

^{内为单调增加函数}.

, ,

0 )

(x x t

f  

又

, 0 )

( )

(  

 x t f t

, 0 )

( )

0 (



^{x x  t f t dt }

从而

).

0 (

0 )

(  

 F  x x

故

F ( x )

^在

( 0 ,  )

^{内为单调增加函数}.

证

( ) 2 ( ) 1 ,

0





 ^x  ^{f t dt}

x

F

^x

令 在[0,1]上连续, ,

0 1

) 0

(   

且F





 ¹

0 ( )

1 )

1

( f t dt

F ^



0¹[1^ f (t)]dt

 0 ,

; ]

1 , 0 [ 0

)

( 即原方程在 上至少有一个解 由零点定理知F x 

, 1 )

(x 

又f _{F(x)  2  f (x)  0,} )

(x

F ^在[0,1]^{上为单调增加函数}.

所以F(x)  0^{即原方程在}[0,1]^{上只有一个解.}

例 8 设 f (x)^在[0,1]^{上连续，且} f (x)  1.证明 2 ( ) 1

0 





^{f t dt}

x ^{x 在}[0,1]^{上只有一个解}.

三、Newton-Leibniz公式

定理2（微积分基本公式）

如果

F ( x )

^{是连续函数}

f ( x )

^在区间

[ a , b ]

^上

的一个原函数，则 ^b

f ( x ) dx F ( b ) F ( a )

a

 



^.

又 x ^x f t dt



a



( ) ( ) ^也是 f (x)^{的一个原函数},

 已知

F ( x )

^是

f ( x )

^{的一个原函数，}

C x

x

F   

 ( ) ( )

x  [ a , b ]

证

, )

( )

(x f t dt C

F 



_a^x 

即 令x  a,得F(a)  C,

), ( )

( )

( x f t dt F a

F  _a^x 





), ( )

( )

(b f t dt F a

F b

x  ^得 



_a^b  再令

).

( )

( )

(t dt F b F a

b f

a  





注意: (1) ^b f (x)dx F(x)^b_a F(b) F(a).

a   



(2) 当

a  b

^{时， b}

f ( x ) dx F ( b ) F ( a )

a

 



^仍成立.

).

( )

( )

( )

(

) 3

(



_a^b f  x dx  f x ^b_a  f b  f a



^{( )}



^{( ) ( ).}

)

(x dx F x F b F a

f ^b_a

b

a   



定积分计算习例

例9 ^计算



_a^bexdx. 例10 1 1 .



^2 dx 计算 x

例11 ^{, ( ) .} 3

1 3

1 0

) 1

( ₀³

2

 













  f x dx

x x

x x x

f 求

设

例12 ^计算



₁^{3 x } 2^dx.

例13 计算



²₂max{ x, x²}dx.

例14 , 2 1

1 0

) (

2











 

x x

x x x

设f ^{求(x) }



₀^{x f (t)dt}

. )

2 , 0 ( )

( ,

] 2 , 0

[ 上的表达式 并讨论 在 内的连续性

在  x

例15 设f (x)在[0,1]上连续且单调不增,

. )

( )

( ),

1 , 0

(



₀ ^



₀¹

 f x dx a f x dx

a 有 ^a

证明对任意的

例16 ^{证明不等式}: (



_a^{b f} ( ^x)^dx)^{2 } (^{b  a})



_a^{b f 2}(^x)^dx.

例9 ^计算



_a^bexdx. 解 ^b

a b x

a

xdx e

e 



^{ eb  ea.}

例10 11 .



^2 dx 计算 x

解

_

_^₂^{1 1 dx }

 

^{ln x }_¹₂

x  ln1  ln 2  ln2.

注意： 1 1 ¹ 2

1 1

1 2    

 



dx x

x

例11 , ( ) . 3

1 3

1 0

) 1

( ₀³

2

















  f x dx

x x

x x x

f 求

设

解



₀^{3 f (x)dx }



₀^{1 f (x)dx }



₁^{3 f (x)dx}





^{  }

 ₀¹(x² 1)dx ₁³(3 x)dx

3

1 1 2

0 3

2 ) 3

( 3 )

( x

x

x  x  



2) 3 1

( 2)

9 9 ( 0

) 3 1

(1      

 3 .

 10

例12 ^计算



₁^{3 x } 2^dx.

解



₁^{3 x  2dx }



₁^{2 x  2dx }



₂^{3 x  2dx}





^{   }

 ₁² (x 2)dx ₂³(x 2)dx

3

2 2 2

1 2

) 2 2

( 2 )

2

( x x x

x   



. 1 )

4 2

( )

2 6 (9 2)

2 1 ( )

2 4

(        



例13 计算



²₂max{ x, x²}dx.

解  f ( x)  max{ x, x²}

, 2 1

1 0

0 2

2 2























x x

x x

x x







^{ }



 

2 1 1 2

0 0

2

2dx xdx x dx

原式 x

.

2

 11

例14 , 2 1

1 0

) (

2











 

x x

x x x

设f ^{求(x) }



₀^{x f (t)dt} . )

2 , 0 ( )

( ,

] 2 , 0

[ 上的表达式 并讨论 在 内的连续性

在  x

解 当0  x  1时, ^{(x) }



₀^{x f (t)dt }



₀^{x t2dt ;}

3 x3

 ,

2

1 时

当  x  ^{(x) }



₀^{x f (t)dt }



₀^{1t2dt }



₁^{x tdt .}

6 1 2

2 

 x

























2 1

6

1 2

1 0

) 3

( 2

3

x x x x x

, )

( , 2 1

1

0 或 时 连续

当  x   x   x 3,

1 lim 3

) ( lim

3

1 1





 

 



x x

x x

而

3, ) 1

6 1 ( 2

lim )

( lim

2

1 1







 

 



x x

x x

3, ) 1

1

( 



. )

2 , 0 ( )

( x 在 内的连续





例15 设f (x)在[0,1]上连续且单调不增,

. )

( )

( ),

1 , 0

(



₀ ^



₀¹

 f x dx a f x dx

a 有 ^a

证明对任意的

证 1 ( ) , (0 1) )

( 



₀ ^{f x dx}  ^a  a a ^a



设

. )

( )

1

( ^



₀^{1 f x dx}



且

2

0 ( )

) ) (

( a

dx x

f a

a af



a

 



 ^{0 ( )} ₂ ^{0 ( )}

a

dx x

f dx

a

f ^a

a





^



2

0[ ( ) ( )]

a

dx x

f a

a f



^

 _{ 0.}  f (a)  f (x) (0  x  a) .

)

(a 单调递减



 故



(a) 



(1).

. )

( )

( ₀¹

0





^{a f x dx  a f x dx}

即

例16 ^{证明不等式}: (



_a^{b f} (^x)^dx)^{2 } (^{b  a})



_a^{b f 2}(^x)^dx.

证 ^设F(^x) ^ (



_a^{x f} (^t)^dt)^{2 } ( ^{x  a})



_a^{x f 2}(^t)^dt, ,

0 )

(a  则F



  ^x

a f t dt x

f x

F ( ) 2 ( ) ( ) ^



_a^{x f 2(t)dt  (x  a) f 2( x)}



 ^x

a 2 f (x) f (t)dt ^



_a^{x f 2(t)dt }



_a^{x f 2(x)dt}



^{ }



 ^x

a [ f ²(t) 2 f (x) f (t) f ²(x)]dt



^



 ^x

a [ f (t) f (x)]²dt _{ 0.} 故F(x)单调递减. .

0 )

( )

(

,  



当b a时 F b F a

3.微积分基本公式

1.积分上限函数

^{ ( x ) } 

_a^x

^{f ( t ) dt}

2.积分上限函数的导数

 ( x )  f ( x )

) ( )

( )

( x dx F b F a

b

f

a

 



内 容 小 结

牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．

, ) ( )

( ,

] , [ )

( x C a b F x f x

f  且  

设

则有

微积分基本公式



a^b

^f ( ^x ) d ^x 

积分中值定理

) )(

( b a

F  

  _{ F ( b )  F ( a )}

微分中值定理

) )(

( b a

f  

牛顿 – 莱布尼兹公式

If you were being sent to a desert island

and could take only one equation with you,

   

x a

d f t dt f x

dx  

might well be your choice.

Here is my favorite calculus textbook quote of all time, from CALCULUS by Ross L. Finney and George B.

Thomas, Jr., ©1990.