95.09.25 班級普三班範圍Book1 Chap 4 多項式座號姓名 ... - 明誠

高雄市明誠中學 高三數學複習測驗 日期：95.09.25 班級 普三 班

範 圍

Book1 Chap 4

多項式 座號

姓 名 一、選擇題 (每題 5 分)

1、( B ) 設 f x( )=6x³+ax²+bx+3則下列何者一定不是 f x( )=0之根？

(A)−3 (B) ²

−3 (C)¹

6 (D)¹ 3 (E)³

2

解析：由牛頓定理知，若有有理根，則必為 1, 3, ¹, ³, , ¹

2 2 3

1

± ± ± ± ± ±6故(B)不發生 2、( B ) 設 f x( )=ax²+bx c+ , g x( )=4x²−3x+2，若 f(30)=g(32), ,

則 (A) (B) (C)

(305) (307)

f =g

( 39) ( 37)

f − =g − a>4 b>4 b<10 (D)c<10 (E) f( 1)− <0 解析：∵degg x( )=2且 f(30)=g(32), f(305)=g(307)

2 2

( 39) ( 37) ( ) ( 2) 4( 2) 3( 2) 2 4 13 1

f − = −g ⇒ f x =g x+ = x+ − x+ + = x + x+ 2

∴比較係數 a=4, b=13, c=12, f( 1)− =3

3、( D ) 已知二多項式x³+ax²+2x+4與2x³+x²+a x² +2有一個二次的公因式，則 (A)a≤0 (B) a∈{8, 9} (C) a∈{4, 5, 6, 7} (D) a∈{2, 3, 6, 7} (E)a ∈{1, 3, 5, 7, 9}

解析：d(x)為二次公因式，(用去頭去尾)

3 2 3 2 2 2 2

( ) 2( 2 4) (2 2) ( ) (2 1) (4 ) 6

d x x ax x x x a x d x a x a x

⇒ + + + − + + + ⇒ − + − +

3 2 3 2 2 2 2

( ) ( 2 4) 2(2 2) ( ) 3 [ (2 ) (2 2)]

d x x ax x x x a x d x x x a x a

⇒ + + + − + + + ⇒ + − + −

但d(x)不含x因式x，

2 2

2 1 4 6

2

3 2 2 2

a a

a a a

− = − = =

− −

∴ ∴

4、( C ) 設一元二次整係數方程式ax²+bx+ =c 0有一根為4 3i+ 。若將此方程式的兩根與 原點在複數平面上標出，則此三點所圍成的三角形面積為

(A)5 (B)6 (C)12 (D)16 (E)24

解析：¬∵a , b, c為實係數，⇒4 3i− 亦為ax²+bx+ =c 0之ㄧ根

−

O

) 3 , 4 ( A

) 3 , 4 ( − B )

0 , 0 (

M

1 2 1 6 4

2 12

AB OM

= × ×

= × ×

=

面積

故應選(C)。

5、( D ) 設 f x( )=0為含有1, 1− + 3與2−i的最低實係數方程式則以下何者恆成立？

(A)deg ( )f x =5 (B) f( 1)− =0 (C) f( 1− − 3)=0 (D) f(2+ =i) 0 (E) 之所 有根之和為3

( ) 0 f x = 解析：∵欲求最低實係數方程式，∴此方程式必有1, 1− + 3, 2−i, 2+i四根

∴deg f x( )=4, (2f + =i) 0所有根之和4+ 3

6、( B ) 設m∈\，若二次函數y=mx²+10x+ +m 6的圖形在直線y=2的上方，則m的範 圍為何？ (A)m>0 (B)m> − +2 29 (C) 0< < − +m 2 29

(D) 2− − 29< < − +m 2 29 (E)m> − +2 29或m< − −2 29 解析：∵y=mx²+10x+(m+6)的圖形恆在y=2的上方

∴mx²+10x+(m+6)>2，故mx²+10x+(m+4)> ∀ ∈0, x \

∴ ⁰ ₂ ⁰

10 4 ( 4) 0 2 29 2 2

m m

D m m m m

> ⎧ >

⎧ ⇒⎪

= − + < ⎪ > − + < − − 9

⎩ ⎩

或

⎨ ⎨

∴m> − +2 29

故答案為(B)。

7、( B ) 若二次函數y=ax²+bx+c的圖形如下，則下列那一項確定為 正？ (A)a (B)b (C)c (D)b²−4ac (E)100a+10b+c

解析：由圖知 0 0 0 0 2

a c b b (左同右異)，

< < − a >

∴

>

2 4 0 100 10 0 ( 10 100 10 )

b − ac< a+ b+ <c x= ⇒ =y a+ b+c

8、( C ) 針對二次函數 的極值討論，以下何者正確？

(A)y有最大值11 (B)y有最小值1 (C)

3 2 12 1 y= x − x+ 1

1

0≤ ≤x 時，y有最大值11 (D)0≤ ≤1x 時，y有最小值−1 (E) 1− ≤ ≤x 3時，y有最大值2

解析：y=3(x−2)²−1，∴min為 −1

當0 時，y的max為11，min為2 當− ≤ 時，y的max為26，min為

1

≤3

≤ ≤x

1 x −1

9、( D ) 解不等式(x−1)(x−2) (² x−3)³≥0之解為 (A)x≥3 或 2≥x≥1 (B)x≥3 1或x≤ (C)1≤ ≤x 3 (D)x≥3 2 1或 x= 或 x≤ (E) 3≥ ≥x 2 或 x≤1

解析：(x−1)(x−2) (² x−3)³ ≥0⇒(x−1)(x− ≥3) 0且x=2⇒ ≥x 3 或x=2或x≤1 10、( C ) 設α β γ, , 為x³+x²−4x+ =5 0的三根，則以下何者錯誤？ (A)α β γ+ + = −1

(B)αβ βγ γα+ + = −4 (C)αβγ =5 (D)α²+β²+γ² =9 (E)α³+β³+γ³ = −28 解析：由根與係數知 α β γ+ + = −1, 4, αβ βγ γα+ + = − αβγ = −5

∴α²+β²+γ² =(α β γ+ + )²−2(αβ βγ γα+ + )=9

3 3 3 2 2 2 )

3 ( )(

α +β +γ − αβγ = α β γ α+ + +β +γ −αβ βγ γα− − ，∴α³+β³+γ³= −28 11、( B ) 若x⁴+ax²+bx+c除以(x+1)(x+2)(x−3)的餘式為x²− +x 5，求 ？

(A)8 (B)−8 (C)4 (D)−4 (E)0

a b c+ + =

解析： 設x⁴+ax²+bx+c=(x+1)(x+2)(x−3) ( )q x +x²− +x 5

∵⎨ ⎨ ，∴

( 1) 1 7 6

( 2) 16 4 2 11 7

(3) 81 9 3 11 5

f a b c a

f a b c b

f a b c c

− = + − + = = −

⎧ ⎧

⎪ − = + − + = ⇒⎪ = −

⎪ = + + + = ⎪ =

⎩ ⎩

6 7 5 8

a b c+ + = − − + = − 。

12、( D ) 設多項式 f x( )，以ax b− 除之商為q x( ) (a≠0)，餘式為r( r為常數)，則以x ^b

−a除 以xf x( )之餘式為 (A)r (B)rx (C)^ar

b (D)^br

a (E)br 解析： f x( )=(ax b q x− ) ( )+r

( ) ( ) ( )

xf x =x ax b q x− +rx ^{(x b)}

[

^{axq x( ) r}

]

^b

a a

= − + + r

13、( A ) 對於任意實數x，

2 2

2 3

2 3 1 x kx k

x x

+ + >

+ + 恆成立，則k之值不可以為下列何數？

(A)15 (B)12 (C)9 (D)6 (E)3

解析：∵x²+2x+ >3 0 恆成立 (D= − × = − <4 4 3 8 0)

2 2

2x +kx+3k >x +2x+3

∴ 恆成立

2 ( 2) (3 3) 0

x + −k x+ k− >

∴ 恆成立

2 2

( 2) 4 3 ( 1) 0 16 16

D= k− − × × − < ⇒k k − k+ <

∴ 0

8 4 3− < < +k 8 4 3

∴

k=15 (

不合

)

14、( C ) 在xy平面上，畫出^y=mx+b，與y=ax²+mx b+ 的圖形，下面那一個選項可能發

生，(a≠0)？ (A) (B) (C)

(D) (E)

解析：

∵

y=mx+ ⇒b 斜率m， 軸交點y (0, )b y=ax2+mx b+ ⇒頂點

2 4

( ,

2 4

m m ab

a a

− − − ) (注意頂點的左右) ， 軸交點

；

；

y (0, )b

0 0

( ) 0

0 0

m a

A m

b b

⎧ >

⎧ > ⎪ >

⎨ > ⎨

⎩ ⎪ <⎩

直線 ；拋物線

0 0

( ) 0

0 0

m a

B m

b b

⎧ >

⎧ < ⎪ >

⎨ > ⎨

⎩ ⎪ >⎩

直線 ；拋物線

0 0

( ) 0

0 0

m a

C m

b b

⎧ >

⎧ > ⎪ >

⎨ > ⎨

⎩ ⎪ >⎩

直線 ；拋物線

0 0

( ) 0

0 0

m a

D m

b b

⎧ <

⎧ < ⎪ >

⎨ > ⎨

⎩ ⎪ >⎩

直線 ；拋物線

，but 0 0

( ) 0

0 0

m a

E m

b b

⎧ <

⎧ < ⎪ <

⎨ > ⎨

⎩ ⎪ >⎩

直線 ；拋物線

2 x m

= − a 時，直線的

2 2

2 4

2 4

m ab m a

y a a

− −

= − > − b

1

15、( ^AB_DE ) (複選)若對於一切實數x ， (a−1)x² − +(a 1)x+ ≥a 恆成立，則a之值可為下列何 數？ (A)0 (B)¹

3 (C)2 (D)π (E)5 解析：∵∀ ∈x \，(a−1)x²− +(a 1)x+ − ≥a 1 0

2 2

(a+1) −4(a−1) ≤0 (a−3)(3a− ≥1)

∴ ， 0， 3 ¹

a≥ a≤3

∴ 或

16、( BC ) (複選)設

3 10

2

1 8

( ) ( ) ( )

n n

f x x n x n 2

= =

=

∑

− +

∑

− ，f (x)在x = a處有最小值，則 (A)a為整數 (B)a< 5.9 (C)a> 5.1 (D) a− <4 0.5 (E) a− <6 0.5

解析：

3 10

2 2

1 8

( ) ( ) ( )

n n

f x x n x n

= =

=

∑

− +

∑

− ^， 1 2 3 8 9 10

6 5.5

x= + + + + + = 時，f (x)有最小值。

17、( ^BC_E ) (複選)解方程式 f x( )=x⁵−3x⁴−2x³+9x²−17x− =6 0之根時，若已知^{3 13} 2

− 為

0之一根，則下列何者正確？ (A)恰有一個實根 (B)恰有一個有理根 (C)恰有一個正根 (D)恰有一個負根 (E)在

( ) f x =

−1與0之間恰有一實根 解析：∵^{3 13}

2

− 為f (x) = 0之一根

x= ^{3 13} 2

− 2 2 2

2x 3 13 (2x 3) ( 13) x 3x 1 0

⇒ − = ⇒ − = ⇒ − − =

∴

∴

2 3 2 2

( ) ( 3 1)( 6) ( 3 1)( 2)( 2 3)

f x = x − x− x − +x = x − x− x+ x − x+ f (x) = 0有三個實根 2, , ^{3 13 3 13}

2 2

− +

− ，二個虛根1 2i±

∴恰有一個有理根，恰有一個正根 ∵ 1 ^{3 13} 0 2

− < − < ∴−1與0之間恰有一實根 18、( AE ) (複選) 為 一 實 係 數 五 次 多 項 式 ， 則 下 列 何 者 為 真 ？

(A)若f(1+i)=f(i)=0， 則 ( )

f x

( ) 0

f x = 恰 有 一 實 根 (B)若f(2+5i)=2i−3， 則f(2−5i)=2i+3

(C)若f(a)f(b)<0， 則 f x( )=0在a與b之 間 恰 有 一 實 根 (D)若f(a)f(b)>0， 則 f x( )=0在a與b之 間 沒 有 實 根 (E) f x( )=0至 少 有 一 實 根

二、填充題：(每題10分)

1、設a b c, , ∈]，若6x⁴+ax³+bx²+cx− =1 0，恰有四個相異的有理根，則c = _____或______。 答案：5, −5

解析：∵a b c, , ∈]， 6x⁴+ax³+bx²+cx− =1 0，恰有四個相異的有理根，且其積為−1，

∴此四根必為¹, ¹, 1, 1 ¹, ¹, 1, 1,

2 3 −

或

−2 −3 −

4 3 2

(2∵ x−1)(3x−1)(x+1)(x− =1) 6x −5x −5x +5x−1

又(2x+1)(3x+1)(x+1)(x− =1) 6x⁴+5x³−5x²−5x−1，∴c = 5或−5 2、若x²+nx+1整除x³+3x²+mx+2時，則m=______, n=______。

答案：3, 1 解析：

1 2 1 1 1 3 2

1 1 (3 ) ( 1) 2

2 2 2 0

n m

n

n m

n

+ + ++ + +

+ +

+ − + − +

+ +

∴3− − =n 2 0,n=1； m− −1 2n=0,∴m=3

3、 f x( )=x⁵−3x⁴−7x³−17x²−880x−220,則 f(7)=______。

答案：−10 解析：

1− 3 − 7 − 17 − 880 −220 7 + 7 + 28 + 147 + 910 + 210 1+ 4 + 21 + 130 + 30 − 10

∴ f(7)= −10

4、設f x( )為四次多項式，若 f x( )除以(x −2)³得餘式4x −5， 除以x + 1得餘式18， 除以x + 2得餘式179，則f (2)=________ ，又f (1)=________。

( )

f x f x( )

答案：3, 4−

解析：設 f x( )為四次多項式， f x( )=(x−2) (³⋅ ax b+ +) 4x−5 ，∴ f(2)=3 又∵ f( 1)− = 18 f( 2)− = 179，∴ 18 27( ) 9

179 64( 2 ) 13

a b a b

= − − + −

⎧⎨ = − − + −

⎩ ⇒ 1

2 3

a b a b

⎧ − =

⎨ − =

⎩

∴a=2, b=1 ∴ f(1)= −( 1)(3)+ − = −4 5 4

5、設 f x( )=x⁴−5x³+7x²−12x+19，(1)求 f(2)=_____。

(2)若 f x( )=a x( −2)⁴+b x( −2)³+c x( −2)²+d x( − +2) e則d =_____。(3)求 f(1.9)=____。 答案：(1)−1 (2)−12 (3)0.2071

解析：

1 − 5 + 7 − 12 + 19 2 + 2 − 6 + 2 – 20 1 − 3 + 1 − 10 −1

+ 2 − 2 − 2 1 − 1 − 1 −12

+ 2 + 2 1 + 1 +1

+ 2 1 + 3

4 3 2 1

(2) 1 1, 3, 1, 12, 1

(1.9) 1 ( 0.1) 3 ( 0.1) 1 ( 0.1) 12 ( 0.1) 1 0.2071

f a b c d e

f

= − = = = = − = −

= × − + × − + × − − × − − =

∴ 且

7、利用輾轉相除法，求 f x( )=2x³−x²+ −x 2, g x( )=2x⁴− +x³ 5x²+4的最高公因式為____。 答案：

∴

hcf =2x²+ +x 2

解析：

1 2 − 1 + 1 − 2 2 − 1 + 5 + 0 + 4 1 2 + 1 + 2 2 − 1 + 1 − 2 − 2 − 1 − 2 2 4 + 2 + 4 − 2 − 1 – 2 2 + 1 + 2 0

8、ax³+bx²−29x−10可因式分解出(3x + 1)與(x−2)的因式，則第三個因式為_______，又 數對 (a, b) =_______。

答案：2x + 5, (6, 5)

解析：

3 2

29 10 (3 1)( 2)( 5)

ax +bx − x− = x+ x− kx+ (由常數項看出) 觀察一次項係數 −29= × − × + × × + × − × ⇒ =3 ( 2) 5 1 1 5 1 ( 2) k 2k

(3x+1)(x−2)(2x+5)

又

=6x³+5x²−29x−10 ∴a=6, b=5

9、設多項式 f x( )=x³−6x²+11x−3,g x( )=x³−8x²+19x−8，有一實數α使得 f( )α =3且 ( ) 4

g α = ，求α =_______。

答案：1或3 解析：

( ) 3 ( ) ( ) 3 0

( ) 4 ( ) ( ) 4 0

f h f

g k g

α α α

α α α

= = −

⎧ ⇒⎧

⎨ = ⎨ = −

⎩ ⎩

=

= ，其中

3 2

3 2

( ) 6 11 6

( ) 8 19 12

h x x x x

k x x x x

= − + −

= − + −

∴x−α ( ( ), ( ))h x k x =x²−4x+3，∴α²−4α+ =3 0, ∴α =1或3。

10、設 f x( )=x³+kx²−3x+12, g x( )=x²+ −(k 2)x−2k已知 , 的最高公因式為一

次式，則 ________或________。

( )

f x g x( ) k=

答案： ⁷, 4 2

− −

解析：

( ) ( )( 2)

g x = x+k x−

∵

(1) ( ) 2 ⁷( (2) 0 )

H x = − ⇒ =x k −2

由

f =

得

(2)H x( )= + ⇒x k 由 (f − =k) 0 得 + +3k 12=0 k = −4

11、設 f x( )=2ax² − +(2 5 ), a a∈\,a≠0，若方程式 f x( )=0有一根在 之間，則a 的範圍為_______或_______。

−2與−1

答案： ^{2 2}

3 3

a>

或

a<−

解析：∵ f( 2) ( 1)− f − <0

∴

(3a−2)( 2 3 )− − a <0，∴ 2 2

3 3

a>

或

a<−

12、設 f x( )∈\[ ]x 即實係數多項式且 f(2+ = −i) 7 5i，則 f(2− =i) ________。

答案：7+5i

解析： f(2− =i) f(2+ =i) f(2+ = − = +i) 7 5i 7 5i。

13、兩多項式p x( )=x⁵⁰−2x²−1 ( )與q x =x⁴⁸−3x²−4的最高公因式為______。

答案：x²+1 解析：

最高公因式為d (x) ∴d x p x( ) ( ), ( )d x g x( ) ( ) ( ) 2 ( )

d x p x x g x

⇒ − ∴d x( ) 3x⁴+2x²−1 ∴d x( ) (3x²−1)(x² +1)

∵p(x), g(x)均為整係數多項式 ∴3x²−1不是p(x), g(x)之公因式

又x²+1x⁵⁰−2x²−1且x²+1x⁴⁸−3x²−4

∵令x² = −1代入p(x)與q(x)得( 1)− ²⁵− − − =2( 1) 1 0，且( 1)− ²⁴ − − − =3( 1) 4 0

∴最高公因式為x²+1

14、設 f x( )=x³+x²−4x+ −(a 7)與g x( )=2x³−7x²+(2a−8)的最低公倍式為五次式，求 ________。

a= 答案：3 解析：

令d x( )=( ( ), ( ))f x g x

∴d x f x( ) ( )=x³+x² −4x+ −(a 7) ( ) ( ) 2 3 7 (2 8) d x g x = x − x+ a−

( ) 2 ( ) ( ) 2 2 6 (2 3)( 2)

d x f x g x x x x x

⇒ − = − − = + −

∴d x( )= −x 2 (∵2x+3|f x( ))

∴g x( )=16 14− +2a− = ⇒ =8 0 a 3。

15、解不等式 1 ³

1

x 2

x

− < − <

+ 則解為_______。

答案：x>1 5或x<− 解析：

同乘(x+1)²⇒ − +(x 1)² <(x−3)(x+ <1) 2(x+1)² (x 1)(2x 2) 0 (x 1)(x 5) 0

⇒ + − >

且

+ + > ⇒∴x>1 5或x< −

16、k∈\, 多項式 f x( )=x³+2x²− −x 2, g x( )=x³+ +(k 2)x²+(k²−5)x+6, (1)若 , 的最高公因式為一次式時，k = ________，

(2)若 , 的最高公因式 ( )

f x g x( ) ( )

f x g x( ) H x( )為二次式時，k = ____，此時H x( )=______。

答案：(1)− −2, 3(2)4,(x+1)(x+2) 解析：

( ) ( 1)( 1)( 2) f x = x+ x− x+

2 2

2 2

( 2) 2 4 16 2( 4)( 2) 4, 2

( 1) 12 ( 4)( 3) 4, 3

1 15

(1) 4 ( ) 0 ( 1) |

2 4

g k k k k k

g k k k k k

g k k k x

− = − + + = − − + ⇒ = −

− = − + + = − − + ⇒ = −

= + + = + + > ⇒ − g x( )

∴當 f x( ), g x( )的最高公因式為一次時 k = −2 或 −3

又當 f x( ), g x( )的最高公因式為二次時 k =4, H x( )=(x+1)(x+2)

17、解不等式：(1) ( 2) ( 1)( 3) 0

x

x x

+ ≥

− − _____________。 (2) ² x 1

≤ x

+ ______________。 答案：(1)原式⇒(x+2)(x−1)(x− ≥3) 0且x≠1, 3

∴x>3或− ≤ <2 x 1

(2) ² 0 ^{( 1) 2} 0

1 1

x x x

x x

− ≤ ⇒ + − ≤

+ + ， ^{( 2)( 1)} 0

1

x x

x

+ − ≤

∴ +

∴

∴ 或 。

(x+2)(x−1)(x+ ≤1) 0,x≠ −1 1 x 1

− < ≤ x≤ −2

18、梨山有一片梨園，如果種300棵，則每棵平均生出400個梨子。但是若多種一棵，則

每棵少生10個梨子；若少種一棵，則每棵多生10個梨子。問應種多少棵，才能得到 最大的收穫量？

答案：假設多種x棵，則收穫量為：y=(300+x)(400 10 )− x = −10(x+130)²+289000。 當x= −130時，即種170棵時，每棵生產1700個梨子，最大收穫量289000個梨子。

19、解不等式 9−x² >2x+1。

答案： 9−x² >2x+1 ∵ 9−x² 有意義9−x² ≥0 ∴− ≤ ≤3 x 3……①

(1)當2 1 0 ¹

x+ < ⇒ < −x 2時， 9−x² >2x+1必成立….. ②

(2)當2 1 0 ¹

x+ ≥ ⇒ ≥ −x 2時，

∴ 9−x² >2x+ ⇒ −1 9 x² >4x²+4x+1 0 ∴

5x2 4x 8

⇒ + − < 2 2 11 2 2 11

5 x 5

− − < < − +

1 2 2

2 x − +5

⇒ − ≤ < 11

……③ 由①②③

∴ 3 ^{2 2 11} x − +5

− ≤ <