又P 關於平面E 的對稱點為Q，則E 之方程式=______. - 明誠

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：109.04.01

範 圍

平面方程式

班級 二年____班 姓 座號 名

壹、填充題：每題十分

1. 設P(2,1, 3), (6, 5, 9)− Q − − ，又P關於平面E的對稱點為Q，則E之方程式=________.

答案： 2x−3y−3z=32

解析： P, Q之中點M(4, 2, 6)− − (4, 6, 6) (2, 3, 3)

PQ= − − = − − 故平面E: 2x−3y−3z=32

2. 包含三點A(1, 0, 2), (2, 1,3), (3,1,3)B − C 之平面方程式為 ﹒ 答案： − + +2x y 3z− =4 0

解析： AB=(1, 1,1),− AC=(2,1,1)

( 2,1,3) AB AC = −

所求為−2(x− +1) (y− +0) 3(z− =2) 0 − + +2x y 3z− =4 0

3. 設A(1, 2, 4), (3,1, 2), ( 3, 2,1), (2, 2,1)− B − C − − D ，求：

(1)過A, B, C三點之平面方程式=________.

(2)D到平面ABC之距離=________.

(3)求四面體ABCD之體積=________.

答案： (1)3x−10y−4z=7(2) 5(3)²⁵ 2 解析： (1)AB=(2,3, 6),− AC= −( 4, 0, 3)−

3 6 6 2 2 3

: : 9 : 30 :12

0 3 3 4 4 0

n − −

= = −

− − − − =3 : 10 : 4− − 3x−10y−4z=7

(2) ^{6 20 4 7 25} 5

9 100 16 5 5

d − − −

= = =

+ +

(3) ¹ 49 25 10²

ABC =2  − 15 5 1 15 5

, 5

2 V 3 2

= =   ²⁵

= 2

4. 若點A(1, 2, 1)− 關於平面E：ax by cz+ + =12的對稱點為A −(2, 1,3)，則( , , )a b c =______.

答案： (3, 9,12)− 解析：

取AA之中點 ( , ,1)^{3 1}

M 2 2 ， n =AA= −(1, 3, 4),

3 1

:1 ( ) 3( ) 4( 1) 0

2 2

E  −x − y− + z− =  −x 3y+4z=4 3x 9y 12z 12

 − + = ∴a=3,b= −9,c=12

5. 設A(1, 1,1), (2,1, 1)− B − ，則AB在平面E: 2x+ −y 2z+ =3 0的正射影之長 為 .

答案： ¹⁷ 3

解析： 將A B, 代入(2 1 2 3)(4 1 2 3)− − + + + + =200 ,

A B在平面E同側，AB=(1, 2, 2)−

平面之法向量為 n =(2,1, 2)− 2 2 4 8 17

cos sin

9 9

1 4 4 4 1 4

| | | | AB n AB n

 ^{ + +} 

 = = =  =

+ +  + +



則AB在平面E: 2x+ −y 2z+ =3 0的正射影之長 | | sin 3 ^{17 17}

9 3

l= AB   =  =

6. 過二平面x+2y+ =2 0及y+ − =z 2 0之交線，且x截距為4之平面方程式為________.

答案： x+5y+3z− =4 0

解析： (x+2y+ +2) k y( + − =z 2) 0 + +x (k 2)y+ + − +kz ( 2k 2)=0 0

y= =z  =x 2k− = 2 4 ∴k=3 ∴E x: +5y+3z− =4 0

7. 若兩平面x− + =y z 3與x+ +y az=4的銳夾角為60，則a= ． 答案： a=  6

解析： 設E₁:x− + =y z 3，其法向量 n₁ =(1, 1,1)− E₂:x+ +y az=4，其法向量n₂ =(1,1, )a

2

cos60 1 1

1 1 1 1 1 a

a

 = − +

+ +  + + ²

1

2 3 2

a a

 =  +

2 2

1

4 3 6

a

 = a +

2 6

a = ， a=  6

8. 在空間中，已知平面E通過(3, 0, 0)，(0, 4, 0)及正z軸上一點(0, 0, )a ，如果平面E與xy平面的 夾角成45度，則a= .

答案： ¹² 5

解析： 利用平面截距式可得平面E為 1 3 4

x y z

+ + = a ∴E: 4ax+3ay+12z=12a E之法向量為(4 ,3 ,12)a a

又xy平面之方程式為z=0，其法向量為(0, 0,1)

∴ (4 ,3 ,12) (0, 0,1)

cos45 = a a   ¹ = ¹²

兩邊平方並交叉相乘得25a²+144 144 2=  ∴ ¹²

a=  5 （負不合，∵a0），即 ¹² a= 5

9. 已 知 四 面 體 的 四個 頂點 為 A(5, 1,3), (3, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0, 4)− B C D ， 則 A點 到 底 面BCD的 高 為 .

答案： ⁵ 13

解析： 根據截距式可得底面所在的平面方程式為 : 1

3 1 4

x y z E + + = 整理得4x+12y+3z−12=0

2 2 2

4 5 12 ( 1) 3 3 12 5 ( , )

4 12 3 13 d A E  +  − +  −

= =

+ +

10. 過點A(1,1, 5), (2, 1,3)− B − 且與平面x+ − =y z 2垂直的平面方程式為 ． 答案： 2x−3y− − =z 4 0

解析： 設所求平面E，其法向量為 n

: 2

E x + − =y z ，其法向量為 n =(1,1, 1)−

(1, 2,8), (6, 9, 3)

AB= − nAB= − − 取 n =(2, 3, 1)− − ，又A在E上

∴E的方程式為2 ( − + −  − + −  + =x 1) ( 3) (y 1) ( 1) (z 5) 02x−3y− − =z 4 0

11. 若平面E過點A(3, 1, 2)− − 且與平面3x+4y−2z+ =3 0平行，則平面E的方程式為 . 答案： 3x+4y−2z=9

解析： 設平面E的方程式為3x+4y−2z=k

將A(3, 1, 2)− − 代入得k=9所以平面E的方程式為3x+4y−2z=9

12. 二平行平面E₁: 2x− +y 2z+ =1 0,E₂: 4x−2y+4z=k，已知E₁與E₂的距離為1，則 k= ﹒

答案： 4或−8

解析： ₁: 2 2 1, ₂: 2 2 2 E x− +y z= − E x− +y z= k

1 2

2 1

( , ) 1 1 3

4 1 4 2 k d E E k

+

 = =  + =

+ + ^{2 3 1 2}

 =  − =k 或−4 ∴k=4或−8

13. 設a b c, , 為實數，且空間中兩平面E₁: 2x+ −y 2z− =5 0, E₂:ax−3y+bz+ =c 0，若E₁平行 E2，又E₁與E₂距離為1，則序組( , , )a b c = . （有兩解）

答案： ( 6, 6, 24)− 或( 6, 6, 6)− 解析： E₁/ /E₂，所以 ³

2 1 2

a = − = b

− ，所以b=6,a= −6

2: 6 3 6 0 2 2 0

3 E − −x y+ z+ = c x+ −y z− =c

1 2

5 3

( , ) 1 1 5 3 24

9 3 c

d E E c c

−

=  =  − =  = 或6 故( , , )a b c = −( 6, 6, 24)或( 6, 6, 6)− 14. 平面E平行E: 3x+2y+ + =z 2 0，且其三個截距和為22，則平面E的方程式為________.

答案： 3x+2y+ =z 12

解析： 設E: 3x+2y+ =z k 3 2 x y z 1

k k k

 + + = 1

3 2

x y z k k k

 + + = 22

3 2 k k

 + + =k 2k 3k 6k 6 22

 + + =  11k= 6 22 =k 12

: 3 2 12

E x+ y+ =z

∴

15. 小明上工藝課時用鐵條焊接了一個三隻腳都互相垂直的三腳架，若此腳 架放在水平地面上，使每一隻腳的底端都在地面上，如圖所示，已知三隻

腳的長度分別為3公分、2公分、4公分，則頂端到平面之距為_________公分.

答案： 12 61

解析： 取A(3, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 4)B C

包含A B C, , 三點的平面為 : 1

3 2 4

x y z

E + + = 8x+12y+6z=24

2 2 2

( , ) 24

8 12 6

d O E −

= + +

24 2 16 36 9

= + +

12

= 61

16. 設A( 1, 2,1), (4,12, 4)− B − . 若直線AB與平面x+2y− =z 20交於P點，則AP BP: = . 答案： 3 : 2

解析： AP BP: =d d₁: ₂

1

1 4 1 20 18

1 4 1 6

d − + − −

= =

+ + ₂ ^{4 24 4 20 12}

1 4 1 6

d + + −

= =

+ +

18 12

: : 3 : 2

6 6

AP BP= =

15. 設A( 1, 2,3), (2, 6,3), ( 2, 4,5)− B C − 為空間中的相異三點，E為ABC所在平面，則：

(1)AB AC =________.

(2)AC在AB上之正射影為________.

(3)ABC面積=________.

(4)E的平面方程式為________.

(5)若∠BAC之內角平分線交BC於D點，設E在AD上，且AE=4AB+ AC，則 =_____.

答案： (1)5(2)( , , 0)^{3 4}

5 5 (3) 5 2 (4)4x−3y+5z=5(5)²⁰ 3 解析： AB=(3, 4, 0), AC= −( 1, 2, 2)

(1)AB AC = − + + =3 8 0 5

(2) ⁵ (3, 4, 0) ( , , 0)^{3 4}

25 = 5 5

(3) ¹ 25 9 5² 50 5 2

ABC=2  − = =

(4) 4 0 0 3 3 4

: : 8 : 6 :10

2 2 2 1 1 2

n = = −

− − =4 : 3 : 5− 4x−3y+5z=5 (5) =  =AB 5,AC 3， 3 5

8 8

AD= AB+ AC

∴

若AE=4AB+ AC， ²⁰

 = 3

∴

16. 設A(4, 2, 2), (2, 3, 2)− B − ，點P在平面2x− + =y z 6上使得AP+BP有最小值m，則m=_____.

答案： 17

解析： 先找A之投影點A x y z₀( , , )

(x−4,y+2,z− =2) t(2, 1,1)− ( , , )x y z =(2t+ − −4, t 2,t+2) 4t+ + + + + =8 t 2 t 2 6  = −  = −6t 6 t 1

0(2, 1,1)

A −

∴

A之對稱點A(0, 0, 0)，則最小值m= A B = 4 9+ + =4 17

17. 設 A(0,1, 1), (0, 2, 0), ( 1, 0,1), (1, 1, 0)− B − C − D − ， 則 包 含 AB且 平 分 四 面 體 ABCD體積之平面方程式為________.

答案： x=0

解析： 取CD之中點 (0, ^{1 1}, ) M −2 2

，包含 ABM之平面為E ( , ) ( , )

d C E =d D E

∴ ，故所求即平面E (0, 3,1), (0, 3 3, )

AB= − AM = −2 2 ³(0,1, 1)

= −2 − , n =AB AM 3 1 1 0 0 3

( , , )

1 1 1 0 0 1

− −

= − − ^{=(2, 0, 0) =2(1, 0, 0)} ∴E x: =0 18. 過點(2,1,3)且與平面x+2z=1,x− +y 2z=4均垂直的平面方程式為 . 答案： 2x− − =z 1 0

解析： (1, 0, 2) (1, 1, 2) − =(2, 0, 1)−

設平面：2x− + =z d 0，將(2,1,3)代入 − + =  =4 3 d 0 d 3所求為2x− − =z 1 0

19. 一平面E平行於平面2x+ +y 2z− =1 0且與三坐標平面所圍成的四面體之體積為9，則此平面 E的方程式為 .

答案： 2x+ +y 2z= 6

解析： 設平面：2x+ +y 2z=k 三軸截距： , ,

2 2

k k k

1 9 6, 6

6 2 2

k k

k k

   =  = − ∴E: 2x+ +y 2z= 6

20. 在空間坐標系中，有一平面鏡E，若一雷射光自P(7,10,3)射向鏡面E上之點O(1, 2,3)後反射 通過Q(1, 1, 7)− ，則鏡面E之平面方程式為 ﹒

答案： 3x+ +y 4z−17=0

解析： OP=(6,8, 0)|OP| 10=

(0, 3, 4) | | 5 OQ= −  OQ =

平面E之法向量 //(¹ ) (3,1, 4)

n 2OP OQ+ = (即菱形對角線) 取 n =(3,1, 4)

∴所求平面E之方程式為3 ( − +  − +  − =x 1) 1 (y 2) 4 (z 3) 03x+ +y 4z−17=0 21. 已知平面E通過點(2, 0, 0), (0,1, 0)與(2, ¹, 3)

−2 三點，則平面E與z軸的交點Q之坐標為 . 答案： (0, 0, 6)

解析： 設 (0, 0, ), : 1

2 1 x y z

Q c E

+ + =c 將(2, ¹, 3)

−2 代入得1 ^{1 3} 1 2 c

− + = ，即c= 6 Q(0, 0, 6)

22. 已知兩平面E₁:x=0, E₂:y+ + =z 1 0，則包含E₁與E₂之交線，且與平面：y+ =z 2夾角為 60的平面為________.

答案：  6x+ + + =y z 1 0

解析： 設E：kx+(y+ + =z 1) 0n_E =( ,1,1),k n_ =(0,1,1) cos 60

E E

n n_ =  n n_  2 ² 2 2 ¹ k 2

 = +   k²+ =2 8k² =  = 6 k 6 6x y z 1 0

 + + + =

23. 平面E過(2,1, 4)在第一卦限與三坐標軸正向交於A B C, , 三點，則

(1) 2OA OB OC+ + 的最小值為 _____ ﹒(2)此時平面E的方程式為 _______

答案： (1)25(2)2x+2y+ =z 10

解析： (1)設A a( , 0, 0), (0, , 0), (0, 0, )B b C c 其中a b c, , ＞0 則 :x y z 1 E a+ + =b c

∵E過點(2,1, 4)，∴^{2 1 4} 1 a+ + =b c 2OA OB OC+ + =2a b c+ +

由柯西不等式得(2 1 2)+ + ²  2 ² 1 ² 4 ^{2 2 2 2} [( ) ( ) ( ) ][( 2 )a ( b) ( c) ]

a + b + c + +

1 (2a b c) 25 2a b c 25

  + +   + +  ∴所求最小值為25

(2)此時，

1 2

2

1 1 2 1

2

a b c

t a b c t a = b = c =  = = =

, , 2

a t b t c t

 = = = 代入2a b c+ + =25得t=5 ∴a=5,b=5,c=10 故E的方程式為 1

5 5 10 x y z

+ + = 2x+2y+ =z 10

答案： x− − =z 2 0

解析： 設平面方程式為(2x+ − +y 4) k y( +2 )z =0 即2x+ +(1 k y) +2kz− =4 0

∵與平面E垂直，∴(2,1+k, 2 )k ⊥(3, 2,3) 即6 2 2+ + k+6k =  = −0 k 1

∴平面方程式為2x−2z− =4 0，即x− − =z 2 0

25.. 已知點A( 2,1, 2)− 與平面E x: −2y−2z−10=0，則A在E上之投影點坐標為________及對稱 點坐標為________.

答案： H(0, 3, 2),− − A(2, 7, 6)− − 解析： Sol一

投影點 :( 2,1, 2) 1 ₂^{2 2 4 10}_{2 2} (1, 2, 2) (0, 3, 2) 1 ( 2) (2)

H − −  − − − − − − = − − + − +

對稱點 :( 2,1, 2) 2 ₂ ^{2 2 4 10}_{2 2}(1, 2, 2) (2, 7, 6) 1 ( 2) (2)

H − −  − − − − − − = − − + − +

Sol二

設H a b c( , , )，∵AH// n = − −(1, 2, 2) (a+2,b−1,c− =2) t(1, 2, 2)− −

∴  = −a t 2,b= − +2t 1,c= − +2t 2 ( 2,1 2 , 2 2 )

H t− − t − t E

∴  − − + − + −t 2 2 4t 4 4t 10=09t=18 =t 2 H(0, 3, 2)− − 又H為AA之中點A(2, 7, 6)− −

26. 平面E之x y z, , 截距依次為2, 1,3− ，則：

(1)平面E之方程式為________.

(2)又平面E交x軸、y軸、z軸於A B C, , ，則 ABC之面積為________.

(3)三角錐O－ABC之體積為________.

答案： (1)3x−6y+2z=6(2)⁷ 2(3)1 解析： (1) : 1

2 1 3

x y z

E + + =

− 3x−6y+2z=6

(2)A(2, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0,3)B − C AB= − −( 2, 1, 0),AC= −( 2, 0,3),

1 0 0 2 2 1

( , , )

0 3 3 2 2 0

AB AC − − − −

 =

− − ^{= −( 3, 6, 2)−} 1

ABC=  2 AB AC ¹ 9 36 4

=2 + + 7

=2

(3) ¹ 2( 1) 3 1

O ABC 6

V_－ = −  =

27. 設平面E之法向量為 n =(1,3, 2)，且在三軸上之截距和為11，則平面E之方程式為_______.

答案： x+3y+2z=6

解析： 設E x: +3y+2z=k 1

3 2

x y z k k

 + +k = 11

3 2 k k

 + + =k 6k 2k 3k 11k 11 6 66

 + + = =  =  =k 6 E x: +3y+2z=6

28. 空間中，正立方體ABCD-EFGH中（如圖），若ABCD所在之平面方程式為2x− +y 2z+ =6 0， 且E( 7,5, 7)− − ，則：

(1) EFGH所在之平面方程式=________.

(2)立方體之邊長=________.

(3) A點坐標=_____.

答案： (1)2x− +y 2z= −33(2)9(3)( 1, 2, 1)− − 解析： (1)EFGH: 2x− +y 2z=k

過E( 7,5, 7)− −  − − −14 5 14=  = −k k 33，∴2x− +y 2z= −33 (2) 立方體之邊長即 (E, ABCD) ^{14 5 14 6 27} 9

4 1 4 3

d − − − +

= = =

+ +

(3) A即E在平面ABCD上的投影點，

設A x y z( , , ), (x+7,y−5,z+ =7) t(2, 1, 2)− ( , , )x y z =(2t− − +7, t 5, 2t−7)

代入平面方程式得4t− + − + − + =14 t 5 4t 14 6 0 =9t 27 =t 3 ∴A( 1, 2, 1)− − 29. 空間中兩平面E₁: 2x+ − =y z 15與E₂:x− −y 2z=8，則：

(1)E₁與E₂之夾角為________. (2)E₁與E₂之角平分面方程式為__________________.（兩解）

答案： (1) 60或120(2)x+2y+ − =z 7 0或3x−3z=23 解析： (1) n₁ =(2,1, 1),− n₂ =(1, 1, 2)− −

1 2 1 2 cos

n n =  n n 

∵

2 1 2 6 6 cos

 − + = 1

cos 2

 =  =  60 故E₁與E₂之夾角為60或120

(2)2 15 2 8

4 1 1 1 1 4

x+ − −y z x− −y z−

+ + =  + + ^{2x+ − −y z 15=  − −(x y 2z−8)}

2 7 0

x y z

 + + − = 或3x−3z−23=0

30. 設一平面 E 與 x, y, z 三軸之正向交於三點 A, B, C，若 AOB, BOC, COA之面積分別為 3, 6, 4，則平面E的方程式為________.

答案： 6x+4y+3z=12

解析： 設 : x y z 1, , , 0

E a b c

a+ + =b c 

1 3,

AOB=2ab= 1 2 6,

BOC= bc= 1

2 4 COA= ca= 6

12 8 ab bc ca

 =

 =

 =

2 2 2 2

24 a b c

 = abc=24  =c 4,a=2,b=3

∴ : 1

2 3 4

x y z

E + + = 6x+4y+3z=12

31. 已知平面E為一鏡面，今有一光線通過A(2,3,3)經鏡面E上一點T(1,1,1)反射後朝向B(1, 4,1) 的方向直線前進，則平面E之方程式為 ﹒

答案： x+5y+2z− =8 0

解析： TA=(1, 2, 2)|TA| 3,= TB=(0,3, 0)|TB| 3=

以TA TB, 為鄰邊作平行四邊形ATBC

∵|TA| |= TB|，∴四邊形ATBC為一菱形

則TC平分ATB，且TC =TA TB+ =(1,5, 2)為平面E的法向量 故平面E之方程式為1(x− +1) 5(y− +1) 2(z− =1) 0 +x 5y+2z− =8 0

32. 在下圖的空間坐標中，O為原點，點A B C, , 分別位於x軸, y軸, z軸上，OA=OB=OC且D 為OC的中點，則O到平面ABC與O到平面ABD的距離之比為 .

答案： 2 :1

解析： 設OA=OB=OC = a 0

且 ( , 0, 0), (0, , 0), (0, 0, ), (0, 0, ) 2

A a B a C a D a

ABC平面方程式： x y z 1

a+ + =a a ，即x+ + =y z a ABD平面方程式： 1

2 x y z

a+ +a a = ，即x+ +y 2z=a

∴O到平面ABC與O到平面ABD的距離之比為 : 2 :1

3 6

a a =

33. 有一個邊長為5公尺的正立方體木塊，朱明大師想要做一件藝術品，他拿鋸子 沿P Q R, , 三點鋸下四面體APQR，剩下的木塊以截面PQR為底放在地上，已知

4

AP= 公尺，AQ=AR=2公尺，則此藝術品之高度為________公尺.

答案： 7

解析： 設A(0, 0, 0), (5,5,5), (0, 0, 4), (2, 0, 0), (0, 2, 0)S P Q R 則包含P Q R, , 三點的平面E為 1

2 2 4

x y z

+ + = 2x+2y+ − =z 4 0 所求h=d S E( , ) 10 10 5 4

4 4 1 + + −

= + +

21

= 3 =7

34. 若平面E包含A(2, 2,1)與B(1, 0, 1)− ，則點P(1,1, 0)到平面E距離的最大值為________.

答案： ² 3

解析： 設L為過A B, 的直線，d P E( , )_MAX =d P L( , ) 1 2

PAB AB

=

又AP= − − −( 1, 1, 1),AB= − − −( 1, 2, 2)

1 1 1 1 1 1

( , , )

2 2 2 1 1 2

AP AB − − − − − −

 =

− − − − − − ^{=(0, 1,1)−}

1 2

2 2

PAB=   =AP AB 故所求

2 2 2

1 1 4 4 3

2

= =

 + +

35. 設x−2y+2z− =2 0，則 (x+5)²+(y−1)²+ +(z 3)²的最小值為________.

答案： 5

解析： (x+5)² +(y−1)²+ +(z 3)^{2 =}



^{x− −( 5)}



^{2+ −(y 1)2+ − −}



^{z ( 3)}



²

表( , , )x y z 到( 5,1, 3)− − 之距

最小值為即( 5,1, 3)− − 到平面E x: −2y+2z− =2 0之距 ^{5 2 6 2 15} 5 1 4 4 3

− − − −

 = =

+ +

36. 四面體ABCD中，若A(2,1, 1), (1, 2, 1), (1,1,3), (3, 2,5)− B − C D ，若有一平面E與平面ABC平行，

且頂點A B C D, , , 到平面E的距離皆相等，則此平面方程式為 ． 答案： 4x+4y+ −z 18=0

解析： AB= −( 1,1, 0)，AC= −( 1, 0, 4) AB AC =(4, 4,1) 取 n =(4, 4,1)為E之法向量

∴設E的方程式為4x+4y+ + =z d 0由題意得d A E( , )=d D E( , )

8 4 1 12 8 5

16 16 1 16 16 1

d d

+ − + + + +

 =

+ + + +  +d 11= +d 25

又A D, 在E之反側∴d+ = − +11 (d 25) = −d 18 ∴E的方程式為4x+4y+ −z 18=0