98.10.26 範圍2-1 空間概念班級 - 明誠

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：98.10.26 範

圍

2-1

空間概念 班級

姓 座號

名

一、單選題

(每題5

分 )

( ) 1. 空間中，下列何者為真﹖

(1)相異三點恰決定一平面

(2)平面E₁與平面E₂平行﹐直線L₁在E₁上﹐直線L₂在E₂上﹐則L₁//L₂ (3)任意相異二直線必有公垂線

(4)一線段之垂直平分線恰一條

(5)二歪斜線在平面上的正射影為相交二直線﹒

解答 3

解析 (1)╳﹕不共線之相異三點才決定唯一平面﹒

(2)╳﹕可能歪斜﹒

(3)○﹒

(4)╳﹕有無限多條﹒

(5)╳﹕亦可能為平行兩直線﹐或一線及線外一點﹒

( ) 2. 下列各敘述何者恆真﹖

(1)平行於同一平面的二相異直線必平行 (2)垂直於同一直線的二線互相平行

(3)若一平面與二平行平面相交﹐其交線互相平行 (4)任意兩相異直線必有一公垂線

(5)兩相異直線若不相交﹐必平行﹒

解答 3

解析 (1) 可能相交﹒

(2)二度空間為真﹐但三度空間不為真﹒

(3)

(4)二度空間不真﹐但三度空間為真﹒

(5)二度空間為真﹐但三度空間可為歪斜線﹒

( ) 3. 空間二平面E₁﹐E₂﹐若E₁上一線L₁﹐E₂上一線L₂﹐則下列何者恆真﹖

(1)若L₁//L₂﹐則E₁//E₂ (2)若E₁//E₂﹐則L₁//L₂ (3)若L₁⊥L₂﹐則E₁⊥E₂

(4)若E₁⊥E₂﹐則L₁⊥L₂ (5)若E₁//E₂﹐則L₁與L₂不相交﹒

解答 5

解析 (1)╳﹕可能相交﹐如

(2)╳﹕可能歪斜﹐如

(3)╳﹕

(4)╳﹕

(5)○﹒

( ) 4. 下列有關空間的敘述﹐哪些是正確的﹖

(1)相異兩點恰有一條直線通過此兩點﹐相異三點恰有一平面通過此三點 (2)過已知直線上一點﹐恰有一直線與此直線垂直

(3)過已知直線外一點﹐恰有一平面與此直線平行 (4)垂直同一直線的兩相異直線必互相平行

(5)已知相異二平面E﹐F交於一直線L﹐若L垂直另一平面G﹐則E﹐F均垂直平面G﹒

解答 5

解析 (1)╳﹕不共線之相異三點才決定唯一平面﹒

(2)╳﹒

(3)╳﹒

(4)╳﹕亦可能歪斜﹒

(5)○﹒

( ) 5. 下列有關空間的敘述﹐哪些是正確的﹖

(1)不相交的兩直線L₁與L₂必然平行

(2)若直線L₁落在平面E上﹐且直線L₂與E平行﹐則L₁與L₂平行 (3)若兩相異直線L₁與L₂均與平面E垂直﹐則L₁與L₂必然平行

(4)若兩相異直線L₁與L₂均與直線L垂直﹐則L₁與L₂必然平行﹒

解答 3

解析 (1)﹐(2)與(4)均可能歪斜﹒

二、多選題

(每題10

分 )

( ) 1. 下列各敘述何者正確﹖

(1)過直線L外一點P﹐恰有一直線平行於已知直線L

(2)過平面E外一點P﹐恰有一直線平行於已知平面E

(3)過空間中任意一點P﹐恰有一平面垂直已知直線L

(4)過空間中任意一點P﹐恰有一平面垂直已知平面E﹒

解答 13

解析 (1)○﹒

(2)╳﹕無限多條﹒

(3)○﹒

(4)╳﹕無限多個﹒

( ) 2. 下列各敘述﹐何者為真﹖

(1)在空間中﹐P為平面E外一點﹐則過P有無限多條直線與平面E平行

(2)在空間中﹐相異三直線L﹐M﹐N﹐若L⊥N﹐M ⊥N﹐則L與M可能歪斜

(3)在空間中﹐若直線L₁平行平面E﹐且直線L₂平行平面E﹐則必L₁平行L₂

(4)在空間中﹐兩歪斜線L₁與L₂﹐則包含L₂而與L₁平行的平面恰有一個

(5)在空間中﹐相異兩直線皆恰有一條公垂直線﹒

解答 124

解析 (1)○﹒

(2)○﹒

(3)╳﹒

(4)○﹒

(5)╳﹕相異兩條平行線﹐有無線多公垂線﹒

( ) 3. 在空間中下列各敘述何者正確﹖

(1)兩直線不相交便平行

(2)AB



_{與平面E交於點B﹐在E上有一直線BC}



_垂直AB



_﹐則AB



_⊥E

(3)三直線L₁﹐L₂﹐L₃﹐若L₁⊥L₂﹐L₂ ⊥L₃﹐則L₂ ⊥L₃可能成立

(4)平面上作一組兩兩距離為1的點﹐則這組點最多有3點﹐在空間中最多有4點

(5)已知相異二平面E﹐F交於一直線L﹐若L垂直另一平面G﹐則E﹐F均垂直平面G﹒ 解答 345

解析 (1)╳﹕可能歪斜﹒

(2)╳﹕

(3)○﹒

(4)○﹒

(5)○﹒

( ) 4. 下列敘述何者正確﹖

(1)設一直線L交一平面E於A﹐若在E上過A有一直線L'與L垂直﹐則L垂直於平面E

(2)已知相異二平面F﹐M 交於一直線L﹐若L垂直一平面E﹐則F﹐M 均垂直E

(3)兩歪斜線在一平面E之正射影有可能為二平行線

(4)在空間中﹐設E為AB之垂直平分面﹐若點P合乎AP=BP﹐則P∈E

(5)相異三平面E₁﹐E₂﹐E₃兩兩交於不同之三線必平行﹒

解答 234

解析 (1)╳﹕在E上過A至少有二相異直線L'﹐L''均垂直L才可確定L⊥E﹒

(2)○﹕如圖﹒

(3)○﹒

(4)○﹒

(5)╳﹕有可能共點﹐如空間坐標平面﹒

( ) 5. 下列各敘述何者恆真﹖

(1)空間中任意相異三點決定一平面 (2)空間中兩平行線決定一平面

(3)空間中兩兩相交﹐但不交於同一點的三直線決定一平面 (4)空間中相交之兩相異直線決定一平面

(5)空間中兩相異直線﹐若不相交﹐則必平行﹒

解答 234

解析 (1)╳﹕不共線之相異三點﹒

(2)○﹒

(3)○﹒

(4)○﹒

(5)╳﹕可能歪斜﹒

( )6. 二歪斜線在平面上之射影可能為

(1)一直線 (2)二相交直線 (3)二平行直線 (4)直線及線外一點 (5)一點﹒

解答 234

解析 (1)╳﹒

(2)○﹕

(3)○﹕

(4)○﹕

(5)╳﹒

( ) 7. 在空間中﹐下列敘述何者正確﹖

(1)過直線L上一點﹐恰有一直線與直線L垂直

(2)過平面E上一點﹐恰有一直線L垂直於此平面E

(3)垂直於同一直線的兩相異直線必互相平行 (4)垂直於同一平面的兩相異平面必互相平行 (5)垂直於同一直線的兩相異平面互相平行﹒

解答 25

解析 (1)╳﹕無限多條﹒

(2)○﹒

(3)╳﹕可能歪斜或交於一點﹒

(4)╳﹕可能交於一線﹒

(5)○﹒

( ) 8. 下圖是一個長方體﹐下列哪些選項是正確的﹖

(1)直線AE與直線AB交於一點

(2)直線AE與直線DH平行

(3)直線AE與直線CG歪斜

(4)直線AE與直線FG歪斜

(5)直線AE與直線FH 歪斜﹒

解答 1245

解析 (1)直線AE與直線AB交於A點﹒

(2)因為直線AE與直線DH在長方形AEHD的對邊上﹐所以兩直線平行﹒

(3)因為直線AE與直線CG在長方形AEGC的對邊上﹐所以兩直

線平行﹐而非歪斜﹒

(4)因為直線FG落在底面EFGH上﹐與直線AE沒有交點﹐且與

直線AE並不平行﹐故直線AE與直線FG歪斜﹒

(5)同理﹐直線FH落在底面EFGH 上﹐與直線AE沒有交點﹐且與直

線AE並不平行﹐故直線AE與直線FH歪斜﹒

三、填充題

(每題10

分 )

1. 三角錐（四面體）ABCD﹐頂點A﹐底面為△BCD﹐已知AB=AC=AD= 21﹐底邊

6 BC=CD=DB= ﹐求

(1)平面ABC與底面BCD的銳夾角為________________﹔

(2)若AH 垂直於底面BCD於H ﹐則高AH 的長為_______________﹒

解答 (1) 60°;(2)3 解析

2. 設OA⊥平面E於A﹐直線L在E上﹐AB⊥L於B﹐C為L上一點﹐若 4

OA= ﹐AB=3﹐∠BOC= °30 ﹐則BC=____________﹒

解答 5 3 3 解析

OA⊥E﹐AB⊥ ⇒L OB⊥L﹐

∴OB= 4²+3² =5 1 5 3

5 3 3

⇒BC= ⋅ = ﹒

3. 正四面體OABC的各稜長為6﹐點O在底面ABC上的正射影為H ﹐則

(1)OH長為____________﹔

(2)四面體體積為____________﹒

解答 (1) 2 6 ;(2)18 2 解析

(1) 2 2

3 3 2 3

3 3

AH = AM = ⋅ = ﹐ 故^{OH = 62−}

( )

^{2 3 2 =2 6﹒}

(2)體積 1 3 ²

6 2 6

3 4

 

=  ⋅ ⋅

  =18 2﹒

4. 已知四面體ABCD中﹐AD垂直平面BCD於D﹐BD⊥BC於B﹐AD=4﹐BC=3﹐BD=5﹐ 則AC=____________﹒

解答 5 2

解析

由三垂線定理﹐∵AD⊥平面BCD﹐ DB⊥BC﹐∴AB⊥BC﹐

∴AB= 4²+5² = 41﹐ ^AC=

( )

^{41 2+32 = 50=5 2﹒}

5. 設點O在平面E上之投影點為A﹐L為平面E上不過A的直線﹐A在L上

之投影點為B﹐點C在L上﹐BC=12﹐OC=13﹐AB=4﹐則O至平面E 之距離為____________﹒

解答 3

解析 ^{d O E}

(

^,

)

^=OA=3﹒

6.

如圖﹐ABCD為四面體﹐已知 AD垂直於平面BCD﹐BC⊥BD﹐BC=7﹐ 24

AB= ﹐AD=15﹐則

(1)AC之長為____________﹔

(2)若平面 ABD與平面ACD之夾角為θ﹐則sinθ之值為_________﹒

解答 (1)25;(2) 7 20

解析 (1)AD⊥平面BCD﹐BC⊥BD﹐由三垂線定理知AB⊥BC﹐ 故AC= AB²+BC² = 24²+7² =25﹒

(2)∵AD⊥平面BCD﹐∴BD⊥AD且CD⊥AD﹐ 故∠BDC為平面ABD與平面ACD之夾角﹐

△BCD中﹐

2 2

7 7

sin 25 15 20

BC

θ=CD= =

− ﹒

7. 正四面體ABCD一邊AB長為4公分﹐M 為AD的中點﹐N為BC的中點﹐則 (1)MN=____________﹔

(2)相鄰二側面形成之兩面角角度為θ﹐cosθ=____________﹒

解答 (1) 2 2 ;(2)1 3 解析

(1)△AND中﹐ AN=DN ﹐ 中線NM ⊥AD﹐

△ANM 中﹐ AM =2﹐AN =2 3﹐ ∴NM²=AN²−AM²=12− =4 8﹐ ∴NM = 8 =2 2﹒

(2)△BCM中﹐

2 2 2

cos 2

BM CM BC BM CM

θ= ^{+ −}

( ) ( )

^{2 3 2 2 3 2 42} 1 2 2 3 2 3 3

+ −

= =

⋅ ⋅ ﹒

8. 金字塔每一個稜長均為a﹐底部正方形﹐側邊正三角形如圖所示﹐θ為ABP平面 與CBP平面所夾之二面角﹐則cosθ=____________﹒

解答 1

−3 解析

取BP之中點M﹐

則 3

AM =CM = 2 a﹐又AC= 2a﹐

∴cosθ=cos∠AMC

2 2 2 2

2

3 3 1

2 1

4 4 2

3 3

3 3

2 2 2 2

a a a a

a a a

+ − −

= = = −

⋅ ⋅

﹒

9.

如右圖﹐正立方體ABCD−EFGH﹐則 (1)將正立方體的十二個稜延長為直線﹐則

與AC



互為歪斜線的直線有____________條﹔

(2)若平面 ACH和平面 ACD的夾角為θ﹐求cosθ =____________﹒

解答 (1)6;(2) 3 3

解析 (1)BF



_﹐DH



_﹐EF



_﹐HG



_﹐EH



_﹐FG



_共6條﹒

(2)

2

1 3

cos 2

6 3 3

2 a a

θ= = = ﹒

10. 一正立方體之稜長為a﹐共頂點的三稜為AB﹐AC﹐AD﹐則A到平面BCD的距離為__________﹒ 解答 3

3 a 解析

11.

設ABCD為正四面體（各面均為正△）﹐其稜長a﹐設M 為CD中點﹐

AMB θ

∠ = ﹐則

(1)其高 AG=____________﹔(2)體積為____________﹔

(3)全表面積為____________﹔(4) cosθ =____________﹒

解答 (1) 6

3 a;(2) 2 ³

12a ;(3) 3a²;(4)1 3 解析

(1)∵稜長為a﹐底面△BCD的中線BM 長為 3

2 a﹐G為重心﹐

∴ 2 3 3

3 2 3

BG  a a

=  =

  ﹐

△ABG中﹐ ^{2 2 2 2} 1 ² 2 ² 6

3 3 3

AG =AB −BG =a − a = a ⇒AG= a﹒

(2)體積 1

=3（底面積）⋅高 1 3 ² 6 2 ³

3 4 a 3 a 12a

= ⋅ ⋅ = ﹒

(3)全表面積=4（△BCD） 3 ^{2 2}

4 3

4 a a

= ⋅ = ﹒

(4)△AGM中﹐

1 3

3 2 1

cos 3 3

2 GM a

AM a

θ = = ^⋅ = ﹒

12.

有一個底為正方形的直角錐﹐每一稜長都是10﹐設□ ABCD為其底﹐

O為其錐頂﹐

(1)求此直角錐之高=____________﹔

(2)若兩側面之夾角為θ﹐則cosθ =____________﹒

解答 (1) 5 2 ;(2) 1

−3 解析

13.

如右圖﹐長方體ABCD−EFGH中﹐ AE=1﹐AB=2﹐AD=3

(1)有一蜜蜂從 A點飛到G點﹐其飛行的最短距離為___________﹔

(2)有一螞蟻從 A點爬到G點﹐其爬行的最短距離為____________﹒

解答 (1) 14 ;(2) 18 解析

14.

有公共底邊的兩個等腰三角形﹐它們所在的平面組成60°的二面角﹐公 共邊長為16﹐一個三角形的腰長為17﹐另一個三角形的兩腰互相垂直﹐

求這兩個等腰三角形頂點間的距離為____________﹒

解答 13

解析 AB=16﹐AC=BC=17﹐令AB中點為M ﹐則∠CMD=60°﹐ 直角△BCM中﹐ 1

2 8

BM = AB= ﹐∴CM = BC²−BM² = 17²−8² =15﹐

△BDM中﹐DM=BM =8﹐ △CMD中﹐由餘弦定理

2 2 2

2 cos 60

CD =DM +CM − DM CM⋅ ⋅ ° 1

64 225 2 8 15 169

= + − ⋅ ⋅ ⋅ =2 ﹐∴CD=13﹒

15. 不共面三射線OX



_﹐OY



_﹐OZ



_{互成30°角﹐P∈OX}



_{﹐OP=2﹐P至平面YOZ之投影為Q﹐Q至}

OY



_{之垂足為R﹐又QR}



_交OZ



_於S﹐求PS²_+OR² ₌____________﹒

解答 11 4 3− 解析

∵PQ⊥平面OYZ﹐QR⊥OY ﹐∴PR⊥OY﹐

△OPR中﹐OR=OP⋅cos 30° 3

2 3

= ⋅ 2 = ﹐

△OSR中﹐ 2

sec30 3 2

3

OS=OR⋅ ° = ⋅ = ﹐

△OPS中﹐由餘弦定理

2 2 2

2 cos 30

PS =OP +OS − OP OS⋅ ⋅ ° ^{2 2} 3

2 2 2 2 2 8 4 3

= + − ⋅ ⋅ ⋅ 2 = − ﹐

∴^{PS2+OR2= −8 4 3+}

( )

^{3 2= −11 4 3﹒}