2 线性空间与线性子空间

(1)

§2 线性空间与线性子空间

一、线性空间

[线性运算] 设F是一个域，其元素a，b，c，…作为数量；V是任一种类对象的集，其

元素用希腊字母α ,β ,γ ,…表示. 确定两个运算法则：

1^o V 中元素的加法. 对V 中任二元素α ，β ，总有唯一确定的元素γ 与它们对应，称为α 与β 之和，记作γ _ _β.

2^oF中的数量与V中元素的乘法. 对F中任一数a与V中任一元α ，总有唯一确定的元素δ 与它们对应，称为a与α 的数乘，记作 a

这两个运算法则称为线性运算.

[线性空间及其性质] 设F是一个域，V是任一种类对象的集，若对线性运算满足以下

条件，则称V为域F上的线性空间：

(i) V是一个加法群；

(ii) 对任意元a∈ F与α ∈ V，对应着唯一确定的一个元 aV (iii) 满足分配律和结合律，即对a,bF, ,V有

) ( ) (

) ( , )

(











b a ab

b a b a a a a













域 F 的元素称为线性空间的数量，V 的元素称为它的矢量，因而线性空间又称矢量空间. 加法群的单位元称为零矢量，记作0，（-1）α 是α ∈ V的逆元，称为负矢量.

实数域上的线性空间称为实线性空间；复数域上的线性空间称为复线性空间.

例1 三维空间中的矢量全体组成一个实线性空间.

例2 数域F 上的多项式环F[x]，按照通常的多项式加法与多项式乘法，组成数域F上

的线性空间.

例3 元素属于数域F的m×n矩阵，按照矩阵的加法和矩阵与数的乘法，组成数域F上

的线性空间.

例4 按照通常的加法和乘法，实数全体是实数域R上的线性空间. 复数全体是复数域C

上的线性空间. 任一域是用自己当作数量域的线性空间.

例5 把在一个实区间（a，b）中定义的每个连续实函数当作一个元素，任意两个元素f

与g的和记作 f g， f g是在(a,b)中定义的一个连续实函数，它在每一点x的值规定为 )

( ) ( ) )(

(f g x  f x g x 又把一个元素f乘实数c所得到的元素cf 规定为

(cf)(x)cf(x), a xb 则这些元素全体组成一个实线性空间.

线性空间有以下性质：

1^o零矢量是唯一的.

(2)

2^o负矢量是唯一的.

3^o0 0,V;c00,cF^.

4^o若cF,V,c 0则c=0或α =0.

[线性相关与线性无关] 域 F 上的线性空间 V 中一组有限个矢量



₁,₂,,n



,如果对 F

c c

c₁, ₂,, _n  ,仅当c₁ c₂ c_n 0时等式

c₁₁c₂₂ c_n_n 0

才成立，则称矢量组



₁,₂,,n



为线性无关，否则称为线性相关. 若矢量组



₁,₂,,n



线性相关，则其中至少有一个矢量_i是其余矢量_k(k i)的一个线性组合：

n n i

i i i

i k k  k  k 

  ₁ ₁  _₁ _₁  _₁ _₁  含零矢量0的任一组矢量是线性相关的.

假定域F上的线性空间V上又定义了收敛性（第二十一章，§3，四）,V中一组无限多个

矢量



₁,₂,



,如果对F中的c₁,c₂,仅当c₁ c₂ 0时等式 c₁₁c₂₂ 0

才成立，则称矢量



₁,₂,



为线性无关，否则称为线性相关.

[基底与坐标] 域F上的线性空间V中一组矢量{₁,,_n}如果满足

(i) {₁,₂,,_n}是线性无关的;

(ii) V中任一矢量都是矢量_i(i1,2,,n)的一个有限线性组合；则称{₁,₂,,_n}为V 的一个有限基底，也称{₁,₂,,_n}生成（或张成）这个空间，{₁,₂,,_n}为空间的一组生成元.

设{₁,₂,,_n}为 V 的一组基底，则 V 中任一矢量α 一定可以用₁,₂,,_n的线性组合来表示：

 a₁₁ a₂₂ a_n_n

式中复数a₁,a₂,,a_n是唯一确定的，它称为矢量α 关于基底{₁,₂,,_n}的坐标.

如果V有一个有限基底，就称V是一个有限维线性空间，否则，称为无限维空间. 有限维线性空间V的基底的矢量个数称为V的维数，记作dimV.

[第一维数定理] 域F上有限维线性空间V的任意两个基底有相同个数的元素.

推论设{₁,₂,,_k}为一个 n 维线性空间 V 中一组线性无关的矢量，显然k n，则

在V中存在一个基底使得{₁,₂,,_k}是它的一部分.

二、线性子空间

[线性子空间] 设S是域F上线性空间V的一个非空子集，若S对于V的线性运算也构成线性空间，则称S为V的一个线性子空间，简称为子空间.

设S是域F上线性空间V的一个子集，若关于线性运算是封闭的，即 (i) 若,S则 S；

(ii) 若S,aF,则aS；则S是V的子空间.

例如，在线性空间V中的单个零矢量所组成的子集是V的一个子空间，称为零子空间. V

(3)

本身也是V的一个子空间. 这两个子空间称为V的平凡子空间.

设₁,₂,,_r为域F上线性空间V中的一组矢量，这组矢量的一切线性组合 c₁₁c₂₂ c_r_r,c_i F(i1,2,,r)

构成V的一个子空间，称为由₁,₂,,_r生成（或张成）的子空间. 这是V的非平凡子空间.

[子空间的交与和] 设S，T是域F上线性空间V的子空间，属于S又属于T的V中一切

矢量所构成的子集称为S与T的交（通集），记作ST. 由能表示为 (S,T)的一切矢量构成的子集称为S与T的和（和集），记作ST（或ST ）.

设S与T是F上线性空间V的两个子空间，则S与T的交ST以及和ST都是V的子空间.

[第二维数定理] 设S与T是线性空间V的两个子空间，则 dimSdimT dim(ST)dim(ST)

（这里dimV表示线性空间V的维数）.

推论若n维线性空间V中两个子空间S与T的维数之和大于n，则S，T必含有公共非零矢量.

例如，三维空间中两个不同平面（二维子空间）交于一条直线，由于 4

2 2 dim

dimS T    ，但dim(ST)3，所以dim(ST)1.

[子空间的直和] 设S₁,S₂,,S_k是线性空间 V 的子空间，若和S₁S₂ S_k中每个矢量α 的分解式

 ₁₂ _k,_i S_i(i1,2,,k) 是唯一的. 这个和就称为直和，记作

_S₁ __S₂ ___S_k 子空间的直和具有以下性质：

1^o和S₁ S₂ S_k是直和的充分必要条件是：

₁₂ _k 0,_iS_i(i1,2,,k) 仅当_i全为零矢量时才成立.

2^o和S₁ S₂ S_k是直和的充分必要条件是：





i j

j

i S

S  Φ （空集）(i1,2,,k) 3^o设S₁,S₂,,S_k是线性空间V的子空间，若

W S₁S₂ S_k 则 d i mW d i mS₁ d i mS₂ d i mS_k 其逆也真.

这表明对于子空间的直和，维数是可加的. 由此可见，若 W S₁S₂S_k

把子空间S_i(i1,2,,k)的基

, , , (i , , ,k)

ini

i

i₁  ₂  12 



合并起来就得到子空间W的一组基.

(4)

[商空间] 设S是V的一个子空间，并设两个矢量,^' V ，若^' S，则说 和^' 是等价的，记作 ~^'. 实际上，这个关系具有等价关系的三个性质：

(i) 反身性对每个S，有 ~^'； (ii) 对称性若 ~^'，则^' ~；

(iii) 传递性若 ~^'，^' ~^"，则 ~".

和集合的情形一样，称两个等价的矢量 和^'是属于同一类. 每个矢量V恰好包含在一个类中，这一类记作^_ . V中的零矢量0包含在与子空间S重合的0^_类中.

若把每个类作为一个元素，则这一切元素组成的集是一个线性空间，称为V关于S的商空间，记作V /S. 商空间的零矢量是⁰^_，且有

dimV/S dimVdimS

由此可见，若SV，则商空间的维数是零；又若 S 是零空间，则商空间的维数与 V 的维数相同.

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