3 等参数单元与高次插值

(1)

§3 等参数单元与高次插值

一、等参数单元

如果单元具有如下特性：

（i) 每个待定函数(例如u)在节点P_i上只有一个参数值(即u_i);当把节点P_i的坐标值(例如 xi)看作坐标变量(例如 x)在节点P_i的参数值时,单元上每个待定函数与坐标变量的节点参数值具有相同的个数,即节点个数p。

（ii) 单元上变点 P 的坐标与插值函数的各分量同节点参数值之间的线性关系,具有统一的模式：





 ^p

i

i P

1

)(*) (

(*)  （14）

则称它为等参数单元。式中_i(P)是以局部坐标为变量的型函数,（*）表示变点P的坐标或插值函数的各分量,(*)_i表示对应的节点参数值。基本单元是等参数单元中最简单的一类(只有顶点是节点)。

如果节点不只取在顶点处,从型函数的定义与构成可知_i(P)的次数就会增加,插值函数的次数也相应增加。反过来,为了提高精度要对待定函数作高次插值,单元的节点也不能只取在顶点。总之,等参数单元适用于高次插值,其关键仍然是型函数的构成,单元转化为规则形状也不一定通过度量比坐标来实现,其节点的局部坐标只要选得使型函数表达式简洁就好了。至于局部坐标与直角坐标间的对应关系则可利用上述模式得出。等参数单元常用类型有六节点三边形,九、十节点三边形,八、九节点四边形,十节点四面体,二十节点四面体,十五节点五面体, 二十节点六面体等单元。

为了使公式统一,对三边形、四面体,需要简化节点记号:首先同基本单元一样,只在单元顶点局部编号i=1，2，…，p,并直接以i表示单元的顶点P_i,以 jk表示端点为P_j,P_k的线段中点, jk 与 jk则分别表示线段P_j P_k上靠近P_j与P_k的三分点,以ijk表示△ P_i P_j P_k的形心(重心),而以 O 表示单元的形心。在单元分析时,它们都不另外编号。此外,为缩短篇幅,对等参数单元,只列出型函数_i的表达式,其余部分可仿照§2计算。

二、

多节点线元上的插值

[三节点线元] 在直线段P₁P₂上取其中点为另一节点P₃,它的距离坐标为 ) 2 ,1 2

(1 。相应的

型函数是二次的：

2) ( 1 2 ₁ ₁

1    

 ) 2 ( 1 2 ₂ ₂

2    

 ₃ 4₁₂ 插值函数为

3 2 1 2 2

2 1 1 1 3 3 2 2 1

1 ) 4

2 ( 1 2 2) ( 1 2 )

(P u u u u u u

u_e             

(2)

用原直角坐标，插值函数又可写成

2 3 1 2

2 1 2 2

1 2

3 1

2 1 1 2

3 2

) (

) )(

( 4 )

(

) )(

( 2 )

(

) )(

(

2 u

x x

x x x u x

x x

x x x u x

x x

x x x u_e x



 



 



 

它就是u(x)的二次拉格朗日插值多项式,式中

2

2 1 3

x

x x 

 。

[四节点线元] 在直线段P₁P₂上取三分点为另二节点P₃,P₄,其距离坐标分别为 3)

,1 3

(2 , )

3 ,2 3

(1 ,相应的型函数是三次的：

3) )( 2 3 ( 1 2 9

1 1

1

1      

 ) 3 ( 1 2

27

1 2 1

3    

 3)

)( 2 3 ( 1 2 9

2 2

2

2      

 ) 3 ( 1 2

27

2 2 1

4    

 用原直角坐标可得三次拉格朗日插值多项式u(x)：

] ) )(

)(

( 3 ) )(

)(

( 3

) )(

)(

( ) )(

)(

) [(

( 2

9

4 3 1

2 3 4 1 2

2 4 3

1 1

4 3

3 2 1 2

u x x x x x x u x x x x x x

u x x x x x x u x x x x x x x

u_e x















 



式中

3 2 ₁

2 3

x

x  x 

3 2 ₂ ₁

4

x x  x 

三、平面等参数单元的型函数

[六节点三边形] 六节点包括三边形的三个顶点和三个边的中点(图19.7）。选取面积坐标 )

, ,

(₁ ₂ ₃ ,其型函数是二次的：

2) ( 1

2 

 _i _i

i  

 （i=1,2,3）

j

ij i

 4 (i≠ j）

[九、十节点三边形] 九节点包括三边形的三个顶点和三个边的三分点;十节点应补加单

元的形心O(图19.8),其面积坐标为 )

3 ,1 3 ,1 3

(1 。

十节点三边形的型函数是三次的：

3) )( 2 3 ( 1 2

9  

 ⁱ _i _i

i   

 （i=1，2，3）

3) ( 1 2

27 

  i j j

j

i  

 （i≠ j）

3 2 1

0 27

 

对九节点三边形,每个待定函数只有9个自由度的节点参数值,不可能确定{_i}的三次齐次式中10个系数,型函数虽可构成但不唯一。例如参考上式取

3 2

) 1

3 )( 2 3 ( 1 2

9    

_i  _i _i  _i   （i=1，2，3）

3 2

) 1

3 ( 1 2

27   

_i_j_  _i _j _j   （i≠ j）

只要36 27显然它们都可以作为型函数,但所得到的三次插值是不完全的,为此需要对

(3)

型函数或插值函数加以限制。可以证明,当

4 , 27 2

9 



 

 时相应的插值包含完全的二次多项

式(参看§4)。因此九节点三边形的型函数可写成

3 2

2 1

) 9 3 )( 2 3 ( 1 2

9    

_i  _i _i  _i  

（i=1，2，3）

3 2

4 1

) 27 3 ( 1 2

27   

_i_j_  _i _j _j  

（i≠ j）

[八、九节点四边形] 八节点包括四边形的四个顶点与四个边的中点,九节点应补加单元的形心。先考虑局部坐标(,)中的正方形,中心在原点,其顶点坐标

) 1 , 1 ( ) ,

(_i _i    ,等等(图19.9)。

九节点四边形的型函数为

) 1 )(

1 )(

)(

4(

1    

_i  _i _i  _i  _i （i=1,2,3,4）

( )(1 )(1 ) 2

1          ²²  ²²

_i_j  _i_j  _i_j  _i_j  _i_j  _i_j  _i_j （i≠ j）

₀ (1²)(1²) 八节点四边形的型函数为

) 1

)(

1 )(

1 4(

1    

_i   _i  _i  _i  _i （i=1,2,3,4）

(1 )(1 ) 2

1    ²²  ²²

_i_j   _i  _i  _i  _i （i≠ j）

四、空间等参数单元的型函数

[十节点四面体] 十节点包括四面体的四个顶点和六个棱边的中点(图 19.10)。选取体积坐标,其型函数为

2) ( 1

2 

 _i _i

i  

 （i=1,2,3,4）

j j i

i 

 4 （i≠ j）

[二十节点四面体] 二十节点包括四面体的四个顶点,六个棱边的三分点(12,12等共 12

(4)

个),以及四个边界面的形心(如124等共4个)(图19.11)。其型函数为：

3) )( 2 3 ( 1 2

9  

 _i _i _i

i   

 （i=1,2,3,4）

3) ( 1 2

27 

  i j j

j

i  

 （i≠ j）

k j

ijk i 

 27 (i≠ j≠ k）

[十五节点五面体] 十五节点包括五面体的六个顶点,三个棱的中点以及上、下底六个边的中点(图19.12)

其型函数为

) 6 , 2 , 1 ( )

1 ( ] 1 )

1 ( ) 1 )][(

(

) 2 1 3 2 (3 ) 2

2 ( ) 2 2

)[(

1 2( 1

 































i i

i i i i

i i

i i i i

i i



































) 1 ](

1 ) 1 ( ) 1 )[(

2 2 1

(         ²

_j   _j  _j _j   _j   _j _j 

(j表示三棱边中点) 表示上下底六边中点)

k k

k k k

( )

1 ](

2 1 2

) 1

( 2 ][

2 1 ) 1

( 2 2

)[

3 4 4 ( 2











































(5)

[二十节点六面体] 二十节点包括六面体的八个顶点和十二个棱边的中点(图 19.13)。

其型函数为

) 2 )(

1 )(

1 8(

1      

        

_i _i _i _i _i _i _i (i=1,2,…,8)

) ( ]

) 1 (

) 1 ( 1 )[

1 )(

1 4( 1

2 2 2 2

2 2

j

ij i

ij

ij ij

ij































五、等参数单元的特点

综合上述，可知等参数单元具有以下特点：

1° 采用等参数单元较之基本单元效果更好:它不但可以增加插值的次数,以提高计算精度,而且还使得单元形状能够适应边界弯曲的特性。因为在构造型函数时,我们把局部坐标系中有规则的几何单元作为模型,再给定二者节点之间的对应关系,求出型函数后,才通过模式 (14)得到二坐标系之间的关系。在整个过程都不考虑单元的边界形状,但从这些关系式看出单元的边界一般可取代数曲线或曲面。

例如,十节点三边形的边界(某_i=0)可以是三次曲线。十节点四面体、十五节点五面体或二十节点六面体的棱边(某二局部坐标已定)都是二次曲线,其侧面则是由两族二次代数曲线织成的曲面。其形状完全由节点的位置或坐标（x_i,y_i,z_i）来确定。如果节点选成共线或共面, 从模式(14)不难证明这些曲线退化为直线或平面曲线。因此在划分等参数单元时,Ω 的弯曲边界邻近的某些节点可以适当布置使单元与Ω 的边界较好地拟合,以减少边界扰动误差。但在区域内部,节点还是选得使侧面较平直为好（甚至尽可能与直角坐标方向一致）,这样可简化坐标变换及其雅可比式,以减少计算量与误差积累。

2° 完全的m元n次多项式或m+1元n次齐次多项式的项数为

!

! )!

( m n

n

m 这公式对于判定相容条件是否满足,n次插值是否完全,以及边界上节点的合理分布都很有用。例如,上述平面等参数单元坐标变换在边界上都是相容的;十节点、二十节点四面体的二、三次插值是完全的, 单元之间沿边界侧面也是相容的。至于其他单元,在对插值函数形式加些限制（例如要求双二次）后也是相容的。

3° 由模式（14）可知,等参数单元之间的坐标变换的相容性与插值函数的连续性是等价的。如果边界上节点参数值的个数与插值多项式的项数相等,那末两相邻单元的插值函数在公共边界上的值通常可由其公共的节点参数值所唯一确定,连续性就得到保证。同理,公共边界上坐标的参数表达式也完全由其节点的坐标值所确定,从而使它们的坐标变换在边界上是保持相容。例如,从二十节点六面体的型函数可以看出其插值多项式包括ξ ,η ,ζ 三次多项式的 17 项（即20项中不出现³,³,³等三项）再补上三个四次项²,²,²,对于任一侧面（例如ζ =1）,插值函数（对ξ ,η ）是双二次的共8项,与该侧面的节点（参数值）数相等。因此, 只要相邻单元取同样的插值模式,相容性条件就得到满足。注意,增加节点（参数值）个数只能在一定程度上使插值多项式的次数提高,而无法解决其导数沿公共边界保持连续的问题.对这类问题就不宜采用等参数单元,而应改用协调单元.

(6)

4° 从九、十节点三边形单元的型函数的构成可以看出,如不对插值函数加以限制,它并不是唯一的,例如,对于十五节点五面体或二十节点六面体,三个平行的平面ζ =ζ +1=ζ -1=0 可通过所有的节点。这表示对原型函数{_i}加上ζ 的三次项a_i(² 1),只要



^aⁱ^{=0 它还是一组}

型函数。二十节点六面体单元对插值多项式的限制已如 3^o 所述（即除去三次多项式中的

3 3 3, ,

 三项,而在十五个四次项中只补上三项:²,²,²）,在这样限制（即对每个坐标变量都是二次的）下,型函数才是唯一的（例如,由于ζ 的三次项不出现,a_i只能取零）。同样, 在十五节点五面体单元的型函数表达式中,³,³,³,²,²等五个三次项并不出现,在这样条件下,型函数也是唯一的。

5° 不完全的高次插值对解的收敛性一般是不利的。但是,同九节点三边形一样,上述的二十节点六面体与十五节点五面体单元的插值对二次多项式是准确的（因为它们只在三次以上各项作调整）。

3 等参数单元与高次插值