第四节 空间曲线及其方程

第八章

一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程

三、空间曲线在坐标面上的投影

第四节 空间曲线及其方程

一、空间曲线的一般方程

空间曲线可视为两曲面的交线

,其一般方程为方程组

 

 

 0 )

, , (

0 )

, , (

z y x G

z y x

F S 2

L ^{F ( x , y , z )  0}

0 )

, ,

( x y z 

G ¹

S

例如

,

方程组

 











6 3

2

2 1

2

z x

y x

表示圆柱面与平面的交线

C.

x

z

1 y O

2 C

又如

,

方程组

表示上半球面与圆柱面的交线

C.

 















2 0

2

2 2

2

x a y

x

y x

a z

z

y x

O a

C

C

二、空间曲线的参数方程

将空间曲线

C

上的动点坐标

x, y, z

表示成参数

t

的函数

:

称方程组（

2

）为空间曲线的

C

参数方 程

.

) (t x x 

) (t y y 

) (t z z 

当给定

t  t ¹

时，就得到上的一个点

^{( x}

^1,

^y

^1,

^z

¹

^);

_随着 的变动便可得曲线

C

上的全部点。

t

(2)

z

x y

O

 

  t , b  ^v

令

   b

z

a y

a x

  

sin cos

, π

2

时

当

  h  2 π b t

a

x  cos  t a

y  sin 

t v z 

上升高度

,

称为螺距

.



M

例

1

如果空间一点

M

在圆 柱

M/

2 2

2

y a

x  

上以角速度



^绕

z

^{轴旋转，同时}

线 线 线

又以速度

v

沿平行于

Z

轴的正方 向上升，那么点

M

构成的图形叫

线 线 线 线 线 线 线 线 线 线

螺旋。求其参数方程。

线 线 N

解得方程：

例

2.

将下列曲化参数方程表

线 线 线 线 线 线 线 线

示

:

 











6 3

2 ) 1 1

( ^{2 2}

z x

y x

 













 ) 0

2

( ₂ ² ₂ ^{2 2}

x a y

x

y x

a z

解

: (1)

根据第一方程引入参数

,

t x  cos

t y  sin

) cos 2

6

3 (

1 t

z  

(2)

将第二方程变形为

( x  ₂ ^a ) ²  y ²  ^a ₄ ² ,

_故所求为 得所求为

t x  ^a ₂  ^a ₂ cos

t y  ^a ₂ sin

t a

z  ₂ ¹  ₂ ¹ cos

π) 2 0

(  t 

π) 2 0

(  t 

三、空间曲线在坐标面上的投影

线

空曲

线 线 线 C

的一般方程为 消去

z

得柱面方

程

包含

C

在

xOy

面上的投影曲

线 C´

消去

x

得包含

C

在

yOz

面上的投影 曲线的方程

消去

y

得包含

C

在

zOx

面上的投影曲线的方 程

 

 

 0 )

, , (

0 )

, , (

z y x G

z y x F

, 0 )

,

( x y  H

 

 

 0

0 )

, (

z y x H

 

 

 0

0 )

, (

x z y R

 

 

 0

0 )

, (

y z x T

z

y x ^{C }

C O

线

方程

z

y x

O 1

C

例如

,

在

xOy

面上的投影曲线方程为

 











0

0 2

2 ²

2

z

y y

x

 



















1 )

1 (

) 1 (

: ₂ ^{2 2} ₂ ² 1 ₂

z y

x

z y

C x

z

x

1 y

又如

,

所围的立体在

xOy

面上的投影区域 为

:

上半球面

z  4  x ²  y ²

和面

线 线 z  3 ( x ²  y ² )

 









0

2 1

2

z y

在

xOy

面上的投影曲线

x

 













) (

3

: 4 ₂ ² ₂ ²

y x

z

y x

C z

二者交线

. 0 ,

2 1

2  y  z 

所围圆域

: x

二者交线在

xOy

面上的投影曲 所 之域线 围

.

C O

内容小结

•

空间曲线 三元方程组 或参数方程

•

求投影曲

线

(

如

,

圆柱螺 线

)

思考与练习

P36

题

1 ， 2 ， 7 （

展示空间图形

）

x z

2 y

z

y

x

1

P36

题

1

(2)

2

 1 x

 2 (1) y

2

4 x 2 y

z   

 0

 x y

答案

:

O O

z

x

y (3)

a

a

2 2

2 z a

x  

2 2

2 y a

x  

O

P36

题

2 (1)

z

y 1

5 

 x y

 3

 x y

1 5 

 x y

 3

 x y

x

O

y z

x 2

3

思考

:

对平面

y  b

交线情况如何

? ,

3

时 当

b 

交线情况如何

? ,

3

时 当

b 

P36

题

2(2) 9 1

4

2 2  y  x

 3

y O

P37

题

7

 



   0

2 2

z

ax y

x

 











 0

) 0 ,

0

2 (

2 2

y

z x

a z

x y

x z

O a

y x

z

O a

P36 3 ， 4 ， 5 ， 6, 8

作业

2

2 y

x

z  

 







 



1

2 2

z y

x

y x

z

2 1

2  



 y x y x

 



   

 0

2 1

2

z

y x

y x

备用题

^求曲线 绕

z

轴旋转的曲面 的交线在

xOy

平面的投影曲线方程

.

 1



 y z x

解：



^{旋转曲面方程为}

交线为

此曲线向

xOy

面的投影柱面方程为

此曲线在

xOy

面上的投影曲线方程为

y 2

z 

 0 x

,

它与所给平面的 与平面