台北市立建國高級中學第八十二期通訊解題解答與評析
如右圖，一特製邊長為2的正三角形撞球桌，從AB邊的 中點M向AC邊上N點擊出撞球，經反彈至BC邊上P點、
再反彈至AB邊上Q點、再反彈至AC邊上R點、最後反彈 至B點。若形成這路徑時，則AN的長度是多少？
【解答】Ans : 5 6 解：
取BC邊上的中點D，所以NC：MD = 4：5，因MD = 1，得NC = 5
4 ，故AN =
5 6
【評析】
對稱的觀念是歐氏幾何的重要觀念，本題便是一個好例子，計有台北市大安國 中的陳毅、王信之、新北市光復國中的王永光等完整地答對。
設x1,x2,,x2010是整數，且滿足下列條件 (1) 1xn 2(n1,2,...,2010)
(2) x1x2x2010 204
8201
8202
A
B C
M N
P
Q R
D
M N
C A
B
(3) x12 x22 x20102 2010
試求x13 x23 x20103之最小值及最大值。
【解答】
設這2010個整數中有r個-1，q個0，s個1，t個2 則 42 2010204 3 11070 369
s t t
t s r
t s r
t t
s r x
x
x13 23 20103 8 2046 2418 204 13 23 20103
x x x
事實上若取r=903,q=0,s=1107,t=0時，x13 x23 x20103有最小值204 若取r=534,q=1107,s=0,t=369時，x13 x23 x20103有最大值2418
【評析】
本題應徵答題人數共有6人。滿分的有台北市北投國中吳博生同學、苗栗健臺高 中國中部彭劉健臺同學、台北縣光復國中王永光同學。作答時僅需掌握一些不等 式的運算，應不難答對。
已知n是三位正整數，若n2之末三位數等於n+110，求n之值。
【解答】
符合題意之正整數n有兩個，即：115與886。解法如下：
依題意，n2之末三位數等於n+110，即 n2 – (n+110) 是1000的倍數，得 1000 | (n2 –n–110)，即1000 | (n+10)( n–11) ⇒ 23×53 | (n+10)( n–11)，
∵ 若d | x且d | y，則d | (mx±ny)，∴若d | (n+10)且d | ( n–11)，則d | 21，
而知(n+10)與( n–11)之公因數必為21之因數
⇒ (n+10)與( n–11)二數之公因數不可能是2, 5，因此
b n
a n
125 11
8
10 或
B n
A n
8 11
125
10 ⇒ 8a– 10 = 125b+ 11 ⇒ 8a– 125b = 21
⇒
t b
t a
8 1
125
13 或 125A– 10 = 8B+ 11 ⇒ 125A – 8B = 21 ⇒
t B
t A
125 13
8 1
⇒ (a,b) = ( 112 , 7 )，(A,B) = ( 1, 13 )，故n之值為 886或115。
8203
【評析】
本題應用因數與倍數的關係以解題，只要想到了「n2之末三位數等於n+110」其 實就是「n2 – (n+110)是1000的倍數」，尋求n值之路立可豁然開朗！在得知原
題意即(n +10)與(n–11)二數乘積為(23×53)之倍數後，如何討論所有的可能情
形而找到n值是解題重點，此時我們注意到：「一數的倍數與倍數之和或差，仍 是該數的倍數」，此一性質常以符號表述如下：
「若d | x且d | y，則d | (mx±ny)，其中d, x, y, m, n都是整數。」
這是求解本題主要的理論依據。
本題應徵答題人數共有5人。其中台北市敦化國中林靖為同學、台北市大安國中 王信之同學、台北市大安國中陳毅同學皆由「令n = 100a+ 10b+ c」著手，前者比 較n2末三位與n之關係，理路清晰；後二者依序討論c, b, a 之可能值，雖然過 程略為繁複，但是都能清楚表述，值得鼓勵。台北縣光復國中王永光同學則在先 考慮n的個位數可能為0, 1, 5, 6後，表列n之末二位的所有可能一一檢視，而 得到正確答案，列表詳明，也堪嘉許。台北市北投國中吳博生同學觀察到了n2 與(n+110)除以1000同餘，但未進一步據此討論n2 – (n+110)與1000的關係，
而亦就n之個位數僅可能為0, 1, 5, 6一一討論求解，雖當然亦可行，卻不免可 惜了原始的重要發現！在觀察題意初有所得後，如何想方設法，探尋可能進路，
值得同學再多練習與深思。有道是：「山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村」，咦 數學解題之所以迷人者在此！
滿分7分，成績如下：
7分：
台北市敦化國中林靖為同學、台北市大安國中王信之同學、台北市大安國中陳毅 同學、台北縣光復國中王永光同學。
5分：
台北市北投國中吳博生同學。
設[x]表示不大於
x
最大整數，例如：[3]3,[2.3]2,[2.5]3，則
2010 2010 2010 2010 2010 之值為何？
(其中共有2010個2010)
【解答】
定義數列，an1 2010an,a1 2010
46 45
46 2056 2010
2055 45
45
44 1 1 2
a a a
繼續如此的步驟 8204
46 45
46 45
46
45 3 4 2010
a a a
故所求[a2010]45
【評析】
1. 本題作答者有四人，其中台北市北投國中吳博生同學及台北縣光復國中王永 光同學表達詳細完整，值得鼓勵。
2. 有同學利用無限多個2010來作答，是個不錯的嘗試，但若無法確定極限存
在與否，對極限值作四則運算有很大的機會會出問題，這可能須要交待清楚。
平面上有2010個相異點，任三點都不共線
(1)給定任一直線L，且L不與這2010個點中任意兩點所連直線平行或重
合，是否一定找得到直線
L
平行L或與L重合，而且把這2010個點隔成 個數相等的兩堆？(2)給定一個與這2010個點都不同的點P，且含P後的這2011個點中，任
三點都不共線，是否一定找得到直線M 通過P，而且把這2010個點隔成
個數相等的兩堆？
【解答】
(1)作一條平行L，且讓所有點都在同側(假定在右側)的直線M，讓M往右移，
並計算右側的點個數，則點個數由2010變到0，又因為沒有兩個點連線與 L平行會重合，故移動的過程跨過M的點一次只能一點，所以點數的變化是 連續整數，故必有一個時候，右邊的點個數是1005，此時M平行或與L重 合，且把2010個點隔成個數相等的兩堆
(2)過P作一條不過這2010個點的直線M，分別計算兩側(一邊定為右側，另
一邊定為左側)的點個數，並計算右側的點個數減左邊的點個數n， 若n=0，則M即為所求，
若不是，則n必為偶數，令n=2k，以P為中心旋轉M直到轉180度 過程中，n從2k變到-2k，又含P後這2011個點中，任三點都不共線，所 8205
以每次跨過M的點至多一點，因此，n的變化是連續偶數，故必有一個時候，
n=0，此時M把2010個點隔成個數相等的兩堆
【評析】
本題作答者有三人，其中台北市敦化國中呂彥德同學表達詳細完整，且具巧思，
值得鼓勵。
