第五节 平面及其方程

第五节

一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程

三、两平面的夹角

平面及其方程

第八章

O

 z

x y

M0

n

①

一、平面的点法式方程

) ,

,

( _{0 0 0}

0 x y z

设一平面通过已知点 M 且垂直于非零向

0 )

( )

( )

(x  x₀  B y  y₀  C z  z₀  A

M

称①式为平面的点法式方程 ,

求该平面的方程 . ,

) , ,

(x y z   任取点M

) ,

,

(x  x₀ y  y₀ z  z₀

法向量 . 量 n  (A , B, C),

n M

M₀ 

0M n  0 M

 M M₀

则有

故

的 为平面

称 n 

k j

 i

例 1. 求过三点

1  , 又M

) 1 ,

9 , 14

( 



0 )

4 (

) 1 (

9 )

2 (

14 x   y   z  

0 15

9

14x  y  z   即

M1

M2

M3

解 : 取该平面 的法向量 为

), 2 , 3 , 1 ( ),

4 , 1 , 2

( ₂

1  M  

M M₃(0,2,3) 的平面  的方程 .

利用点法式得平面  的方程 3 

 4  6

 2 3 1

n n  M₁M ₂  M₁M₃

此平面的三点式方程也可写成

0 1

3 2

6 4

3 









4 1

2  

 y z

x

0

1 3

1 3

1 3

1 2

1 2

1 2

1 1

1





















z z

y y

x x

z z

y y

x x

z z

y y

x x

一般情况 : 过三点 M _k (x_k , y_k , z_k ) (k 1,2,3) 的平面方程为

说明 :

特别 , 当平面与三坐标轴的交点分别为

此式称为平面的截距式方程 .

) , 0 , 0 ( ,

) 0 , , 0 ( ,

) 0 , 0 ,

(a Q b R c

P

1



 c z b

y a

时 , x

) 0 ,

,

(a b c 

bc a

x )

(   y(a)c  zab  0 abc

bz a acy

bcx    平面方程为

P O

z

y x

R

Q

分析 :

利用三点式 按第一行展开得

即

 0 a

x  y z

 a b 0

 a 0 c

二、平面的一般方程

设有三元一次方程

以上两式相减 , 得平面的点法式方程

此方程称为平面的一般

 0





 By C z D x

A

任取一组满足上述方程的数 x₀, y₀, z₀, _则

0 )

( )

( )

(x  x₀  B y  y₀  C z  z₀  A

0 0

0

0  B y  C z  D  x

A

显然方程②与此点法式方程等价 ,

) 0

( A²  B²  C²  ②

) ,

,

(A B C

n  的平面 ,

因此方程②的图形是 法向量为

方程 .

特殊情形

• 当 D = 0 时 , A x + B y + C z = 0 表

示 通过原点的平面

• 当 A = 0 时 , B y + C z + D = 0 的法向;

量 平面平行于 x 轴

• A x+C z+D = 0 表示 ;

• A x+B y+D = 0 表示

• C z + D = 0 表示

• A x + D =0 表示

• B y + D = 0 表 示

 0





 By Cz D

Ax

( A²  B²  C ²  0)

平行于 y 轴的平面 平行于 ; z 轴的平面 平行于 ; xOy 面 的平面 平行于 ; yOz 面 的平面；

平行于 zOx 面 的平面 .

, )

, , 0

( B C i

n  

例 2. 求通过 x 轴和点 ( 4, – 3, – 1) 的平面方 程 .

例 3. 用平面的一般式方程导出平面的截距式方程 .

解 :因平面通过 x 轴 ,故 A  D  0 设所求平面方程为

 0

 Cz y

B

代入已知点 (4,  3, 1)_得 C  3B 化简 , 得所求平面方程

0 3 

 z y

(P39 例 4 , 自己练习 )

三、两平面的夹角

设平面∏ ₁ 的法向量为 平面∏ ₂ 的法向量为 则两平面夹角 _的余弦为

cos  即

2 1 2

1 2

1A B B C C

A  

22 22

22 B C

A  

12 12

12 B C

A  

两平面法向量的夹角 ( 常指锐角 ) 称为两平面的夹角 .

1

2

 ⁿ² n1

 ) ,

,

( _{1 1 1}

1 A B C

n 

) ,

,

( _{2 2 2}

2 A B C

n 

2 1

2

cos 1

n n

n n 

 

2

特别有下列结论

：

2

) 1

1

(   

2 0

1 2

1 2

1 A  B B  C C  A

2 1 //

) 2

(  

2 1 2

1 2

1

C C B

B A

A  

1



2

2 1

2

cos 1

n n

n n 

 

2

1 n

n 

2 1 // n n

n2

n1

n2

n1

) ,

, (

:

) ,

, (

:

2 2

2 2

2

1 1

1 1

1

C B

A n

C B

A n









因此有

例 4. 一平面通过两点

垂直于平面∏ : x + y + z = 0, 求其方程 ^. 解 : 设所求平面的法向量为

, 0 2

0  



 A B C _即 A  2C 的法向量 A  B  C  0 ,

C C

A

B  (  ) 

) 0 (

0 )

1 (

) 1 (

) 1 (

2       

 C x C y C z C

约去 C , 得  2(x 1)  (y 1)  (z 1)  0 即 2x  y  z  0

0 )

1 (

) 1 (

) 1

(x   B y   C z   A

) 1 , 1 , 1

1(

M _和 M ₂( 0,1, 1),

则所求平面

故

, ) ,

,

(A B C n 

方程为



 n

2 1M M

n 

且

外一点 , 求

) ,

,

( _{0 0 0}

0 x y z

P A x  B y  C z  D  0 例 5. 设

2 2

2

1 0

1 0

1

0 ) ( ) ( )

(

C B

A

z z

C y

y B x

x A













 

2 2

2

0 0

0 B y C z D

x d A









 

1 0

1

1  B y  C z  D  x

A

解 : 设平面法向量为 )

, ,

( _{1 1 1}

1 x y z P

在平面上取一点 是平面

到平面的距离 d . P0

, 则 P₀ 到平面的距离为

0

Prj P1P d  _n^

n n P

P 

 ^{1 0}

P0

P1

n d ,

) ,

,

(A B C n 

( 点到平面的距离公

y x

z

O

例 6.

解 : 设球心为

求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构 成

则它位于第一卦限 , 且

 









2 2

2

0 0

0

1 1

1

1 z

y x

0

0 3

3

1 x  x

 ,

0 1

0

0  y  z 

 x





 y₀ z₀ R

因此所求球面方程为

0 0

0 y z

x  

6 3 3

3 3

1

0

 

  x

, ) ,

,

( _{0 0 0}

0 x y z

M 四面体的球面方程 .

故

) (半径

 R

 

^{2 2 2}

2 )

6 3 (3

6 ) 3 ( 3

6 3 ) 3

6 3

(x  3  y    z    

M0

内容小结

1. 平面基本方 程 :

一般式 点法式 截距式

 0





 By Cz D

Ax ( A²  B²  C²  0)

1



 c

z b

y a

x

三点式 0

1 3

1 3

1 3

1 2

1 2

1 2

1 1

1 





  



z z

y y

x x

z z

y y

x x

z z

y y

x x

0 )

( )

( )

(x  x₀  B y  y₀  C z  z₀  A

) 0 (abc 

2 0

1 2

1 2

1A  B B  C C  A

2 1 2

1 2

1

C C B

B A

A   2. 平面与平面之间的关系

平面 平面

垂直 : 平行 :

夹角公式 :

2 1

2

cos 1

n n

n n 

 

2 0

1  n  n

2 0

1  n  n

, 0

: _{2 2 2 2}

2    

 A x B y C z D n₂  ( A₂, B₂,C₂) ,

0

: _{1 1 1 1}

1    

 A x B y C z D n₁  (A₁, B₁,C₁)

思考与练习

P42 题 4 , 5, 8

作业

P42 2 , 6 , 7 , 9

) 5 , 15 ,

10

 (

0 )

1 (

5 )

1 (

15 )

1 (

10 x   y   z  

0 6

3

2x  y  z  

备用题

求过点 且垂直于二平面 和 的平面方程 .

) 1 , 1 , 1

( x  y  z  7

0 5

12 2

3x  y  z  

解 : 已知二平面的法向量为 取所求平面的法向量

则所求平面方程为

化简得

), 1 , 1 ,

1

1  ( 

n n₂  (3, 2,12)

2

1 n

n n  