第四节 平面与空间直线（导学解答）

5.4 平面与空间直线（一）

一、相关问题

1．在空间中，如何求通过两点

P x y z i

_i

( , , )(

_{i i i}

 1, 2)

_{的直线方程.}

答: 直线的方向向量

 PP

_{1 2}

 ( x

₂

 x y

₁

,

₂

 y z

₁

,

₂

 z

₁

)

s ，直线过点

P

1,



所求直线方程为 ^{1 1 1}

2 1 2 1 2 1

x x y y z z

x x y y z z

    

  

^。

2．在空间中，如何求过不共线三点

M

_i

 ( , , ), x y z i

_{i i i}

 1, 2,3

_{的平面方程？}

答：设M(x,y,z)为平面上的任意一点，四点构成三个向量共面，所以

可得所求平面方程为：

1 1 1

2 1 2 1 2 1

3 1 3 1 3 1

0

x x y y z z

x x y y z z

x x y y z z

  

   

  

.

二、相关知识

1. 平面方程和直线方程各有几种常用的表示式？

答：平面方程有三种表示式：点法式、一般式、截距式；直线方程有三种：对称式

（点向式）、一般式（交面式）、参数式。

2．平面与平面的位置关系？

答：平面与平面的位置关系有相互垂直，相互平行或重合两种位置关系.

3．点到平面的距离公式？（该公式见教材ｐ28公式(5.4.9)）

三、练习题

1．分别按下列条件求平面方程：

（1）平行于xOz面且经过点（2，-5，3）；

（2）通过

z

轴和点（-3，1，-2）；

（3）平行于

x

轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）.

解 ： （1） 依 题 意 ， 因 所 求 平 面 平 行 于 xOz面 ， 故 可 设 所 求 的 平 面 方 程 为 ,

0

D

By 又经过点（2，-5，3），代入上述方程得^{D 5B,}所以所求平面方程为：

. 0 5

 y

（2）类似地可求得满足条件的平面方程为：^x3y0. （3）类似地可求得满足条件的平面方程为：^{9yz20.} 2．若平面^{xky2z0}与平面^{2x3yz0}的夹角为

4



，求k.

解：

2 2 2

2 2

2 ( 2) 2 ( 3) 1

1

1 2 ) 3 ( 2 1 cos4

























 

k

 k



2

 20



k .

3．设平面过原点且垂直于平面



₁:x2y3z20,



₂ :6x y5z230,_求 此平面方程？

解 ： 设 所 求 平 面 的 法 向 量 为

n

， 因 平 面



1,



2的 法 向 量 分 别 为

),

, , ( ),

, ,

( 1 2 3

₂

6 1 5

1



n

  

n 且 nn₁, nn₂,故

, k j i k

j i n n

n 7 23 13

5 1 6

3 2

2 1

1   









 由点法式知，所求的平面方程为：

. 0 13 23

17   

 x y z

4．已知原点到平面   1

c z b

y a

x 的距离为d ，试证： 1₂ 1₂ 1₂ 1₂.

d c b

a    解：由点到平面的距离公式(5.4.9)直接得出要证明的等式.

四、思考题

1．一平面过点(1,0,1)_{且平行于向量}a (2,1,1)_和b^ _{(1,1,0)，试求这平面方}

程.

解：根据平面的三点式可得所求平面方程为：

1 1

2 1 1 0

1 1 0

x  y z 





，即

x y   3 z   4 0

.

2．求平面^{2x2yz50}与各坐标面的夹角余弦？

解 ： 由 两 平 面 的 夹 角 公 式 得 该 平 面 与 ^xOy面 的 夹 角 余 弦 为 ：

) ; cos (

3 1 1 2 2

1

2

2 





 

 类似地，该平面与 ^yOz,zOx面的夹角余弦分别为：

. cos

;

cos 3

2 3

2 

 



3．一平面与

xoy

_{面的交线为}x3y20且与三个坐标面围成一个体积为 3 8 的四

面体，求这个平面方程？

解：所求平面方程为   1 c z b y a

x ，又平面在

x, y

_{轴上的截距分别为2，}

3 2 ，

3 8 3 2 2 6

1  



V c ，c12，故所求平面方程为

1 12 2 x  y

₃²

 z 

.

4．用对称式方程及参数方程表示直线 ^.





















0 4 3 2

0 1 z y x

z y x

解：先找出这直线上的一点(x₀,y₀,z₀)_，令 x₀ 1,代入方程组 ^,















6 3

2 z y

z

y 解得

2

0 ₀

0  z 

y , ，即（1，0，-2）是这直线上的一点；再找出这直线的方向向

量

s .

由于两平面的交线与这两平面的法向量n₁

 ( 1 , 1 , 1 ),

n₂

 ( 2 ,  1 , 3 )

都垂直，

所以可取 ^{i j k.}

k j i n n

s 4 3

3 1 2

1 1

2 1

1   







 因此，所给直线的对称式方程为：

,

3 2 1

4 1



 

 

 y z

x 令 x y z  t,



 

 



3 2 1

4

1 得所给直线的参数方程为：





















. ,

, t z

t y

t x

3 2

4 1