今
年的數學學測試題恐怕要讓許多中等程度的同學失望了！比起 99課綱前兩年的試 題而言，今年顯得難多了，甚至有人認為這是近十年來最難的題目，憂心忡忡地認 為對數學教學而言並不是件好的結果。本份試題比起往年題目，試題的計算量大，計算能力變得相當重要，題目經生活情境的包裝 後，讀題能力也相對重要，在學校教學或段考中，我們經常把題目的數據簡化，以呼應同學們 日趨薄弱的計算能力，看了今年的試題後，我想今後對學生計算能力的要求應該再多些，怕同 學計算太過複雜的惻隱之心也可稍微收斂起來。另外，去年的遺珠之憾『二次曲線』考了一題 有關雙曲線漸近線性質的題目，同學要得分不算太難，總算，『二次曲線』不再被打入冷宮了。
今年，待在冷宮的是『數與式』。
一、各冊配分情形：
冊別 單 元
題型
配分 合計 單選題 多選
題 選填題 第
一 冊
數與式 0
20
多項式函數 6 5
指數、對數函數 2 7 F 15
第 二 冊
數列與級數 1 5
排列、組合 10 C 10 30
機 率 3 B 10
數據分析 5 5
第 三 冊
三 角 A , J 10
25
直線與圓 4 5
平面向量 9 E 10
第 四 冊
空間向量 H , I 10
空間中的平面與直線 D 5 25
矩 陣 G 5
二次曲線 8 5
前 言
數學考科 10 學測試題關鍵解析
4
年
二、試題題型、特色分析：
1. 由統計表可看出，四冊分布的量平均，也沒有跨章節的題目。
(1) 三角函數出了兩題，不過皆是用直角三角形邊角關係即可求得，特色是計算量大，如果 沒有用些計算小技巧，皆需面臨分母是多位小數求近似值的問題，尤其是最後一題J， 題目利用生活化的情境來包裝，一個非常簡單的題目，霎那間焦點變得模糊。
(2) 空間向量考了H與I兩題，錐體展開圖在90學測已考過，應不算太難，二面角的度量
84年曾考過正四面體兩相鄰面夾角是否大於60的多選題，真正需算出二面角餘弦值的 考題，這應該算是第一次了，本題另有一個影響此題答對率的因素就是如果用餘弦定理 解題，由於數據不容易處裡，中等程度學生應該會對此題目感到困擾。對此，筆者提出 空間坐標化來幫助我們解題，數據計算起來相對簡單，提供給各位老師解題參考。
(3) 單利與複利的差別終於在大考中出現了，這有助於老師在教學時多多的談一下這兩種計 息方式，筆者認為，包括信用卡以日計息、地下錢莊每十天一期、房貸的分期付款問題，
這些與我們日常生活息息相關的數學題，學生們都應該有所認識。
2. 針對今年題目，以下幾題是筆者認為比較特殊的題目，提出與各位先進分享：
(1) 單選3：本題嘗試兩個新的定義：串接與並列，這與我們孰悉的物理中的串聯、並聯並 不相同，在考場的緊張氣氛中，同學是否注意到其中的不同是為得分與否的關 鍵。
(2) 單選4：這是一道關於線性規劃求最大值的題目，不過此題考的不是計算，而是觀念，
同學們在學習線性規劃問題時容易忽視平行線法而重視頂點法，其實這是本末 倒置的，要知道平行線法的結論就是頂點法，就像配方法的結論就是公式法一 樣。
(3) 多選8：本題考的是等軸雙曲線，漸近線為通過原點且與x軸夾45的兩直線，選項(3)
對某些同學可能會有困擾，同學會想說，漸近線既然是x－y＝0，那當a1000 時，a , b是不是很接近，而使得a , b的距離非常小而相差無幾呢？老師可能要 對這些同學詳加說明了！
(4) 選填B：本題考條件機率，得分容易，老師講解時也可利用樣本空間縮小的觀念切入：
不論甲乙各取出何種球，袋中均只剩二紅二白，這時丙丁戊己四人不論誰，取 得紅球的機率均是＝，這樣是不是相對簡單呢？
(5) 選填C：這是一道考古題，與84社會組所考，求x yzu9 之正整數解之個數，
是不是幾乎相同呢？當然，在智慧型復習講義中也有收錄此題，諸位先進可參 考拙著。
(6) 選填D：本題直觀思考，筆者認為考的是空間中三平面相交於一點，再利用距離公式 求
此三點所形成的三角形的周長，若能由這個觀念出發，得分應不太難；不過，
有趣的是空間中三平面的相交情形在課程中是屬於◎的部分，出題教授是否有 另外的思考模式就不得而知了。
(7) 選填G：轉移矩陣一向是指考、學測熱門的出題重點，今年再次印證它的重要性，考 了
三階轉移矩陣，相信以後這單元仍會受到出題教授的關愛。
第壹部分：選擇題
（占 50 分）一、單選題
（占20分）說明︰第1題至第4題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在 答案卡之「選擇 ( 填 ) 題答案區」。各題答對者，得 5分；答錯、未作答或畫 記多於一個選項者，該題以零分計算。
1. 每週同一時間點記錄某植物的成長高度，連續五週的數據為 a1＝ 1 , a2 ＝ 2 , a3 ＝ 6 , a4 ＝15 , a5＝31。
請問此成長高度數列滿足下列選項中哪一個式子？
(1) at＋ 1 ＝ 3at －1， t ＝ 1 , 2 , 3 , 4 (2) at＝t !， t ＝1 , 2 , 3 , 4 , 5
(3) at＋ 1 ＝at＋t2， t ＝ 1 , 2 , 3 , 4 (4) at＝2t－1， t ＝1 , 2 , 3 , 4 , 5 (5) at＋ 1 ＝tat＋1， t ＝ 1 , 2 , 3 , 4
【答 案】 (3)
【概念中心】能將觀察到的數列用遞迴關係式表示。
【命題出處】南一版數學第二冊第一章 數列與級數
【試題解析】a2＝a1＋1＝a1＋12， a3＝a2＋4＝a2＋22， a4＝a3＋9＝a3＋32， a5＝a4＋16＝a4＋42
∴ at＋ 1 ＝at＋t2， t ＝ 1 , 2 , 3 , 4 故選 (3) 。
2. 第1天獲得1元、第2天獲得2元、第3天獲得4元、第4天獲得8元、依此每天所 獲得的錢為前一天的兩倍，如此進行到第30天，試問這30天所獲得的錢，總數最接近 下列哪一個選項？
(1) 10,000 元 (2) 1,000,000元 (3) 100,000,000元
(4) 1,000,000,000 元 (5) 1,000,000,000,000元
【答 案】 (4)
【概念中心】能計算出等比級數和，並利用對數的首數、尾數估計天文數字。
【命題出處】南一版數學第一冊第三章 指數、對數函數
【試題解析】這三十天共獲得
1＋21＋22＋23＋…＋ 229 ＝＝ 230 －1 ( 元 ) ≈ 230 ( 元 ) ，
試題 詳解與分析
而log 230＝30．log 2 ≈ 30×0.301＝9.03＝9＋0.03
＝log 109＋ log 1.… ＝ log ( 1.…×109 )
∴ 230 ≈ 1.…×109 故選 (4) 。
3. 有兩組供機器運作的配件A、B，其單獨發生故障的機率分別為 0.1 、0.15。只有當 A，B都發生故障時，此機器才無法運作。A、B兩配件若用串接方式，前面故障會 導致後面故障，但若後面故障則不會影響前面的故障情形；若用並列方式，則故障情 形互不影響。若考慮以下三種情形：
( 一) 將B串接於A之後 ( 二) 將A串接於B之後 ( 三) 將A，B獨立並列
在情況 ( 一 ) 、 ( 二 ) 、 ( 三 ) 之下，機器無法運作的機率分別為p1、p2、p3。 請選出正確的選項。
(1) p1 ＞p2＞p3 (2) p2 ＞p1＞p3 (3) p3 ＞p2＞p1
(4) p3 ＞p1＞p2 (5) p1 ＝p2＞p3
【答 案】 (2)
【概念中心】能了解題目中新名詞 ( 串接、並列 ) 的定義，並計算出機率。
【命題出處】南一版數學第二冊第三章 機率
【試題解析】 ( 一 ) B串接於A之後，可分成二種情形：
若 A故障，則B必故障 無法運作機率為 0.1×1 ＝ 0.1 ； 若 A不故障，則必可運作 無法運作機率為 0
∴ p1＝0.1×1＋0＝ 0.1
( 二 ) 同 ( 一 ) 之討論，A串接於B之後，可得p2＝0.15×1＋0＝0.15。 ( 三 ) A，B獨立並列，p3＝0.1×0.15＝ 0.015 。
得p2＞p1＞p3， 故選 (2) 。
4. 一線性規劃問題的可行解區域為坐標平面上的正八邊形 ABCDEFGH 及其內部，如右圖。已知目標函數ax＋by＋3
( 其中 a，b為實數 ) 的最大值只發生在 B點。請問當目標 函數改為3－bx－ay時，最大值會發生在下列哪一點？
(1) A (2) B (3) C (4) D (5) E
【答 案】 (1)
【概念中心】能利用平行線法及斜率概念找出目標函數最大值產生的點。
【命題出處】南一版數學第三冊第二章 直線與圓
【試題解析】∵ 目標函數ax＋by＋3在B產生最大值
∴ 往右下移動出現最大值，即a＞0，b＜0 且m＝1 ∴ ax＋by＋3＝k之斜率－＞1 又目標函數3－bx－ay＝－bx－ay＋3，
x係數－b＞0，y係數－a＜0
∴ 往右下移會有最大值
令3－bx－ay＝t，m′＝－得0＜－＜1
∴ 在A點產生最大值 故選(1)。
二、多選題
（占30分）說明︰第5題至第10題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫 記在答案卡之「選擇 ( 填 ) 題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答 對者，得5分；答錯1個選項者，得3分；答錯2個選項者，得1分；答錯多於2個 選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
5. 小明參加某次路跑10公里組的比賽，下表 小明手錶所記錄之各公里的完成時間、平爲 均心率及步數：
完成時間 平均心率 步數 第一公里 5:00 161 990 第二公里 4:50 162 1000 第三公里 4:50 165 1005 第四公里 4:55 162 995 第五公里 4:40 171 1015 第六公里 4:41 170 1005 第七公里 4:35 173 1050 第八公里 4:35 181 1050 第九公里 4:40 171 1050 第十公里 4:34 188 1100 在這10公里的比賽過程，請依據上述數據，選出正確的選項。
(1) 由每公里的平均心率得知小明最高心率爲 188 (2) 小明此次路跑，每步距離的平均小於 1公尺
(3) 每公里完成時間和每公里平均心率的相關係數 正相關爲 (4) 每公里步數和每公里平均心率的相關係數 正相關爲 (5) 每公里完成時間和每公里步數的相關係數爲負相關
【答 案】(2)(4)(5)
【概念中心】能就觀測所得的數據資料判斷變量間的相關性。
【命題出處】南一版數學第二冊第四章 數據分析
【試題解析】由表中可發現：由第一公里到第十公里，其完成時間愈來愈少，而平均心率愈
來愈多，所需步數愈來愈多。
(1) ×：平均心率≠最高心率。
(2) ○：每單位公里除第一、四公里內所需步數 990、995步外，其餘皆大 於1000步
∴ 平均每步距離小於 1公尺
(3) ×：每公里完成時間與平均心率為負相關。
(4) ○：步數與平均心率皆愈來愈多為正相關。
(5) ○：每公里完成時間愈少，則步數愈多為負相關。
故選(2)(4)(5)。
6. 設f (x) 是首項係數為 1的實係數二次多項式。請選出正確的選項。
(1) 若 f (2)＝0，則x－2可整除f (x) (2) 若 f (2)＝0，則f (x) 為整係數多項式 (3) 若 f ( ) ＝0，則f ( － ) ＝0 (4) 若 f ( 2i )＝0，則f ( － 2i ) ＝0 (5) 若 f ( 2i )＝0，則f (x) 為整係數多項式
【答 案】(1)(4)(5)
【概念中心】能了解因式定理及多項式方程式的無理根成對、虛根成對的出現時機。
【命題出處】南一版數學第一冊第二章 多項式函數
【試題解析】 (1) ○：由因式定理得 f (2)＝0 x－2是f (x) 之因式。
(2) ×：反例：f (x)＝ ( x － 2 ) ( x － ) ，則f (2)＝0，但f (x) 不為整 係數。
(3) ×：實係數多項式方程式無理根可單獨存在，
例如：f (x)＝ ( x － 2 ) ( x － ) 。 (4) ○：實係數多項式方程式虛根成對定理。
(5) ○： 2i，－2i皆是f (x)＝0之根，
即f (x)＝ ( x － 2i ) ［x－ ( － 2i ) ］＝x2＋4為整係數。
故選(1)(4)(5)。
7. 坐標平面上，在函數圖形y＝2x上，標示A、B、C、D四個點，其x坐標分別為
－1、0、1、2。請選出正確的選項。
(1) 點 B落在直線 AC 下方
(2) 在直線 AB 、直線 BC 、直線CD 中，以直線CD 的斜率最大 (3) A、B、C、D四個點，以點B最靠近x軸
(4) 直線 y＝2x與y＝2x的圖形有兩個交點 (5) 點 A與點C對稱於y軸
【答 案】(1)(2)(4)
【概念中心】就指數函數的圖形判斷其凹向性、遞增情形及對稱性。
【命題出處】南一版數學第一冊第三章 指數、對數函數
【試題解析】(1) ○：y＝2x圖形凹口向上
∴ B在下方
(2) ○：y＝2x圖形愈往右邊上升愈快
∴ ，，仰角愈來愈高 即m＞m＞m
(3) ×：y＝2x圖形遞增以A之y坐標最小
∴ A最靠近x軸
(4) ○：y＝2x為通過O ( 0 , 0 ) 及C ( 1 , 2 )，D ( 2 , 4 ) 之直線，
作圖知其與y＝2x有兩個交點C，D。
(5) ×：A ( －1 , )，C ( 1 , 2 ) 並不對稱於y軸。
故選(1)(2)(4)。
8. 坐標平面上有一雙曲線，其漸近線為x－y＝0和x＋y＝0。關於此雙曲線的性質，
請選出正確的選項。
(1) 此雙曲線的方程式為－＝ 1或－＝－1，其中 r為非零實數 (2) 此雙曲線的貫軸長等於共軛軸長
(3) 若點 ( a , b ) 為此雙曲線在第一象限上一點，則當 a＞1000時，| a－b |＜1
(4) 若點 ( a , b )， ( a′ , b′ ) 為此雙曲線在第一象限上兩點且 a＜a′，則b＜b′
(5) 此雙曲線同時對稱於 x軸與y軸
【答 案】(1)(2)(4)(5)
【概念中心】能由雙曲線的兩漸近線推測出原方程式，並判斷曲線上的點的位置關係及對稱 性質。
【命題出處】南一版數學第四冊第四章 二次曲線
【試題解析】(1) ○：由兩漸近線可設雙曲線為 ( x－y ) ( x＋y )＝k
x2－y2＝k，即為－＝±1之型式。
(2) ○：由(1)可得貫軸長＝共軛軸長＝2r。
(3) ×：取a＝2000，r＝2000，則b＝2000滿足－＝－1，
得 ( a , b ) 為雙曲線上之點，但 | a－b |＞1。
(4) ○：設雙曲線為x2－y2＝k，則 a2－b2＝a′2－b′2， 當a＜a′，則b＜b′。
(5) ○：此雙曲線對稱軸為x軸及y軸，圖形同時對稱此二軸。
故選(1)(2)(4)(5)。
9. 如圖，以M為圓心、＝8為半徑畫圓，為該
圓的直徑，B、C、D三點皆在圓上，且＝＝
＝。若＝8 ( cos (θ＋90° ) , sin (θ＋90° ) )。 請選出正確的選項。
(1) ＝8 ( cosθ, sinθ)
(2) ＝8 ( cos (θ＋45° ) , sin (θ＋45° ) )
(3) ( 內積 ) ．＝8 (4) ( 內積 ) ．＝0
(5) ＝ 8 ( cosθ ＋cos (θ ＋90° ) , sinθ ＋ sin (θ ＋90° ) )
【答 案】 (2)(4)
【概念中心】能由 r ( 向量長度 ) 及θ( 方向角 ) 定義出向量，並求得向量的內積及差。
【命題出處】南一版數學第三冊第三章 平面向量
【試題解析】＝8 ( cos (θ＋90° ) , sin (θ＋90° ) ) 表示與 x軸正向夾θ＋90° 。 (1) ×：與x軸正向夾 (θ＋90° )－135°＝θ－45°
∴ ＝8 ( cos (θ－45° ) , sin (θ－45° ) )
(2) ○：與 x軸正向夾 (θ＋90° )－45° ＝θ＋45°
∴ ＝8 ( cos (θ＋45° ) , sin (θ＋45° ) ) (3) ×：．＝8×8×cos 0°＝64。
(4) ○： ．＝ 8×8×cos 90° ＝0。
(5) ×：＝－＝8 ( cos (θ＋90° )－cosθ, sin (θ＋90° )－sinθ)。
故選 (2)(4) 。
10. 某一班共有45人，問卷調查有手機與平板電腦的人數。從統計資料顯示此班有35人有 手機，而有24人有平板電腦。設：
A為同時有手機與平板電腦的人數 B為有手機，但沒有平板電腦的人數 C為沒有手機，但有平板電腦的人數 D為沒有手機，也沒有平板電腦的人數 請選出恆成立的不等式選項。
(1) A＞B (2) A＞C (3) B＞C (4) B＞D (5) C＞ D
【答 案】(2)(3)(4)
【概念中心】能求出集合的餘集、交集、補集的個數範圍。
【命題出處】南一版數學第二冊第二章 排列、組合
【試題解析】當有平板的人皆有手機時，A最多有24；
當全班每一個人皆有手機或平板時，
A最少有35＋24－45＝14
∴ 14 ≤ A ≤ 24……
由得35－24 ≤ B ≤ 35－14 11 ≤ B ≤ 21。
由得24－24 ≤ C ≤ 24－14 0 ≤ C ≤ 10 。
當有平板的人皆有手機時，D最多有45－35＝10；
當全班每一個人皆有手機或平板時，D最少為0
∴ 0 ≤ D ≤ 10
由以上討論得A＞C，B＞C，B＞D恆正確，
故選(2)(3)(4)。
第貳部分：選填題
（占 50 分）說明︰1.第A至 J題，將答案畫記在答案卡之「選擇 ( 填 ) 題答案區」所標示的列號 ( 11－37 )。
2.每題完全答對給5分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A. 如圖，老王在平地點A測得遠方山頂點P的仰角為 13°。老王朝著山的方向前進37公 丈後來到點B，再測得山頂點P的仰角為 15°。則山高約為公丈。
( 四捨五入至個位數， tan 13°0.231 ，tan 15°0.268 )
【答 案】62
【概念中心】能利用銳角三角函數的邊角關係解決三角測量問題。
【命題出處】南一版數學第三冊第一章 三角
【試題解析】設＝ x ( 公丈 ) ，
則＝x．tan 15° ≈ 0.268x， 又＝x＋37 ( 公丈 )
∴ ＝ ( x ＋37 )．tan 13°
≈ 0.231 ( x ＋37 )
令0.268x＝0.231 ( x＋37 ) x＝＝231
∴ 山高＝ 231×0.268＝61.908 ≈ 62 ( 公丈 )
B. 不透明袋中有3白3紅共6個球，球大小形狀相同，僅顏色相異。甲、乙、丙、丁、
戊5人依甲第一、乙第二、……、戊第五的次序，從袋中各取一球，取後不放回。試 問在甲、乙取出不同色球的條件下，戊取得紅球的機率為。（化為最簡分數）
【答 案】
【概念中心】能利用樹狀圖分析題意，並求出條件機率；或是利用條件機率即是將樣本空間
縮小的概念解題亦可。
【命題出處】南一版數學第二冊第三章 機率
【試題解析】甲、乙取出不同色的情形下，此時袋中必剩下2白2紅，
戊取得紅球的機率是，作樹狀圖如下：
甲紅 乙白 戊紅 甲白 乙紅 戊紅 所求條件機率p＝＝。
C. 小燦預定在陽台上種植玫瑰、百合、菊花和向日葵等四種盆栽。如果陽台上的空間最 多能種8盆，可以不必擺滿，並且每種花至少一盆，則小燦買盆栽的方法共有種。
【答 案】70
【概念中心】能利用重複組合的觀念解決方程式正整數解的問題。
【命題出處】南一版數學第二冊第二章 排列、組合
【試題解析】設玫瑰、百合、菊花、向日葵各有x，y，z ，u盆，
則x＋y＋z ＋ u ≤ 8 ，則x，y，z ，u為正整數。
x＋y＋z ＋u＝4 H ＝H ＝C ＝1。 x＋y＋z ＋u＝5 H ＝H ＝C ＝4。 x＋y＋z ＋u＝6 H ＝H ＝C ＝10。
x＋y＋z ＋u＝7 H ＝H ＝C ＝20。
x＋y＋z ＋u＝8 H ＝H ＝C ＝35。
共有1＋4＋10＋20＋35＝70 ( 種 ) 。
D. 平面x－y＋z ＝0與三平面x＝2，x－y＝－2，x＋y＝2分別相交所得的三 直線可圍成一個三角形。此三角形之周長化成最簡根式，可表為a＋c，其中
a，b，c，d為正整數且b＜d，則a＝，b＝，c＝，d＝。
【答 案】6，2，2，6
【概念中心】能解空間中三平面的交點坐標，並求出兩點間的距離。
【命題出處】南一版數學第四冊第二章 空間中的平面與直線
【試題解析】
解得 A ( 2 , 4 , 2 ) ， 得B ( 2 , 0 , － 2 ) ， 得 C ( 0 , 2 , 2 )
∴ ＝＝ 4，＝＝2， ＝＝ 2
∴ △ ABC周長＋＋＝4＋2＋2＝6＋2
得a＝6，b＝2，c＝2，d＝6。
E. 坐標平面上，直線L1與L2的方程式分別為x＋2y＝0與3x－5y＝0。為了確定平面上 某一定點P的坐標，從L1上的一點 Q1 偵測得向量＝ ( － 7 , 9 ) ，再從L2上的點Q2
偵測得向量＝ ( － 6 , － 8 ) ，則P點的坐標為 ( , ) 。
【答 案】( 9 , 1 )
【概念中心】能知道直線上的動點可用參數式表達，並利用向量的加減法解題。
【命題出處】南一版數學第三冊第三章 平面向量
【試題解析】設L1上點Q1 ( － 2t , t ) ，L2上點 Q2 ( 5k , 3k ) ，
而 ＝－＝ ( － 7 , 9 ) － ( － 6 , － 8 ) ＝ ( － 1 , 17 )，
又 ＝－＝( 5k , 3k )－ ( － 2t , t ) ＝( 5k＋2t , 3k－t )，
令 ，
×2 ＋得11k＝33 k＝3 ∴ Q2 ( 15 , 9 ) 設P ( x , y )
∵ ＝ ( － 6 , － 8 ) ＝－＝( x , y )－ ( 15 , 9 )
( x , y )＝( 9 , 1 )，
故P坐標為 ( 9 , 1 )。
F. 小華準備向銀行貸款3百萬元當做創業基金，其年利率爲3％，約定三年期滿一次還 清貸款的本利和。銀行貸款一般以複利 ( 每年複利一次 ) 計息還款，但給小華 創業優惠改以單利計息還款。試問在此優惠下，小華在三年期滿還款時可以比一般複 利計息少繳
元。
【答 案】8181
【概念中心】知道單利與複利的公式，並計算三年後本利和的差距。
【命題出處】南一版數學第一冊第三章 指數、對數函數
【試題解析】3000000 ( 1＋3％ )3－3000000 ( 1＋3×3％ )
＝3000000［ ( 1.03 )3 －1.09］
＝ 3000000 ( 1.092727 － 1.09 )
＝3000000×0.002727
＝8181 ( 元 ) 。
G . 某一公司，有A、B、C三個營業據點，開始時各有36位營業員，為了讓營業員了解 各據點業務狀況，所以進行兩次調動。每次調動都是：
將當時A據點營業員中的1／ 6調到B據點、1／ 6調到C據點；
將當時B據點營業員中的1／ 6調到A據點、1／ 3調到C據點；
將當時C據點營業員中的1／ 6調到A據點、1／ 6調到B據點。
則兩次的調動後，C據點有位營業員。
【答 案】44
【概念中心】能就題意寫出三階轉移矩陣，並計算矩陣的乘法。
【命題出處】南一版數學第四冊第三章 矩陣
【試題解析】轉移矩陣P＝ ，X0＝，
則X1＝PX0＝ ＝，
X2＝PX1＝ ＝，
故兩次調動後C據點有44位營業員。
H . 有一底面為正方形的四角錐，其展開圖如右圖所示，
其中兩側面的三角形邊長為3，4，5，則此角錐的體積 為。 ( 化為最簡根式 )
【答 案】
【概念中心】能將展開圖合併成四角錐，並利用三垂線定理找出高的位置，進而求出四角錐 的體積。
【命題出處】南一版數學第四冊第一章 空間向量
【試題解析】右圖展開圖組合成一四面體，
且 O1 ， O2 ， O3 ， O4 重合於四面體之O點，
取中點M
∵ ⊥，⊥，⊥
由三垂線定理之推廣可得⊥平面ABCD
∴ 為四面體 O-ABCD之高
＝＝
∴ 四角錐體積＝×42×＝
I . 在空間中，一個斜面的「坡度」定義為斜面與水平面夾角θ的 正切值tanθ。若一金字塔 ( 底部為一正方形，四個斜面為等腰 三角形 ) 的每一個斜面的坡度皆為，如圖。則相鄰斜面的夾 角的餘弦函數的絕對值為。 ( 化為最簡分數 )
【答 案】
【概念中心】能利用二面角的定義及餘弦定理計算兩平面的交角；本題也可坐標化之後，利 用空間中兩法向量的內積求夾角。
【命題出處】南一版數學第四冊第一章 空間向量
【試題解析】設中點為M，且頂點P在ABCD之投影為O，
令＝2，＝5
A B C
＝，
＝＝＝。
由A向作垂線，垂足為E，
連，則∠AEC為相鄰二斜面之夾角
∵ △PAB面積＝×10×＝××
＝10。
在△AEC中，由餘弦定理得 cos ∠AEC ＝
＝
＝＝－，
故所求＝| － |＝。
〈另解〉
坐標化，以正方形ABCD中心O為坐標原點，
取中點M，為x軸正向，
取中點N，為y軸正向，為z軸正向，
則A ( 5 , －5 , 0 )，B ( 5 , 5 , 0 )，C (－5 , 5 , 0 )，
P ( 0 , 0 , 2 )
＝( 5 , －5 , －2 )，＝( 5 , 5 , －2 )，
＝(－5 , 5 , －2 )
∵×＝( 20 , 0 , 50 ) // ( 2 , 0 , 5 )
∴ 取平面PAB的法向量＝( 2 , 0 , 5 ) 又×＝( 0 , 20 , 50 ) // ( 0 , 2 , 5 )
∴ 取平面PBC的法向量＝( 0 , 2 , 5 ) 設 與 的夾角為θ，
則 cosθ ＝＝＝。
J . 右圖為汽車迴轉示意圖。汽車迴轉時，將方向 盤轉動到極限，以低速讓汽車進行轉向圓周運 動，汽車轉向時所形成的圓周的半徑就是迴轉 半徑，如圖中的即是。已知在低速前進時，
圖中A處的輪胎行進方向與垂直，B處的 輪胎行進方向與垂直。在圖中，已知軸距
為2.85公尺，方向盤轉到極限時，輪子方
向偏了28度，試問此車的迴轉半徑為
公尺。 ( 小數點後第一位以下四捨五 入，sin 28°0.4695，cos 28°0.8829 )
【答 案】 6.1
【概念中心】能利用銳角三角函數的邊角關係解決生活上汽車迴轉半徑的問題。
【命題出處】南一版數學第三冊第一章 三角
【試題解析】∠CBA＝90°－28°＝62°
∴ ＝cos 62°
＝＝ ＝
＝ 6.0702…
≈ 6.1 ( 公尺 )。
一、考題趨勢：
1. 本份試卷比起前幾年學測而言，雖然難度增加，但由於利用學測成績入學的名額比 例持續增加，甚至指考、學測是否合併的傳聞一直都有，因此這仍是一份可滿足各 方期待、可供鑑別程度的試題。今後，以中等程度命題的趨勢仍是不變，老師們仍 需鼓勵同學們努力地研習數學，要認清沒有甚麼題目一定會考，也沒有哪種題目一 定不會考的，紮紮實實的打好基礎、按部就班的努力復習才是王道。
2. 就99課綱以來的試題而言，筆者依然建議同學們的基本觀念應該多加強 ( 本年度的線
性規劃、指數函數圖形、直線參數式均容易得分 ) ，數據解讀能力還要再提升 ( 串接、並列的新定義、路跑數據的解讀，甚至汽車的迴轉問題等等 ) ，尤其作 圖能力更不可忽視 ( 有些題目畫出圖來答案已呼之欲出了 ) 。而對於 99課綱
結
論
新增的單元，包括條件機率與貝氏定理、獨立事件、數據分析、線性規劃、矩陣等 單元，同學們復習時仍須留意。
3. 以上考題解析及趨勢在本人所編著的「智慧型復習講義」中皆曾提及，並要同學多加留
心注意，「智慧型復習講義」一書每年皆有修訂以更符合現今的考題趨勢，尤其本 書的範例、演練皆留有空格以利於老師上課講解、同學演練，並適時比較觀念差異，
參酌同學的意見刪去較難的題目，讓同學們做起題目來更有信心、更容易進入復習 狀況。期望各位先進可參考並不吝加以選用、指教。
二、結語：
對高三同學而言，今年的數學可能讓身在考場的同學們緊張程度更甚以往！每個人對這
份試題的感受皆不相同，程度好、本想靠數學贏分的同學會有一些期待，但也有些容易 緊張的同學們滿腦子只感受到怎麼計算會這麼複雜，題目這麼長啊！從來，天下間沒有 一份試卷可以滿足每個程度同學的需求；所以，今後同學們仍應秉持著再努力、多計算、
讓觀念更清楚的原則學習數學。
還是那句老話：「堅持到底」的人必將歡喜收割！
