§2 场论初步 一、 场论的基本概念及梯度、散度与旋度
[标量场] 空间区域D的每点M(x,y,z)对应一个数量值(x,y,z)，它在此空间区域D上就
构成一个标量场，用点M(x,y,z)的标函数(x，y，z)表示.若M的位置用矢径r确定，则标量 可以看作变矢r的函数＝(r).
例如温度场u(x,y,z),密度场(x,y,z),电位场e(x,y,z)都是标量场.
[矢量场] 空间区域D的每点M(x，y，z)对应一个矢量值R(x，y，z)，它在此空间区域D
上就构成一个矢量场，用点M(x，y，z)的矢量函数R(x，y，z)表示.若M的位置用矢径r确定，
则矢量R可以看作变矢r的矢函数R(r)：
R(r)＝X(x，y，z)i＋Y(x，y，z)j＋Z(x，y，z)k
例如流速场
(x，y，z)，电场E(x，y，z)，磁场H(x，y，z)都是矢量场.与标量场的情况一样，矢量场概念与矢函数概念，实质上是一样的.沿用这些术语(标量场、
矢量场)是为了保留它们的自身起源与物理意义.
[梯度]
grad＝(
x
，
y
，
z
)==
x
i＋
y
j＋
z
k
式中=i
x
＋j
y
＋k
z
称为哈密顿算子,也称为耐普拉算子.grad有的书刊中记作del.
grad的方向与过点(x，y，z)的等量面＝C的法线方向N重合，并指向增加的一方，
是函数变化率最大的方向，它的长度等于
N
. 梯度具有性质：
grad(＋ )＝ grad＋grad (、为常数)
grad( )＝ grad ＋ grad gradF()＝F
grad[方向导数]
l
＝l·grad＝
x
cos＋
y
cos＋
z
cos
式中l＝(cos,cos,cos )为方向l的单位矢量,,, 为其方向角.
方向导数为在方向l上的变化律，它等于梯度在方向l上的投影.
[散度]
divR＝
x X
＋
y Y
＋ z Z
=·R=div(X , Y , Z)
式中为哈密顿算子.
散度具有性质：
div(a＋b)＝ diva＋divb (、为常数) div(a)＝div a＋a grad
div(a×b)＝b·rot a－a·rotb [旋度]
rotR＝(
z Y y Z
)i＋(
x Z z X
)j＋(
y X x Y
)k=×R=
Z Y X
z y
x
i j k
式中为哈密顿算子，旋度也称涡度，rot R有的书刊中记作curl R.
旋度具有性质：
rot(a＋b)＝ rot a＋rot b (、为常数) rot(a)＝rot a＋a×grad
rot(a×b)＝(b·)a－(a·)b＋(div b)a－(div a)b
[梯度、散度、旋度混合运算] 运算grad作用到一个标量场产生矢量场grad，运算
div作用到一个矢量场 R产生标量场div R，运算rot作用到一个矢量场R产生新的矢量场 rot R.这三种运算的混合运算公式如下：
div rot R＝０ rot grad＝０ div grad＝ 22
x
＋
2 2
y
＋
2 2
z
= grad div R＝(R)
rot rot R＝×(×R)
div grad( +)= div grad+div grad (、为常数) div grad( )=div grad ＋ div grad ＋２grad·grad
grad div R－rot rot R＝R
式中 为哈密顿算子，＝·＝２为拉普拉斯算子.
[势量场(守恒场)] 若矢量场R(x，y，z)是某一标函数(x，y，z)的梯度，即
R＝grad 或 X＝
x
，Y＝
y
，Z＝
z
则R称为势量场，标函数称为R的势函数.
矢量场R为势量场的充分必要条件是：rot R＝０，或
y X
= x Y
, z Y
= y Z
, x Z
= z X
势函数计算公式
(x，y，z)＝(x0，y0，z0)＋
xx X
x y z
x0
d ,
, 0 0 ＋
yyY
x y z
y0
d , , 0
＋
zzZ
x y z
z0
d , ,
[无散场(管形场)] 若矢量场R的散度为零，即div R＝0，则R称为无散场.这时必存在
一个无散场T，使R＝rot T，对任意点M有
T＝ 1
4
rotRr dV式中r为dV到M的距离，积分是对整个空间进行的.
[无旋场] 若矢量场R的旋度为零，即rot R＝0，则R称为无旋场.势量场总是一个无旋
场，这时必存在一个标函数，使R＝grad，而对任意点M有
＝－ 1
4
divRr dV式中r为dV到M的距离，积分是对整个空间进行的.
二、 梯度、散度、旋度在不同坐标系中的表达式
1．单位矢量的变换
[一般公式] 假定x=f( , , ),y=g( , , ),z=h( , , )把( , , )空间的一个区域 一 对一地连续映射为(x，y，z)空间的一个区域D，并假定f，g，h都有连续偏导数，因为对应 是一对一的，所以有
＝(x，y，z)，
x y z, , ,
x y z, ,
再假定 , , 也有连续偏导数，则有
d d
d d
d d
d d
d d
d d
z z
z z
y y
y y
x x
x x
或逆变换
z z y y
x x
z z y y
x x
z z y y
x x
d d
d d
d d
d d
d d
d d
沿dx，dy，dz方向的单位矢量记作i，j，k，沿d,d,d 方向的单位矢量记作e,e,e ，则 有
2 2
2
2 2
2
2 2
2
z y
x
z y
x
z y
x
z y
x
z y
x
z y
x
k j
i e
k j
i e
k j
i e
[圆柱面坐标系的单位矢量] 对于圆柱面坐标系(图8.11)
z z y x
sin cos
0 ,0 2, z
单位矢量为
k e
j i
e
j i
e
z
cos sin
sin cos
它们的偏导数为
0 0
0
z z z
z z
z
e e e
e e e
e e e e
e
, ,
[球面坐标系的单位矢量] 对于球面坐标系(图8.12)
cos
sin sin
cos sin r z
r y
r x
0 r ,0 2,0
单位矢量为
j i
e
k j
i e
k j
i e
c o s s i n
s i n s i n
c o s c o s
c o s
c o s s i n
s i n c o s
s i n
r
它们的偏导数为
e e e
e e e e
e 0 e e
e e
e 0 e e
cos sin
, cos ,
sin
, ,
r r
r r
r
r r r
2．矢量的坐标变换
[一般公式] 一个由(x，y，z)坐标系所表达的矢量可以用( , , )坐标系来表达:
＝(x，y，
z)＝xi＋y j＋
z k＝e e e 式中
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
z y
x
z
z y
x
z
z y
x
z
z y
x
y
z y
x
y
z y
x
y
z y
x
x
z y
x
x
z y
x
x
z y x
[圆柱面坐标系与直角坐标系的互换] 由圆柱面坐标系到直角坐标系的变换公式
z z y x
cos sin
sin cos
由直角坐标系到圆柱面坐标系的变换公式
z z
y x
y x
cos sin
sin cos
[球面坐标系与直角坐标系的互换] 由球面坐标系到直角坐标系的变换公式
sin cos
cos sin
cos sin
sin
sin cos
cos cos
sin
r z
r y
r x
由直角坐标系到球面坐标系的变换公式
cos sin
sin sin
cos cos
cos
cos sin
sin cos
sin
y x
z y
x
z y
x
3．各种算子在不同坐标系中的表达式
设U＝U(x，y，z)是一个标函数，V＝V(x，y，z)是一个矢函数.
[在圆柱面坐标系中各种算子的表达式]
哈密顿算子 ~＝
e +
e 1 +
z z e
梯 度 gradU＝ ~U＝
e U +
U
e 1 +
z U
z
e
散 度 divV＝ ~·V＝
z
z
1 1
旋 度 rotV＝ ~
×V＝
e
z
1 z ＋
e
z
z ＋
ez
1
1
拉普拉斯算子 U＝div gradU＝ 1 12 2 2 22 z
U U
U
[在球面坐标系中各种算子的表达式]
哈密顿算子 ~~＝
r r e +
r e 1 +
sin r e 1
梯 度 gradＵ＝ ~~Ｕ＝
r U
r e +
U r
e 1 +
U rsin e 1
散 度 div V=~~·V=
sin sin
sin r
r r r
r r
1 1
1 2
2
旋 度 rotV＝ ~~×V＝
sin
sin r
1
er
+
r r r r
r 1
1
sin e
＋
r
r r r r
1 1
e
拉普拉斯算子 U＝div gradU
＝ 12 2 1 1 2 1 2 2 2
U
r U r r
r r U r
r sin sin
sin
三、 曲线积分、曲面积分与体积导数
[矢量的曲线积分及其计算公式] 矢量场R(r)沿曲线 的曲线积分定义为
R(r)·dr＝
n
n i
r 0 1
lim R(r~i)·ri-1 式中ri-1=ri－ri-1，右边极限与r~i的选择无关，曲线
由A到B(图8.13)
若矢函数Ｒ(r)是连续的(就是它的三个分量是 连续函数), 曲线 也是连续的, 且有连续转动的 切线, 则曲线积分
R
r dr 存在.若Ｒ(r)为一力场，则Ｐ＝
R
r dr就等于把一质点沿着 移动时力Ｒ所作的功.
矢量曲线积分的计算公式如下：
R
r dr＝
XdxYdyZdz
2 1
R r dr=
1R
r dr＋
2R
r dr (图8.14)
R
r dr=－
R r dr
R
r T r
dr=
R
r dr＋
T
r dr
kR
r dr=k
R
r dr (k为常数)[矢量的环流] 如果为一闭曲线，则沿曲线 的曲线积分
r r
R d ＝
z Z y Y x
Xd d d
称为矢量场Ｒ(r)沿闭曲线 的环流.
势量场沿任何闭曲线的环流都等于零.如果Ｒ(r)为一势量场， 且
它的势函数为时，则曲线积分
R
r dr=
ABR
r dr ＝(B)－(A) 与连接A，B两点的路径无关，只依赖于A，B两点的 位置(图8.15).[矢量的曲面积分] 设S为一曲面，令N＝
cos , cos , cos
表示在曲面S上一点的法线单位矢量,而dS＝NdS表示面积矢量元素.又设(r)=(x, y,z)是定义在曲面S上的连续标函 数，R(r)=(X(x, y,z),Y(x, y,z), Z(x, y,z))是定义在曲面S上的连续矢函数，则曲面积分有如下的三 种形式：
1
标量场的通量(或流量)
S
dS= Syz
dydz i＋ Szx
dzdx j＋ Sxy
dxdy k
这里规定法线单位矢量与曲面分布在切面的两侧.
式中Syz，Szx，Sxy分别表示曲面S在Oyz平面，Ozx平面，
Oxy平面上的投影.Sxy的正负号规定如下：当从ｚ轴正方 向看去时，看到的是曲面S的正面，认为Sxy为正，如果 看到的是曲面的反面，则认为Sxy为负(图8.16).
2
矢量场的标通量
S
R·dS=Syz
Xdydz＋Szx
Ydzdx＋Sxy
Zdxdy式中Syz等的意义同1 . 3
矢量场的矢通量
S
R×dS＝Syz
(Zj－Yk)dydz＋Szx
(Xk－Zi)dzdx＋Sxy
(Yi－Xj)dxdy 式中Syz等的意义同1.
[矢量的体积导数] 如果S是包围体积V的闭曲面，并包含点r，则沿闭曲面S的曲面积
分(
S
dS,S
R·dS,S
R×dS)与体积V之比，当V趋于零时(即它的直径０)的极限称为标量场(或矢量场R)在点r处的体积导数(或空间导数).
1
标量场的体积导数就是它的梯度：
grad＝
V
S V
S d lim
0
2
矢量场Ｒ的体积导数之一是它的散度：
div R＝
V
S V
S R d lim0
3
矢量场Ｒ的另一个体积导数是它的旋度：
rot R＝－
V
S V
S R d lim
0
四、 矢量的积分定理
[高斯公式]
V
divRdV=
S
R·dS=S
R·NdS即
V S
S Z
Y X
z y z x Z y Y x
X d d d cos cos cos d
式中Ｓ为空间区域Ｖ的边界曲面，N＝
cos , cos , cos
为 在S上一点的法线单位矢量，R(r)=(X(x, y,z),Y(x, y,z),Z(x, y,z)) 在V＋S上有连续偏导数.[斯托克斯公式]
S
rot Ｒ·dS＝S
rot R·NdS＝L
R·dr即
x y
y X x x Y x z Z z z X z y Y y Z
S
d d d
d d
d
=
S
y S X x Y x
Z z X z
Y y
Z cos cos cos d
=
LXdxYdyZdz式中S为一定曲面的一侧，L为曲面S的闭边界曲线(L的正向与N构成右手系).S的每点有切 面，其方向连续地依赖于曲面上的点，而边界曲线L上的每点都有切线(图8.17). R(r)=(X(x, y,z),Y(x, y,z),Z(x, y,z))在曲面的所有点单值，并在与S足够靠近的点处有连续偏导数.
[格林公式]
S
grad ·dS=
V
V d grad Δ grad
S
grad grad ·dS=
V
V
d
式中S为空间区域V的边界曲面， , 为两个标函数，在S上具有连续偏导数，且在V上具 有二阶连续偏导数，为拉普拉斯算子，特别
S
grad ·dS=
V
V
d 即
S V
z V y
y x z x x y z z
x dyd d d d d 2 d
2 2 2 2
2
