104.11.11 範圍2-3 多項方程式班級一年____班姓名座 - 明誠

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗       日期：104.11.11  範 

圍  2‐3多項方程式  班級  一年____班 姓 名

  座號   

一、填充題(每題10分)

1. 方程式

2

6 3

1 1 1

x x 

  之解為________.

答案： 4

解析： 同乘x²1得6 3( x 1) x²1

2 3 4 0

x x

    (x 4)(x 1) 0

   

4,1

  x (1不合) ∴x 4 2. 方程式x⁴  1 0之解為________.

答案：  1, i 解析： x⁴ 1 0

2 2

(x 1)(x 1) 0

   

2 2

(x 1)(x 1)(x i ) 0

    

(x 1)(x 1)(x i x i)( ) 0

     

1,

x i

   

3. 若 f x( )x²⁰2x¹²，則 f x( )除以[x (1 i)]之餘式為________.

答案： 1152 解析： r f(1i)

20 12

(1 i) 2(1 i)

   

2 10 2 6

(1 2i i ) 2(1 2i i )

     

10 6

(1 2i 1) 2(1 2i 1)

     

10 6

( 2 )i 2( 2 )i

   

4 2 2 4 2

1024 ( )i i 128 i i

      1024 128

    1152

4. 設a, b為整數，若多項式 f x( )x³ax²bx7有三個相異的一次因式，則a b ______.

答案： 6

解析： (x1), (x7)可能為 f x( )之一次有理因式 ( ) ( 1)( 1)( 7)

f x  x x x (x2 1)(x 7)

  

3 2

7 7

x x x

   

∴a7, 1b    a b 6 5. 方程式x²  3 4i之解為________.

答案： 2i或 2 i

解析： 設x a bi，a, b為實數 x² (a bi )² a² 2abib i^{2 2} (a²b²)2abi  3 4i

∴

2 2

3

2 4

a b

ab

  

  

 ，以b ²

a

  代入得

2 2 2

( ) 3

a a

   a⁴3a² 4 0(a²4)(a²  1) 0a² 4,1 (1不合)

∴a 2, 2  b 1,1  x 2 i或 2 i

6. 設三次方程式x³10x²37x520有兩複數根a2 ,i 3bi，其中a, b為非零實數，則此方程 式之實根為________.

答案： 4

解析： ∵實係數方程式虛根成對 ∴a3,b2 [x (3 2 )][i x (3 2 )]i x²6x13

1 4 1 6 13 1 10 37 52

1 6 13 4 24 52 4 24 52 0

    

 

  

  

3 2 2

10 37 52 ( 6 13)( 4) 0

x  x  x  x  x x  ∴x4

7. 設 f x( )x⁴x³kx²2kx3，k為大於5的整數，且 f x( )有整係數一次因式，則k___.

答案： 3

解析： (x1), (x3)可能為上式之一次有理因式

(1) 1 1 2 3 0 3

f    k k    k ( 1) 1 1 2 3 0 1 f     k k   k 3

(3) 81 27 9 6 3 0 17

f    k k    k

( 3) 81 27 9 6 3 0 7

f     k k    k

∵k  5，k為整數 ∴k 3

8. 設x, y為實數，若( 3 2 )(  i xyi)(2y6 )xi   3 5i，則x______, y_______.

答案： 1, 3

解析： ( 3 2 )(  i xyi)(2y6 )xi   3 5i    3x ( 3y4 )x i  3 5i ∴x1,y 3 9. 設 f x( )為一實係數多項式，若 f(2  i) 4i 7，則 f(2 i) ______.

答案： 7 4i 

解析： ∵ f(2  i) 4i 7，∴ f(2 i) f(2     i) 4i 7 7 4i 10. 方程式2x⁴x³2x² 6x 5 0有一根^{1 5}

2

 ，則此方程式之所有的根為_____________.

答案： ^{1 5}, ^{1 39}

2 4

   i

解析： 設 ^{1 5}

x 2 ，則x²   x 1 0

4 3 2 2 2

2x x 2x 6x 5 (x  x 1)(2x  x 5) ∴方程式的根為^{1 5}, ^{1 39}

2 4

   i

11. 若k為實數，方程式 f x( )x³x²4x k 0有純虛數的根，則k ____，另一實根為___.

答案： 4, 1 解析： ∵k為實數

設i,i, 為其根， , 為實數 (i) ( i)    1  1

(1) 1 1 4 0

f     k   k 4

12. 若與為二次方程式x²3x 1 0之根，則 (1)(  )² _______. (2) 

 ^{ }_______. (3)³³ _______. (4)⁵⁵ ________.

答案： (1)5 (2)7 (3)18 (4)123 解析：   3,  1

(1)(  )² (  )²4   9 4 5 (2)

2 2 2

( ) 2 9 2

1 7

      

   

   

    

(3)³³ (  )³3  (  ) 33 3 1 3 18

    

(4)⁵⁵ (² ²)( ³²) (  ^{2 3} ^{3 2})   7 18    ^{2 2}(  )126 3 123  13. 若 , 為x² 7x 9 0之二根，試求下列各值：

(1)(³7 ²)( ³7²)________. (2)(   )² ________.

答案： 729, 13 解析： 7

9

 



  

 



∵ 0,  0，∴ 0,  0 (1)∵x²7x 9 x³7x²  9x

即³7²  9 , ³7²  9所求 ( 9 )( 9 )   81 729 (2)(   )²   2   

( ) 2 

   7 2 9

    13

14. 若  , , 為x³3x²4x 1 0之三個根，則 (1)1 1 1

  ^{  }________. (2)(      )(  )(  )________.

(3)²²² ________. (4)³³³ ________.

答案： (1)4 (2)11 (3)1 (4)6 解析：

3 4 1

  

  



   

   

  



(1)1 1 1 4

1 4

  

   

 

     



(2)(      )(  )(  )  ( 3 )( 3 )( 3 )

27 (  ) 9 (  ) 3 

           27 ( 3) 9 4 3 ( 1)

        

 11

(3)²² ² (    )²2(    )  ( 3)² 2 4 9 81 (4)³³³3 (     )( ² ²²    )

3 3 3

3 ( 3)(1 4)

  

           3 9 6

15. 若a, b為有理數，且2 3為 f x( )x⁴ax³4x²bx 3 0之一根，則數對( , )a b _____，

( ) 0

f x  的其他三個根為_______________.

答案： ( 2, 10),  2 3, 1 2i

解析： 由有理係數方程式無理根成對知，另一根為x 2 3

∴[x (2 3)][x (2 3)]0x²4x 1 0 1 4 1 1 4 3

1 4 1 ( 4) 5

( 4) 4( 4) ( 4)

a b

a b

a a a

     

 

  

    

1 ( 4) 3

(4 11) ( 4) 3

3 12 3 (4 8) ( 8) 0

a

a a b

a a b

  

     

 

     

∴ 4 8 0 2

8 0 10

a a

a b b

   

 

      

  ( , )a b (2, 10)

2 2

( ) ( 4 1)( 2 3) 0

f x  x  x x  x    x 2 3, 2 4 12 2

  

2 3, 1 2

x i

    

16. 設a, b為實數，且 f x( )x⁴x³ax²7x b 0有一根為1 2i ，則數對( , )a b ________，另 外三根為________.

答案： (2, 5), 1 2 , i 1 5 2

 

解析： 由虛根成對我們知1 2i 亦為其根 [x (1 2 )][i x (1 2 )]i x22x5

1 1 1 1 2 5 1 1 7

1 2 5 1 ( 5) 7

1 2 5 ( 3) 2 1 2 5 0

a b

a

a b

      

 

  

 

  

  

3 1 2

5

a a

b

    

  

 ，∴( , )a b (2, 5)

2 2

( ) ( 2 5)( 1) 0

f x  x  x x   x   x 1 2i, ^{1 5} 2

  17. 若 f x( )x⁴x³2x² 40x55，則 f(1 3 ) i ________.

答案： 3 6i

解析： 令x 1 3i   x 1 3i x²2x 1 9i²  9 x²2x100 1 3 6

1 2 10 1 1 2 40 55 1 2 10

3 12 40 3 6 30 6 10 55 6 12 60

      

 

 

 

  

  

 

2 2

( ) ( 2 10)( 3 6) 2 5

f x  x  x x  x  x  f(1 3 ) i  0 2(1 3 ) 5 i   3 6i 18. 設y為實數，若z 2 yi且¹

z 之虛部為¹

5，則z______.

答案： z 2 i或2 4i 答案： 1 1 2 ₂

2 4

yi

z yi y

  

 

∴ ₂ 1 ²

5 4 0 ( 1)( 4) 0

4 5

y y y y y

y

         

 ^{  y 1}或4

∴z 2 i或2 4i

19. 設z為複數，若z (1 i)²⁶ (1 i)²⁰，則z_________.

答案： ¹ 8i

解析： (1i)² 2 , (1i i)²  2 , (2 )i z i ¹³ ( 2 )i ¹⁰ _{3 3}¹ z 2

 i ， ¹ z8i

∴

20. 設a, b為實數，且a  b 10, 21ab ，則 a b __________.

答案： ( 7 3)i

解析： a  b 10, 21ab  a 0, b0

( a b)2   a b 2 a b   a b 2 ab   10 2 21  a b ( 7 3)i

21. 設a為實數，若方程式x³3x²ax 9 0有純虛根，則a______, 又此虛根為何_______.

答案： 3,  3i

解析： x³3x²ax 9 0有純虛根i ()

3 2

(i) 3(i) a(i) 9 0

∴  ( 3²  9) i( ³a)0

32 9 0  3

     

∴

3 a 0

 

   ，∴a² 3 此虛根為 3i

22. 若(2i)為x² (5 2 )i x a 0 之一根，則a= _______，又另一根為________.

答案：  11 13 , 7 3i   i

解析： (2i)²  (5 2 )(2i   i) a 0

(4 4 1) (10 2 4 5 ) 11 13 a    i   i i    i

∴

另一根為，    5 2i，∴   7 3i

23. 試求方程式2x⁴x³21x²2x 6 0的四根為______________.

答案： 3,¹

x 2或 2 2 解析：

2 1 21 2 6 3 6 21 0 6 2 7 0 2 0 1 1 4 2 2 2 2 8 4 0 1 4 2

   

  

   

 

  

 

原式(x3)(2x1)(x² 4x2)0 ∴ 3,¹

x 2或 2 2

24. 設k為整數，若 f x( )x⁴2x³kx²3kx3為整係數多項式，若已知 f x( )有整係數之一次因 式，則k________或________.

答案： 0, 1

解析： ∵ f x( )有整係數一次因式，則必為(x1), (x3)

(1) 2 0 0

f   k  k

∴

( 1) 4 4 0 1

f   k   k

(3) 132 0, ( 3) 18 24 0 4( )

f   f   k    k 3 不合 ∴k 0或1

25. 設 f x( )2ax² (2 5 )a ，a為非零實數，若方程式 f x( )0有一根在2與1之間，則a的範 圍為_________或_________.

答案： ^{2 2}

3 3

a 或 a 

解析： ∵ f( 2) ( 1) f  0，∴(3a2)( 2 3 )  a 0 ∴ ^{2 2}

3 3

a 或a 