平面方程式 - 明誠

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗       日期：106.03.17  範 

圍 

2‐1

空間平面方程式 班級  二年____班 姓 名

 

座號   

一、填充題(每題10分)

1. 

已知點^A



^42,5



^{在平面E上的投影點為B}



^{1, 0, 1}



^{﹐求平面E}的方程式為____________﹒ 

 

解答  3x2y6z 3

 

 

解析 

 

^{N BA}



^{3, 2,6}



﹐∴E: 3x2y6z  3 0 6﹐即3x2y6z 3﹒ 

2. 

設A



1, 2,3



﹐B



3, 0,1



為空間二點﹐求AB的垂直平分面方程式為____________﹒ 

 

解答  x   y z 1 0

 

 

解析  AB中點



^{2,1, 2}



^﹐AB







2, 2, 2 =2(1, 1, 1) 



 

﹐取



^{N }



^{1, 1, 1 }



﹐  所求^1



^x2



^{ 1}



^{y  1}



¹



^z2



     ^{0 x y z 1 0}﹒ 

3. 

已知^P



^{2,1, 3}



^{及平面E x: 2y z 3﹐求P到平面E}的距離=____________﹒ 

 

解答  6

 

 

解析 



^,



²₂ ^{2 3 3}_{2 2} ⁶

1 ( 2) 1

d P E   

 

   ﹒ 

4. 

二平面2x3y6z 3 0﹐4x6y12z 1 0的距離為____________﹒ 

 

解答  ¹

2

 

 

解析  E₁: 2x3y6z 3 0﹐ ₂: 2 3 6 ¹ 0

E x y z 2 ﹐∴



1 2



1 7

3 2 2 1

, 4 9 36 7 2

d E E



  

  ﹒ 

5. 

空間中二點A



1, 3, 4



﹐B



2, 2, 1



﹐若AB與平面3x  y z 5交於P﹐則^AP

BP 

____________﹒ 

 

解答  ⁵

2

 

 

解析

   

: 3 5 0

E x   y z ﹐

∵^{E A}

 

^{: 3 3   4 5 0﹐E B}

 

^{: 6   2 1 5 0﹐}

∴A﹐B在平面異側﹐ ¹

2

3 3 4 5 5

6 2 1 5 2

AH AP BP BH

  

  

   ﹒

 

6. 

^A



^{1, 2, 4}



^﹐B



^{3, 4, 2}



^{為空間中對稱於平面axbycz8的兩點﹐則序組}



^{a b c, ,}



^

____________

﹒

 

 

解答 



^{8, 4, 4}

  

 

解析  即求A﹐B的垂直平分面﹐

 

^{N AB }



^{4, 2, 2}



^{ 2 2, 1, 1}



^{ }



﹐又A﹐B中點



^{1,3, 3}



^﹐ 

該平面﹕2x       y z 2 3 3 2  8x 4y4z8﹐∴



^{a b c, ,}

 

^{ 8, 4, 4}



^﹒ 

7. 

兩平面E₁:x  y 1 0﹐E₂: 2x y 2z 2 0﹐則平面E₁與E₂的夾角為____________﹒ 

 

解答  45或135

 

 

解析  _{1 2}

   

1 2

1,1,0 2,1, 2 3 1

cos 2 3 2 3 2

N N

N N

 ^{ } ^{  }  ^  

 

   

^{﹐∴ 45或135﹒} 

8. 

設xky  z 2 0與x 2y  z 1 0之夾角為 3

 ﹐求k的值為____________﹒ 

 

解答   2

 

 

解析 



N1



1, ,1k



_﹐

_{ }

2 1, 2, 1

N  



_，



^{1 2 2}

 ^{ }

^{1 1 2}

cos 2 2 2

3 2 2 2

k k k k

k

            

 ﹒ 

9. 

求與平面x y 3z 1 0平行﹐且與三軸之截距和為

20

的平面方程式為____________﹒ 

 

解答  x y 3z120

 

 

解析  設所求為x y 3z d 0﹐ 

當y z 0得x d﹐當z x 0得y d﹐當x y 0得 3 zd ﹐ 

20 12

3

d d d d

       ﹐故所求為x y 3z120﹒ 

10. 

設三平面E₁:x y az1﹐E₂:bx  y z 4﹐E₃:xcy z 2﹐若E₁E₂且E₁//E₃﹐求a﹐b﹐c 的值為____________﹒ 

 

解答  a1

,

b0

,

c 1

 

 

解析 



N1



1, 1, a



﹐



N2



b,1,1



﹐



N3



1, ,1c



﹐ 

1 2

E E ﹐∴

 

N₁ N₂     0 b 1 a 0_﹐ 

1// 3

E E ﹐∴^{1 1}

1 1

a c

  ﹐解得a1﹐b0﹐c 1﹒ 

11. 設x﹐y﹐z皆為實數﹐已知x2y z 6﹐求



^x6

 

^{2 y3}

 

^{2 z6}



² 的最小值為____________﹒

 

 

解答  2 6

 

 

解析 

Sol

一：由柯西不等式知﹕ 



^{x 6}

 

^{2 y 3}

 

^{2 z 6}



^{2 12}

   

^{2 2 12}



^{x 6 2y 6 z 6}



²

                 

   

 

^



^{x2y z 18}

 

^{2 6 18}



^2﹐ 

∴



⁶

 

^{2 3}

 

^{2 6}



^{2 122 24}

x  y  z  6  ﹐所求最小值 242 6﹒ 

即求點



6, 3, 6 



到平面x2y  z 6 0的距離﹕ ^{6 6 6 6 12} 2 6

1 4 1 6

d   

  

  ﹒ 

12. 若一平面E同時與平面x2y  z 3 0及平面2x   y z 1 0均垂直﹐且過點^P



^{1, 2, 3}



^則其方程

式為_________________ 

 

解答  x3y5z10

 

 

解析  ∵N



E 



^{1, 2, 1}



﹐N



E 



^{2, 1,1}



﹐∴N



E^{// 1, 2, 1}



 

 

^{2, 1,1}

 

  ^{1, 3, 5} 



﹐  又過^P



^{1, 2, 3}



^{﹐∴所求平面﹕x3y5z10﹒} 

13. 

如圖﹐一長方體ABCDEFGH﹐AB1﹐AD2﹐AE3﹐求A點至△BDE所在 平面的距離____﹒ 

 

解答  ⁶

7

 

 

解析

   

建立坐標系﹕則^A



^2,1,3



^﹐B



^{2, 0,3}



^﹐D



^0,1,3



^﹐E



^{2,1, 0}



^﹐



^2,1,0

 

^{0,1, 3}

 

^{3,6, 2}



N BD BE      

  

﹐

平面方程式﹕3x6y2z120﹐∴ 6 6 6 12 6 9 36 4 7 d   

 

  ﹒

  14. 

設A



1, 0,1



﹐B



2, 2,3



﹐則AB在平面E: 2x y 2z 1 0的正射影之長為____________﹒ 

 

解答  ⁶⁵

3

 

 

解析

   

(1)A代入E: 2 0 2 1    1﹐ B代入E: 4 2 6 1    5﹐ ∴A﹐B在平面E同側 ﹒

(2)



,



¹

d A E 3﹐



,



⁵

d B E 3﹐AB 1²2²2² 3﹐ ∴

2

2 4 65 65

3 3 9 3

A B       

  ﹒

  15. 

已知^A



^{2, 4, 1}



^﹐B



^{5, 4,5}



^﹐C



^{3, 6, 6}



^﹐D



^{1, 2,1}



^﹐求： 

(1)

AB BC

 

 

____________﹔ 

(2)△

BCD所在的平面E的方程式____________﹔ 

(3)△

ABC所在的平面F﹐設平面E與平面F的二面角為﹐求sin 

____________﹒ 

 

解答 

(1)0;(2)

x2y2z3

;(3)

⁵ 5

 

 

解析 

(1)

^{AB BC}

 

^{ }



^3,0,6

 

^{ 2, 2,1}



^{    6 0 6 0}

﹒ 

(2)

BC BD

 

  



2,2,1

 

      4, 2, 4

 

6, 12,12



 6 1,2, 2







     

N



E 



^{1, 2, 2}



﹐過



^{1, 2,1}



^{﹐∴E x: 2y2z3﹒} 

(3)

AB AC

 

 



3,0,6

 

 1,2,7

 

 12, 15,6



 3 4,5, 2







 

    

4,5, 2



cos ^{18 2}

9 45 5

E F

F

E F

N N

N

N N

 ^





    

   

    ^{﹐   ∴sin 1}₅ ^ ₅^5﹒ 

16. 

求與x  y z 1平行﹐且與



^{3, 5,1}



^﹐



^1,3,7



等距離的平面方程式為____________﹒ 

 

解答  x   y z 4 0

 

 

解析  設所求為x   y z k 0﹐ ^{3 5 1 1 3 7}

3 3

k k

d       

  ﹐ 

∴^k       ^{1 k 9 k 1}



^{k 9}



﹐(兩點於所求平面異側即異號區) 

∴k 4﹐所求為x   y z 4 0﹒ 

17. 

空間中一點^A



^{3, 1, 2}



^{﹐則過A點之平面與A}所在卦限的三坐標平面圍成四面體體積最小值為__ 

 

解答 

27 

 

解析  設 :x y z 1

E a  b c ﹐



^{3, 1, 2}



^{代入 3 1 2 1}

a b c

    ﹐b0

   

   

∵ ¹

V_四面體6 abc ﹐又 ^{3 3}

3 1 2

3 1 2 1 6

3 3

a b c

a b c abc

        ﹐ 

   

∴ ^{1 6 1} 27

27 6 abc

abc

    ﹒ 

18. 

平面E: 2x3y6z7﹐平面F: 3x6y2z5﹐求平面E與平面F所夾鈍角之角平分面方程式 為__________﹒ 

 

解答  5x3y4z120

 

 

解析 

(1)角平分面﹕

^{2 3 6 7 3 6 2 5}

4 9 36 9 36 4

x y z   x y z

   

 

   

E1:x9y8z 2 0﹐E₂: 5x3y4z120﹒ 

(2)在

E上任取一點^A



^{2, 1, 0}



^﹐ 



, ₁



^{2 9 0 2 5}

1 81 64 146

d A E   

 

  ﹐ 



, ₂



^{10 3 0 12 5}

25 9 16 50

d A E   

 

  ﹐ 

5

50 5

146，∴E₂: 5x3y4z120為鈍角平分面方程式﹒ 

19. 

△ABC中﹐A



4, 0,0



﹐B



0, 4,0



﹐C



0,0, 4



﹐M 為BC中點﹐今將C點沿AM對折至C點使 BC 2 2﹐則C點坐標為____________（有兩解）﹒ 



^{ }

 

^{  }



 

解析

   

平面 : 1 4

4 4 4

x y z

ABC       x y z ﹐

又對折後△C MB 為正三角形（邊長為2 2）﹐

∴C H 垂直x  y z 4﹐ 設^{C x y z}



^{, ,}

 

^{ 0t,3t,1t}



^﹐

∵^{C B  t2 }



^{t 1}

 

^{2 t 1}



^{2 2 23t2   6 t 2}﹐

∴所求為



^{2,3 2,1 2}



^或



^{ 2,3 2,1 2}



^﹒

  20. 

平面E包含平面3x   y z 1 0與平面x  y z 2的交線﹐且垂直於平面2x  y z 0﹐則平面E

的方程式為____________﹒ 

 

解答  x y 3z 5 0

 

 

解析  設^{E: 3}



^{x   y z 1}

 

^{k x  y z 2}



^0﹐ 

∵與2x  y z 0垂直﹐∴



^{3k,1  k, 1 k}

 

^{ 2, 1,1}



^{  0 6 2k    1 k 1 k 0﹐} 

∴k 2代回﹐∴E x:  y 3z 5 0﹒ 

21. 

平面E過



^{2,1, 4}



在第一卦限與三坐標軸正向交於A﹐B﹐C三點﹐則 

(1)

2OAOBOC的最小值為____________﹐(2)此時平面E的方程式為____________﹒ 

 

解答 

(1)25;(2)

2x2y z 10

 

 

解析 

(1)設

^{A a}



^{,0, 0}



^﹐B



^{0, , 0b}



^﹐C



^{0, 0,c}



^{﹐a b c, , 0}

 

   

∴ :x y z 1

E a  b c 又過點



^{2,1, 4}



^{﹐∴2 1 4 1}

a  b c ﹒ 

   

2OAOBOC2a b c

 

2 1 4

2

a b c

a b c

 

   

∵^_ ²_a ^{ 2a} _b^{1 b 4}_c ^{ c}_^2_^_ ²_a^_^2_ ¹_b^_^2_ ⁴_c^{ }_{ }^2_

     

^{2a 2 b 2 c 2}_

        

﹐ 

        

^{2 1 2}



^{2 2 1 4}



^{2a b c}



a b c

 

       

     

∴^1



^{2a  b c}



^{25﹐∴最小值為}

^25﹒ 

(2)此時﹕

1 2

2

1 1 2

2

a b c

a b c

a  b  c    ﹐設at﹐bt﹐c2t代入2a  b c 25 t 5﹐ 

   

∴a5﹐b5﹐c10﹐故 : 1 2 2 10

5 5 10 x y z

E     x y z ﹒ 

22. 

空間中﹐已知平面E通過



^{3, 0, 0}



^﹐



^{0, 4,0}



^{及正z軸上一點}



^{0, 0,a}



^{﹐若平面E與xy平面的夾角成}

45﹐則a

____________﹒ 

 

解答  ¹²

5

 

 

解析  設所求E之方程式為 1 3 4

x y z

  a ﹐a0﹐

   

^{4a x 3a y12z12a0﹐} 

法向量



N1



4 ,3 ,12a a



﹐取xy平面之法向量為N



2



0,0,1



﹐ ^{1 2}

2

1 2

cos 45 12

25 144

  

  



   

^{N N} _a

N N

﹐

 

2

2

2 144 12

2 25 144 a 5

a

 

   

 

  

  （取正）﹐∴ ¹²

a 5 ﹒ 

23. 

二平面E₁: 3x   y z 1 0﹐E₂:x  y z 0之交線L﹐求﹕ 

(1)由點

^A



^{1, 2,3}



^{與L所決定之平面E}方程式為____________﹔ 

(2)包含

L且與平面E₃: 2x y 3z 1 0垂直的平面F之方程式為____________﹒ 

 

解答 

(1)

5x y 3z 2 0

;(2) 

5x y 3z 2 0

 

 

解析 

(1)設

^{E: 3}



^{x   y z 1}

 

^{k x y z}



^0﹐



^{1, 2,3}



^代入



^{3 2 3 1}

 

^{1 2 3}



^{0 1}

k k 2

          ﹐

 

   

∴ ^{: 3}



¹



¹

 

^{0 5 3 2 0}

E x   y z 2 x y z   x y z  ﹒ 

(2)設

^{F: 3}



^{x   y z 1}

 

^{k x y z}



^0﹐



^{3k x}

 

^{ 1 k y}

 

^{  1 k z}



^{ 1 0﹐} 

    

^{N  }



^{3 k,1  k, 1 k}



﹐N



E₃ 



^{2, 1,3}



﹐ 

     

N NE₃  ^{0 2 3}



k

  

 ^{1 1}k

 

  ^{3 1} k



⁰

﹐ ¹ k 2﹐ 

   

∴ ^{: 3}



¹



¹

 

^{0 5 3 2 0}

F x    y z  2 x y z   x y z 

  ﹒ 

24. 試求包含x軸﹐且過



^{1, 1, 2}



之平面方程式為____________﹒ 

 

解答  2y z 0

 

 

解析  x軸可視為xy平面z0與xz平面y0之交線﹐∴所求為ykz0﹐ 



^{1, 1, 2}



^{代入得 1 2 0 1}

k k 2

     ﹐所求為2y z 0﹒ 

25. 

在空間中﹐E為過^A



^{2,1, 1}



^﹐B



^{1, 2, 1}



^﹐C



^1,1,3



^{之平面﹐E為過P}



^{1, 0,1}



^﹐Q



^{0, 2,1}



^且與E垂

直之平面﹐求E之方程式為____________﹒ 

 

解答  2x y 4z 2 0

 

 

解析  ^AB



^{ }



^1,1,0



_﹐

_{ }

1,0, 4 AC



  _﹐

( 1, 2, 0) PQ



  

     

所求平面之法向量同時與平面E法向量N



_E

及PQ



垂直 



^{4, 4,1}



AB AC 

 

﹐取N



E 



^{4, 4,1}



﹐  N

 

EPQ



^{2, 1, 4} 



﹐取N



E_



^{2, 1, 4} 



﹐