1. 證明:
(1)由「已知條件」或「已確認的性質」推論出結論的過程,稱為證明。
(2)證明的過程常寫成「已知、求證、證明」的格式:
已知:題目給的條件。
求證:題目所要得到的結論。
證明:運用「已知條件」或「已確認的性質」所做的推論過程。
2. 三角形內分比性質:
如右圖,△ABC中,若∠BAC的角平分線與相交於D點,
則:=:。【課外延伸】
3. 偶數與奇數的表示:
(1) 偶數都可以用2k(其中k是整數)來表示。
(2) 奇數都可以用2k+1或2k-1(其中k是整數)來表示。
(1) 如圖,若//,,∠ABC=55°,求∠DEF
=?
(2) 如圖,若L//M,若∠1+∠2+∠3+∠4=
190°,求∠1+∠3=?
解:(1) ∠DEF=90°+55°=145°
(2) ∠1+∠3=∠2+∠4==95°
(1) 如圖,若//,,∠ABC=75°,求∠DEF
=?
(2) 如圖,若L//M,若∠1+∠4=65°,求∠2
+∠3=?
解:(1) ∠DEF=90°-75°=15°
(2) ∠2+∠3=180°+∠1+∠4
∠2+∠3=180°+65°=245°
48 3-1 加強演練
如圖,△ABC中,==13,=24,
,,則+=?
解:連接△ABC面積=△ABD面積+△ACD面積
×24×5=×13×+×13×
+=
如圖,△ABC中,==10,,,若+=,則
△ABC腰上的高=?
解:設△ABC腰上的高=h 連接
△ABC面積=△ABD面積+△ACD面積
×10×h=×10×+×10×
h=+=
如 圖 , △ABC 與 △BDE 均 為 正 三 角 形 , 且
∠AED=140°,則∠ECD=?
解:在△ABE和△CBD中
∵
∴ △ABE △CBD (SAS全等性質)
∠ECD=∠EAB
∠ECD=180°-60°-(140°-60°)
∠ECD=40°
已知:如圖,△ABC為直角三角形,∠ABC= 90°,△ABE、△BCD皆為正三角形。
求證:=。
解:如圖,
連接,在△BCE和△BDE中
∵
∴△BCE △BDE (SAS全等性質) 故=
49 3-1 加強演練
如圖,△ABC為邊長為6的正三角形,D、E兩 點分別在、上,且∠ADE=60°,=2,則=?
解:∵
∴△ABD~△DCE (AA相似性質) 故6:4=2:,=
如圖,四邊形ABCD為矩形,E、F兩點分別在
、,且∠AEF=90°,=4、=8、=2,<,則
=?
解:∵
∴△ABE~△ECF (AA相似性質) 設=x,則4:(8-x)=x:2 8x-x2=8,x2-8x+8=0 x===4±2
∵<,∴=4-2
已知:a、b皆為正整數,且a=2b。
求證:a2+b2是5的倍數。
證明:a2+b2=4b2+b2=5b2 故a2+b2是5的倍數
已知:a、b皆為正整數,且b=a-3。
求證:a2-b2是3的倍數。
證明:a2-b2=(a+b)(a-b)
a2-b2=(a+a-3)(a-a+3)=3(2a-3) 故a2-b2是3的倍數
如圖,△ABC為直角三角形,∠B=90°,=
7,=25,且平分∠BAC,則=?
解:==24
∵平分∠BAC
∴:=:=7:25 故=×24=×24=
如圖,平分∠BAC,:=5:3,且=2x+1,=
3x+2,則x=?
解:∵平分∠BAC
∴:=:
5:3=(2x+1):[(3x+2)-(2x+1)]
6x+3=5x+5 x=2
3-1 加強演練 50
一、選擇題:(每題8分,共40分)
( D ) 1. 如圖,,,且=,=,若要
證明△ADF △CBE,則須利用何種全等性質?
(A) SSS (B) SAS
(C) AAS (D) RHS
( B ) 2. 有三張紙牌,紙牌上分別標示著4、5、6,若將3張紙牌以任意方式排列,可得到6個不同 的三位數,則這6個三位數中有幾個是4的倍數?
(A) 1 (B) 2
(C) 3 (D) 4
( C ) 3. 如圖,L//M,四邊形ABCD為平行四邊形,∠1=30°,則∠2=?
(A) 10° (B) 20°
(C) 30° (D) 40°
( A ) 4. 如圖,梯形ABCD中,為梯形兩腰中點的連線段,=7,=3,
則=?【課外延伸】
(A) 4 (B) 6
(C) 8 (D) 10
( B ) 5.若k是正整數,則(2k-3)2-4k2必是多少的倍數?
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6
二、填充題:(每格8分,共40分)
1. 如圖,△ABC中,、分別平分∠ABC與∠ACB,且//,
則:
(1) 若=10,則+=。
(2) 若=8,=10,=15,則△ADE周長為。
2. 如圖,△ABC中,垂直平分,若=48公分,=25公分,
=5公分,則:
(1) =公分。
(2) △ABC面積為平方公分。
3. 如圖,正方形ABCD的兩對角線、交於O點,若∠EOF=90°, 且=10,則四邊形OEDF面積為平方單位。
三、計算題:(共20分)
1. 如圖,矩形ABCD中,沿著摺疊,使得與重合,若∠ABE=34°,則∠EFG=?
解:∵△ABE △GBF,∴=,△BEF是等腰三角形 ∠EBF=90°-34°=56°,∠BFE=(180°-56°)=62°
∠EFG=∠EFC=180°-62°=118°
51 3-1 加強演練
一、選擇題:(每題5分,共20分)
( C ) 1.在△ABC和△DEF中,若=,=,且 B=E,則此兩三角形的關係為下列何者?
(A) 全等 (B) 不全等
(C) 不一定全等 (D) 條件不足,無法判斷
( D ) 2.如右圖,若L // M,則△AOB和下列哪個三角形相似?
(A) △BOC (B) △DOE (C) △DOF (D) △FOE
( D ) 3.如右圖,ABCD為正方形,若=,則下列推論何者錯誤?
(A) △ADF△DCE (B) △ADF~△DGF (C) △AGD~△DGF (D) △AGE~△DGF
( C ) 4.如右圖,四邊形ABCD是正方形,△BCE是正三角形,則AED=?
(A) 75°
(B) 140°
(C) 150°
(D) 160°
二、填充題:(每格6分,共54分)
1. 如右圖,⊥L,⊥L,BAC=90°,=,若=3,
=4,則=,=,=。
2. 菱形兩條對角線長的比為3:4,且其面積為24平方公分,則菱形的周長 為公分。
3. 如下圖(一),平分∠ABC,=,>,∠BAD=112°,則∠C=度。
4. 如下圖(二),等腰△ABC中,==12,平分∠ABC,且//,若=5,則△ADE的周長為。
5. 如下圖(三),、分別平分∠ABC與∠ACD,若∠A=70°,則∠E=度。
6. 如下圖(四),正方形ABCD與正方形CEFG中,若∠1=35°,∠2=25°,則∠3=、∠4=。
圖(一) 圖(二) 圖(三) 圖(四)
3-1 實力評量 52
三、計算題:(共26分)
1. 如右圖,△ABC為正三角形,且==,求證△DEF為正三角形。(9分) 解:∵△ABC為正三角形
∴==,且A=B=C=60°……
又==……
∴-=-=-
∴==……
由、、知△ADF△BED△CFE (SAS全等性質)
∴==
故△DEF為正三角形
2. 已知:=,=。
求證:⊥。(9分) 解:在△ABC和△ADC中
∵=,=,=
∴△ABC△ADC (SSS全等性質) 在△ABE和△ADE中
∵=,1=2,=
∴△ABE△ADE (SAS全等性質) ∠3=∠4 (對應角相等) 又∠3+∠4=180°,∠3=∠4
∴∠3=∠4=90°
故⊥
3. 已知:a是任意一個偶數,b是任意一個奇數。
求證:ab是偶數。(8分)
證明:∵a是偶數,可以假設a=2m (其中m是整數) b是奇數,可以假設b=2n+1 (其中n是整數)
∴ab=(2m)(2n+1)=2(2mn+m) 其中2(2mn+m)是偶數
故ab是偶數
53 3-1 實力評量
3-1 證明與推理
一、選擇題:(每題10分,共30分)
()01. △ABC 中 , = , 平 分 ∠ABC, 平 分 ∠ACB, 則 可 根 據 何 種 全 等 性 質 證 得 △BCE
△CBD?
(A) SSS (B) RHS (C) ASA(D) AAS
()02. 已知直角三角形的三邊長為12、a、b(a、b為正整數),且b為斜邊,則(a+b)必為下列哪
一個數的因數?
(A) 216 (B) 192 (C) 168 (D) 144
()03. 關於奇數、偶數的判別,下列何者正確?
(A) 偶數與奇數的和是偶數 (B) 任意兩個偶數的和是偶數 (C) 任意兩個奇數的和是奇數 (D) 奇數與偶數的積是奇數 二、填充題:(每格10分,共50分)
1. 已知:如右圖,//,且交於E點,=。
求證:=。
證明:在△ACE和△BDE中,
∵
1. ∴△ACE △BDE (全等性質),
故=。
三、綜合題:(每題10分,共20分)
01. 有5、6、7、8、9五個數字,若由其中任選3個數字相乘,共有10種不同的乘積,則這10個數字中
會有幾個奇數?
答:1個
02. 若a是正整數,且a被4除後餘2,則a是偶數還是奇數?為什麼?
答:a是偶數,略
3-1 實力評量 54
1. 外心:
(1)外心是三角形三邊中垂線的交點,同時也是三角形外接圓的圓心。
(2)外心到三角形的三頂點等距離。
2. 內心:
(1)內心為三角形三內角角平分線的交點,同時也是三角形內切圓的圓心。
(2)內心到三角形的三邊等距離。
(3)三角形面積= ×三角形周長×三角形內切圓半徑。
(4)直角三角形中,內切圓半徑= ×(兩股和-斜邊長)。
3. 重心:
(1)重心為三角形三中線的交點。
(2)重心到一頂點的距離等於過該頂點之中線長的 。
(3)三角形的重心與三頂點的連線段將此三角形的面積三等分。
(4)三角形的三中線將此三角形的面積六等分。
4. 多邊形的外接圓與外心:若一個多邊形的每個頂點都剛好在同一個圓上,則此多邊形稱為 此圓的圓內接多邊形,這個圓稱為此多邊形的外接圓,圓心稱為此多邊形的外心。【課外延 伸】
5. 多邊形的內切圓與內心:若一個多邊形的內部有一個圓,且多邊形每邊都與此圓相切,則 此多邊形稱為這個圓的圓外切多邊形,這個圓稱為此多邊形的內切圓,圓心稱為此多邊形 的內心。【課外延伸】
6. 正多邊形都有外心與內心,且外心與內心是同一點。【課外延伸】
7. 正多邊形的對稱軸:【課外延伸】
(1)若一正多邊形邊數是奇數時,其對稱軸是各邊的中垂線,同時也是各內角的角平分線。
(2)若一正多邊形邊數是偶數時,其對稱軸是各邊的中垂線或各內角的角平分線。
如圖,O點為等腰△ABC的外心,=,
垂 直 平 分 , 已 知 =10, =12, 求 :(1) = ? (2) =?
解:(1) ==8 (2) 設=x
x2=62+(8-x)2 16x=100 x=
如圖,O點為等腰△ABC的外心,=,
⊥於 D點 , 已 知 =15, =12, 求 :(1) = ? (2) =?
解:(1) ==9 (2) 設=x
x2=122+(x-9)2 18x=225
x=
如圖,圓O為△ABC的內切圓,為上的高,已 知=14,=10,=12,△ABC面積=24,求圓
如 圖 , △ABC 中 , 已 知 =25, =17, =
26,△ABC面積=204,求△ABC內切圓面積
55 3-2 加強演練
O半徑為何?
解:設圓O的半徑為r 24=×r×36,r=
=?
解:設內切圓的半徑為r 204=,r=6
內切圓的面積=36π
如圖,G點為△ABC的重心,=12,
=15,=9,若延長中線 至K,使=,
連接。則:
(1) =? (2)△ABC面積=?
解:(1) ∵=,=
∠BDK=∠CDG
∴△BDK △CDG(SAS全等) 即==9
又==12,=15
則△BKG為直角三角形,=
(2) △ABC面積=3×△BKG面積
=3×54=162
如圖,G點為直角△ABC兩中線 的交點,∠ACB=90°,=30,=
18,且四邊形BDCG為平行四邊
形,求:
(1) 四邊形BDCG面積=?
(2) G點到的距離=?
解:(1) 四邊形BDCG面積
=2×△BGC面積=2×△ABC面積
=2×××18×24=144 (2) 設G點到的距離=x
△BGC面積=△ABC面積
×18x=×216,x=8
如 圖 , 圓 內 接 五 邊 形 ABCDE中,、的中垂線交於 F點,若=4,=4,=6,則 F點到距離為多少?
解:F點為圓心,===2 則F點到的距離==
如圖,圓內接四邊形ABCD 中,、的中垂線交於E點,
若此圓半徑等於5,=8,則 E點到的距離為多少?
解:E點為圓心
E點到的距離==3
如圖,四邊形ABCD內部有一圓,且四邊形 ABCD每邊都與此圓相切,∠A與∠B的角平 分 線 交 於 E 點 , 若 = 6 , ∠ BAD =
如圖,五邊形ABCDE內部有一內切圓,∠A 與∠B的角平分線交於F 點,若此圓面積為 25π,且=6,則△ABF面積=?
3-2 加強演練 56
60°,∠ABC=120°,則此圓半徑=?
解:△AEB為直角三角形
此圓的半徑等於E到的距離
==
解:F點為內切圓的圓心 半徑=5
故△ABF面積=×6×5
=15
如圖,設一正方形ABCD邊長為4,求此正方 形內切圓及外接圓所圍的環狀區域面積。
解:連接
並作於E點 在△OAE中
∵為正方形ABCD外接圓的半徑 為正方形ABCD內切圓的半徑
∴=×4=2 ==2
故所圍的環狀區域面積=8π-4π=4π
如圖,設一正五邊形ABCDE邊長為6,設此正 五邊形的外接圓半徑為R,內切圓半徑為r,
則R2-r2=?
解:R2-r2=32=9
如圖為一正八邊形,試畫出此正八邊形所有的 對稱軸。
解:
如圖為一正五邊形,試畫出此正五邊形所有的 對稱軸。
解:
57 3-2 加強演練
一、選擇題:(每題8分,共40分)
( C ) 1. 下列關於三角形內心的敘述何者錯誤?
(A) 內心就是三角形三內角角平分線的交點
(B) 等腰三角形的頂角愈小,則其頂點離內心愈遠
(C) 若△ABC的內心為I點,則==
(D) 若三角形的內心與外心在同一直線上,則此三角形必為等腰三角形
( A ) 2. 由尺規作圖得知正三角形的外心、內心、重心均在同一點,則正三角形的外接圓的半徑是
其內切圓半徑的多少倍?
(A) 2 (B) 4
(C) (D)
( D ) 3. 在△ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=110°,O點為外心,則∠AOC=?
(A) 60° (B) 80°
(C) 110° (D) 140°
( B ) 4. 在△ABC中,I點為其內心,且∠A=80°,則∠BIC=?
(A) 140° (B) 130°
(C) 100° (D) 90°
( A ) 5. 直角△ABC中,∠C=90°,G點為重心,若=15,則=?
(A) 5 (B) 7.5
(C) 8 (D) 10
二、填充題:(每格8分,共40分)
1. 如圖,D、E兩點分別為、之中點,若=2x-4,=10-x,
=x-2,則x=;=。
2. G點為正△ABC的重心,、、為中線,若=12,則:
(1) ++=。
(2) △AGE面積=平方單位。
3. △ABC中,∠A=90°,∠B=60°,I點為內心,若△AIC面積為5平方單位,則△BIC面積=
平方單位。
三、計算題:(共20分)
1. 在坐標平面上有A(-2 , 6)、B(-2 ,-2)、C(4 ,-2)三點,若O點為△ABC的外心,求O點的坐 標為何?
解:∵=8、=6、=10 ∴△ABC為直角三角形 O點在的中點上,故O(1 , 2)
3-2 加強演練 58
一、選擇題:(每題4分,共20分)
( A ) 1.右圖是由三條道路圍成的三角形小鎮 ABC,若要在小鎮中建一道
路救援中心,使其到三條道路之距離皆相等,則此救援中心應建在 三角形小鎮的何處?
(A) 內心 (B) 外心 (C) 重心 (D) 不一定
( B ) 2.右圖為一三角形公園,頂點A、B、C為三個出入口,今要在公園內 建造公廁,使其到三個出入口的距離都相等,則公廁應建在三角形 公園的何處?
(A) 內心 (B) 外心 (C) 重心 (D) 不一定
( C ) 3.有一塊均勻的三角形木板,若想要在板上穿一條線,使它水平懸在 空中,則此線應穿在三角木板上的什麼位置?
(A) 內心 (B) 外心 (C) 重心 (D) 不一定
( B ) 4.如右圖,正△ABC的三中線、、交於G點,且其邊長為4公分,則
△AFG的面積為多少?
(A) (B)
(C) 2 (D) 4
( B ) 5.如右圖,直角△ABC中,∠ABC=90°,O點為外心,G點為重心,
若=30公分,則=?
(A) 3公分 (B) 5公分 (C) 10公分 (D) 15公分
二、填充題:(每格5分,共50分)
1. I點為△ABC的內心,(1) 若∠BAC=120°,則∠BIC=度。
(2) 若∠BIC=120°,則∠BAC=度。
2. △ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,I點為內心,則△AIB面積:△BIC面積:△CIA面積=。
3. △ABC為正三角形,O點為外心,若=4,則△ABC之周長為。
4. △ABC中,∠A:∠B:∠C=5:6:7,則外心O會落在△ABC的。
5. 如右圖,D、E兩點分別為、的中點,與相交於F點,若
△BDF的面積是8平方公分,則△ACD的面積為平方公分。
6. 如右圖(一),G點為△ABC的重心,∠ABC=90°,若=8,=6,則△AGB的面積為
。
7. 如右圖(二),正三角形ABC中,平分∠BAC,為 的中垂線,、交於O點,=3,則:
(1) =。
(2) 外接圓與內切圓之面積比為。
(3) △ABC的面積為平方單位。
59 3-2 實力評量
圖(一) 圖(二)
三、計算題:(每題10分,共30分)
1. 如右圖,△ABC中,I 點為內心,⊥,⊥,⊥。
已知△ABC的面積為60平方公分,求:
(1) 若=3公分,則△ABC的周長為多少公分?(5分)
(2) 若5=6,2=3,則△AIB面積:△BIC面積:△CIA面積=?(5分)
解:(1)設△ABC周長為s
△ABC的面積=×3×s 60=×3×s,s=40 (公分) (2) 5=6,:=5:6
2=3,:=2:3
::=5:9:6
則△AIB面積:△BIC面積:△CIA面積=::=5:9:6 2. 如右圖,△ABC中,==15,上的中線=12,
O點為外心,則和分別為多少?
解:∵O為外心,∴==
又△ABD中,∠ADB=90°
∴==9
設=x,則△BDO中,2=2+2 x2=(12-x)2+92 x==
∴=,=-=12-=
3. 如右圖,直角△ABC中,∠C=90°,若=10公分,=8公分,
則△ABC的重心G到三邊距離的和為多少公分?
解:∵∠C=90°,∴==6
∴△ABC面積=×6×8=24 又G點為重心
∴△ABG面積=△BGC面積=△AGC面積=×24=8 故 ××8=8,=2
同理=,=
∴++=2++= (公分)
3-2 實力評量 60
3-2 三角形的外心、內心與重心
一、選擇題:(每題10分,共30分)
()01. 若O點為△ABC的外心,=5x-3,=-2x+11,則=?
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8
()02. 若I點為△ABC的內心,=5,=7,=9,則下列何者的面積最大?
(A) △AIC (B) △AIB (C) △BIC (D) 三者一樣大
()03. △ABC的三中線、、相交於G點,其中=8,=9,=2,則下列何者錯誤?
(A) =12 (B) =6
(C) =3 (D) ++=27
二、填充題:(每格10分,共50分)0
01. 如右圖,△ABC中,、分別為∠BAC、∠ABC的角平分線,
若∠C=52°,則∠APB=度。
2. 若O點為△ABC的外心,∠A=60°,∠C=70°,則∠AOC=度。
03. 若I點為△ABC的內心,∠A=60°,∠C=70°,則∠AIC=度。
4. 如右圖,若G點為△ABC的重心,=,且△AGF的面積為4,
則四邊形AHBG的面積,△ABC的面積=。
三、計算題:(每題10分,共20分)
01. △ABC中,∠A=30°,∠B=90°,若O為外心,且++=24公分,則△ABC的面積為多少平 方公分?
答:32平方公分
02. △ABC中,、、為三中線,且G為重心,=12公分,=20公分,=36公分,則三中線長之和 為多少公分?
答:132公分
61 3-2 實力評量
第 3 章 幾何與證明
一、選擇題:(每題5分,共30分)
()01. 如右圖,四邊形ABCD為正方形,===,
若=5,=10,則四邊形EFGH的面積=?
(A) 50 (B) 100
(C) 125 (D) 150
()02. 若a為奇數,則下列敘述何者正確?
(A) 5a+2為奇數 (B) a+7為奇數 (C) 2a-1為偶數 (D) a2為偶數
()03. 如右圖,△ABC中,∠BAC=90°,⊥,若=3,
=4,=2,則=?
(A) (B)
(C) (D)
()04. 已知△ABC中,∠A=90°,∠B=45°,若=10,則△ABC的外接圓面積為何?
(A) 25π (B) 100π
(C) 25π (D) 100π
()05. 若O點為△ABC的外心,且∠BOC=100°,則∠A=?
(A) 50° (B) 130°
(C) 50°或130° (D) 160°
()06. 在△ABC中,∠A=80°,且I點為△ABC的內心,則∠BIC=?
(A) 120° (B) 130°
(C) 140° (D) 160°
3-2 練習卷 62
二、填充題:(每格5分,共40分)
01. △ABC中,∠C=90°,O為的中點,若=8,則=公分。
02. 如右圖,圓O分別與△ABC的三邊相切於D、E、F三點,若=7,
=8,=9,則++=。
03. 若O點為△ABC的外心,=3x-1,=x+5,則x=,
=。
04. △ABC中,∠A=30°,∠B=90°,若=10,則△ABC的內切圓半徑=。
05. 如右圖,△ABC的三中線、、相交於G點,若=12,
=18,=15,則++=。
06. 若△ABC中,I為△ABC的內心,且∠C=∠B=∠A,則∠BIC= 度。
07. 若△ABC中,O為△ABC的外心,∠A+∠C=73°,則∠AOC=度。
三、綜合題:(每題10分,共30分)
01. 已知:如右圖,△ABC與△BPQ皆為正三角形,P在上。
求證:=。
答:略
02. 如右圖,在四邊形ABCD中,若∠ABC=∠ACD,=16、=12、
=18、=24,則=?
答:27
03. 若一圓O為△ABC之內切圓,P、Q、R分別為切點。若=7公分,=10公分,=15公分,且
=3公分,則△ABC的面積為多少平方公分?
答:48平方公分
63 第3章 練習卷