§4 酉空间

§4 酉空间

一、 酉空间的定义与性质

[酉空间与欧氏空间] 设V为一个复数域F上的线性空间，若在V中定义了两个矢量,

的内积（数量积），记作（,），且满足：

(i) （,）=（^_____,），其中（^_____,）是（,）的共轭复数；

(ii) （,）0，等号当且仅当 0时成立；

(iii) (a₁₁ a₂₂,)a₁(₁,)a₂(₂,)，对任意₁,₂,V,a₁,a₂ F成立；

则称V为一酉（U）空间，又称为内积空间.

若F是实数域，这时内积是可交换的. 有限维实酉空间称为欧氏空间.

例 n维线性空间V_n中，若规定

(,)(a₁b₁ a₂b₂ a_nb_n) 式中





































n

n b

b b

a a a





2 1 2

1

, β α

则V_n是一个酉空间.

酉空间Ｖ中的内积具有性质：

1^o（a,b）＝ab(,) 2^o (, )(,)(,)

3^o 一般，a_i,b_i F,_i,_iV (i1,2,,n)则

  







 ⁿ

i

i i i i n

i i i n

i i

i b ab

a

1 1

1

) , ( )

,

(    

4^o (0,)(,0)0

[模(范数)] 由于(,)(^_____,)，所以(,)是实的. 令   (,)

称它为酉空间Ｖ中矢量 的模或范数. 模为１的矢量称为单位矢量或标准矢量.

设α ，β 为酉空间的矢量，c为一复数，则 1^o c  c 

2^o (,)    （柯西-施瓦兹不等式）

等号当且仅当α 和β 线性相关时成立.

3^o     

这些性质与空间的维数无关.

[正交与标准正交基] 酉空间V中，若(,)0，则称矢量α 正交于β . 显然，若α 正

交于β ，则β 也正交于α .

酉空间中，任意一组两两正交非零矢量是线性无关的.

如果一组单位矢量两两正交，则称它为一个标准正交组. 若这矢量组又生成整个空间V，

则称它为V的标准正交基.

设{₁,₂,,_n}为酉空间V的一组标准正交矢量，V，则 1^o ₍_,₁₎ ²  ₍_,₂₎ ²  ₍_,_n) ²   ² （贝塞耳不等式）

2^o  



(,₁)₁ (,₂)₂ (,n)n



正交于_i(i1,2,,n)

3^o当 V 是有限维空间时，{₁,₂,,_n}成为 V 的基底的充分必要条件是：任一个矢量

V

 可表示为

 



(,₁)₁ (,₂)₂ (,n)n



且  ² (,₁) ²  (,₂) ²  (,_n) ²

[子空间的正交补空间] 设V为复数域上的酉空间，S为V的一个子空间，若 (i) ST V

(ii) 对S和 T有(,)0 则称T为S的正交补空间.

由(i)立刻可知ST （空集）.

若S是一个有限维酉空间V_n的一个子空间，则V_n中有一个子空间T为S的正交补空间.

二、 酉空间上的特殊线性变换

[共轭变换] 对域F上酉空间V上的一个线性变换L，由关系式

(L(),)_(,L^*()),,_V

所定义的变换L^*是线性变换, L^*称为L的共轭变换. 若LL^* L^*L，则称L为正规变换.

共轭变换有以下性质：

1^o(L^*)^* L

2^o(aL)^* aL^*,aF 3^o(LM)^*  L^* M^* 4^o(LM)^*  M^*L^*

5^o若L是非奇异线性变换，则L^*也是非奇异线性变换，并且 (L^*)^1 (L^1)^*

6^o若在某一标准正交基下L的矩阵为 A，则共轭变换L^*关于这同一基底的矩阵为A的共 轭转置矩阵A^__ .

[自共轭变换（埃尔米特变换）] 若LL^*，则称L为自共轭变换或埃尔米特变换. 自共轭变换有以下性质：

1^o若L，M为自共轭变换，aF则LM,aL也是自共轭变换. 当L，M可交换时，LM 也是自共轭变换.

2^o在标准正交基下，自共轭变换的矩阵是埃尔米特矩阵. 反之，线性变换关于一标准正

交基的矩阵是埃尔米特矩阵，则必为自共轭变换.

3^o自共轭变换的特征值是实的.

4^o有适当的标准正交基使自共轭变换L对应于一个实对角线矩阵，其主对角线上的元素

是L的全部特征值.

[酉变换] 若对酉空间V中的任意, ，有线性变换L，使 (L()),L())(,)

则称L为酉变换.

酉变换有以下性质：

1^o恒等变换为酉变换.

2^o若L，M为酉变换，则LM也为酉变换.

3^o若L为酉变换，则L^1也为酉变换. 4^oL为酉变换的充分必要条件是：

LL^* I 或 L^* L^1

5^o在标准正交基下，酉变换 L 的矩阵是酉矩阵. 反之，线性变换关于一标准正交基的矩

阵是酉矩阵，则必为酉变换.

6^o酉变换的特征值的绝对值都是1.

三、射影

[射影及其性质] 对线性空间V上的一个线性变换P，若有 V的两个互补子空间S和T 使得若V,  ,S,T，则

P() 这种变换P称为V沿T在S上的射影.

射影有以下性质：

1^o若P是一个射影，则

P²  P

因此射影是一个幂等变换；反之，幂等变换必为射影.

2^o若P₁,P₂是线性空间V分别沿T₁在S₁上和沿T₂在S₂上的射影，则

(i) P₁P₂是一个射影，当且仅当若P₁P₂ P₂P₁ O时，则S₁S₂  ，并且P₁ P₂是 沿T T₁T₂在S S₁ S₂上的射影.

(ii) 若P₁P₂  P₂P₁  P，则P是沿T T₁T₂在S S₁S₂上的射影.

3^o设T，S为有限维线性空间V_n的两个互补子空间，P为沿子空间T在子空间S上的射影，

则P的矩阵可化为如下形式：





 





0 0

0 P A

式中A是k阶方阵.

[正射影] 设S，T为复数域上一酉空间 V的互补子空间，则V沿T在S上的射影称为V

在S上的正射影.

[自共轭变换的分解] 设L 是有限维酉空间V上一个自共轭变换. 令₁,₂,,_k为L的

不同特征值，令S_i为使L()_i (i1,2,,k)的矢量α 的集合，则S_i是V的子空间. 显然对 j

i ，S_i和S_j是 V的正交补空间. 若{

ini

i 

₁,, }是 S_i的一个标准正交基，其中n_i是S_i的维 数，则由一切这些_ij所组成的集{_ij}是V的一个标准正交基. 最后使Pi为V在Si上的射影，

则关于上面的基底，L的矩阵有如下的形式：





































k k













0

0

2 2

1 1









=





































nk

k n

n

I I

I







0

0

2 1

2 1



式中Ini表示n_i阶单位矩阵. 另一方面，关于这个基底射影P_i的矩阵为





































k i

n n

n

I





0

1 0

式中Oni表示n_j阶的零矩阵.

因此自共轭变换可以写成射影的一个线性组合.

L₁P₁ ₂P₂ _kP_k

四、酉空间中的度量

在本节第一段中，已经引入酉空间中的每个矢量α 的模（范数）. 酉空间中两“ 点” （即

矢量）α ，β 的距离d(,)与任二矢量α ，β 之间的角度的定义如下：

























) , cos (

) )(

( )

, (













 d

由上述方程所定义的函数满足尺度空间（见第二十一章，§4，一）中的一切条件. 若V是一个实酉空间，则对一切,V，角度必须是实的.