第1 章空間向量

(1)

1-1 空間概念

1. 右圖是一個長方體﹐下列哪些直線與直線 AB 歪斜﹖

(1)直線 CD (2)直線 CG (3)直線 CH (4)直線 AG (5)直線 HG ﹒

(1)直線CD與直線AB平行﹒ (2)直線CG與直線AB歪斜﹒

(3)直線CH與直線AB歪斜﹒ (4)直線AG與直線AB交於A點.

(5)直線HG與直線AB平行﹒

由上面的討論可知﹕正確的選項為(2)(3)﹒

2. 右圖中﹐ ABCD  EFGH 是一個長方體﹐ ABCD 是一個邊長為 2 的正方形﹒若 AG  2 6 ﹐則長方體的體積為何﹖

因為AG AB²BC²CG² ﹐

所以2 6 2²2²CG² ﹐解得CG4﹐ 即以正方形ABCD為底面時﹐長方體的高為4﹐ 因此其體積為2 2 4 16   ﹒

3. 右圖是一個四面體 D  ABC ﹐其中 AB  BC  CA  6 ﹐ DA  DB  DC  4 ﹐ 從頂點 D 對底面 ABC 做垂直線 DH 交底面於 H 點﹐線段 DH 稱為此四面體的一個高﹒

求﹕

(1)高 DH 的長﹒ (2)底面 ABC 與側面 BCD 所夾之二面角  的餘弦值﹒

因為DH與底面ABC垂直﹐可得DH與 AH﹐BH﹐CH均垂直﹐又ADBDCD﹐所以

△ADH ﹐△BDH﹐△CDH為全等三角形﹐因此由畢氏定理可知

2 2

AH AD DH BHCH﹐即H為△ABC的外心﹐亦為重心﹒

設E為BC的中點﹒

(1)因為△ABC為正三角形﹐△BCD為等腰三角形﹐所以AE與DE

第 1 章空間向量

(2)

均垂直BC於E點﹐且因為H為△ABC的重心﹐所以 2 2 3 3 3 2 2 3 AH AE  AC

    ﹒

計算^DH^ ^AD²^^AH²^ ⁴²^

 

^{2 3} ² ^ ⁴^²^﹒

(2)因為AED為底面ABC與側面BCD所夾的二面角﹐又

2 2 2 2

4 3 7

DE CD CE    ﹐

所以

1

3 21

cos 3

7 7 7 HE AE

 DE   ﹒

4. 設直線 AB 垂直平面 E 於 B 點﹐且 L 是平面 E 上一條直線﹐D 是 L 上一點﹐如右圖所示﹒若直線 BC 垂直 L 於 C 點﹐且 AB  2 ﹐ BC  1 ﹐ CD  2 ﹐則 AD 的長度為何﹖

因為直線AB垂直平面E於B點﹐所以ABBC﹐因此由畢氏定理可得﹕AC AB²BC² 2² 1² 5﹒

又由三垂線定理可知﹕ACDC﹐因此

由畢氏定理可得﹕^AD^ ^AC²^^CD² ^

 

⁵ ²^²² ^ ⁹^³^﹒

5. 右圖是一個四面體﹐ AD  1 ﹐ BD  2 ﹐ CD  2 3 ﹐且 AD ﹐BD ﹐ DC 兩兩互相垂直於 D 點﹐求點 A 到 BC 的最短距離﹒

過點D作DE垂直BC於E點﹒因為AD與BD﹐DC均垂直﹐所以 AD與平面BCD垂直﹐且由三垂線定理可知﹕點A到BC的最短距離為AE﹒

因為BD與DC垂直﹐所以由畢氏定理可得﹕

 

²

2 2 2

2 2 3 16 4

BC BD DC     ﹒ 由△BCD的面積為

2 2

BD DC BC DE  2 2 3 4

2 2

  DE﹐解得DE 3﹒ 因為AD與平面BCD垂直﹐所以△ADE是一個直角三角形﹐因此

 

²

2 2 2

1 3 2

AE AD DE    ，故點A到BC的最短距離為2﹒

(3)

6. 設 A ﹐ B ﹐ C 為空間中三點﹐且不在同一直線上﹒問﹕

(1)空間所有滿足 PA  PB 的 P 點所形成的圖形為何﹖

一點 一線段 一直線 一平面﹒

(2)空間所有滿足 QA  QB  QC 的 Q 點所形成的圖形為何﹖

一點 一線段 一直線 一平面﹒

(1) 空間中所有滿足PAPB的P點所形成的圖形為一平面﹐

我們稱其為AB的垂直平分面﹒故正確的選項為﹒

(2) 設O為△ABC的外心﹐即OAOBOC﹒

取Q為通過點O與平面ABC垂直的直線上的任意點﹐

則由畢氏定理可知﹕

2 2 2 2 2 2

QA OA QO  OB QO QB OC QO QC﹐ 即直線上的點Q均滿足QAQBQC﹒故正確的選項為﹒

7. 選出正確的選項﹕

(1)空間中，垂直於同一直線的兩相異直線必互相平行 (2)空間中，平行於同一直線的兩相異直線必互相平行 (3)空間中，垂直於同一平面的兩相異直線必互相平行 (4)空間中，平行於同一平面的兩相異直線必互相平行 (5)空間中，垂直於同一直線的兩相異平面必互相平行﹒

(1)垂直於同一直線的兩相異直線也可能歪斜或交於一點﹒

(2)平行於同一直線的兩相異直線必互相平行是正確的﹒

(3)垂直於同一平面的兩相異直線必互相平行是正確的﹒

(4)平行於同一平面的兩相異直線也可能歪斜或交於一點﹒

(5)垂直於同一直線的兩相異平面必互相平行是正確的﹒

由上面的討論可知：正確的選項為(2)(3)(5)﹒

8. 在空間中﹐下列哪些條件恰可以決定一個平面﹕

(1)三個相異點 (2)兩條平行直線 (3)兩條歪斜直線

(4)一直線及此直線外一點 (5)恰交於一點的兩相異直線﹒

(1)此三點必須不在同一直線上﹐才恰有一個平面﹒若此三點在同一直線上﹐則有很多個平面同時通過此三點﹒

(3)因為兩條歪斜線並不在同一個平面上﹐所以沒有平面會通過兩條歪斜直線﹒

除了(1)(3)之外的選項均是正確的﹐故正確的選項為(2)(4)(5)﹒

(4)

9. 右圖中﹐ ABCD  EFGH 是一個邊長為 1的正六面體﹐

求﹕

(1)四面體 ACFH 的表面積﹒

(2)四面體 ACFH 的體積﹒

（四面體的體積為底面積乘以高除以 3 ）[92 指乙]

因為四面體ACFH 的每邊長均為 2﹐所以是一個正四面體﹒

(1) 表面積是4個邊長為 2之正三角形的面積和﹒

因為邊長 2之正三角形的面積為 3

2 ﹐

所以四面體的表面積為 3

4 2 3

 2  ﹒

(2) 直接計算體積比較困難﹐可以扣掉4個全等的四面體比較簡單﹒

四面體ACFH的體積可由正六面體扣掉AEHF ﹐ABCF﹐GHFC﹐ACDH 4個四面體的體積得到﹒

因為這4個四面體的體積均為 1 1 1 1 1 1

2 3 6

     

 

  ﹐

所以四面體ACFH 的體積為 1 1 1 4  6 3﹒

10. 右圖中﹐ ABCD 是一個邊長為 2 的正四面體﹐ M ﹐ N 分別為 AB 與 CD 的中點﹒

(1)說明 MN 與 AB 垂直﹒ (2)求 MN 的長﹒

(1)連接AN﹐BN﹐如右圖所示﹒

因為△ACD與△BCD均為正三角形 ﹐ 所以 AN ﹐ BN分別為

△ACD與△BCD的中線﹐且

2 2

2 1 3

AN   BN﹒

因為ANBN﹐所以△ABN是一個等腰三角形﹐又因為M 為 AB 的中點﹐所以MN是AB的中垂線，即MN與AB垂直﹒

(2)利用畢氏定理得^MN^ ^AN²^^AM²^

 

³ ²^{ }¹² ²^﹐

因此MN的長為 2﹒

(5)

1-2 空間向量的坐標表示法

1. 坐標空間中﹐下列哪一點與原點的距離最大﹖

(1)  ^{1 , 2 , 3}  ⁽²⁾  ^{1 , 0 , 5}  ⁽³⁾  ^{2 , 2 , 2}  ⁽⁴⁾  ^{1 , 1 , 4} ^  ⁽⁵⁾  ^{0 , 3 , 3}  ^﹒

各點與原點的距離分別為﹕

(1)



^{1 0}^

 

²^ ^{2 0}^

 

²^{ }^{3 0}



²^ ¹⁴^﹒⁽²⁾



^{1 0}^

 

²^ ^{0 0}^

 

²^{ }^{5 0}



²^ ²⁶^﹒

(3)



^{2 0}^

 

²^ ^{2 0}^

 

²^ ^{2 0}^



² ^ ¹²^{﹒ (4)}



^{1 0}^



²^{  }

  

¹ ⁰



²^



^{4 0}^



² ^ ¹⁸^﹒

(5)



^{0 0}^

 

²^{ }^{3 0}

 

²^{ }^{3 0}



² ^ ¹⁸^﹒

因為最大值為 26﹐所以正確的選項為(2)﹒

2. 已知坐標空間中一點 ^A  ^{3 4 5} ^{, ,}  ^﹐求﹕

(1)將點 A 垂直投影到 z 軸的投影點坐標﹒

(2)點 A 到 z 軸的距離﹒

(1)將點^A



^{3 4 5}^{, ,}



^{垂直投影到}^z^{軸的投影點坐標為}



^{0 0 5}^{, ,}



^﹒

(2)由(1)可知點A到z軸的距離為點A與點



^{0 0 5}^{, ,}



^{的距離﹐即為}



^{3 0}^

 

²^ ^{4 0}^

 

²^{ }^{5 5}



² ^⁵^﹒

3. 右圖是坐標空間中的一個長方體﹐其長﹐寬與高分別為 4 ﹐ 2 與 3 ﹒求﹕

(1) H 點的坐標﹒ (2) AG 及 BG 的長﹒

(1)H點的坐標為



^{ }²^, ^{4 3}^,



^﹒

(2)由圖可知﹕A點的坐標為



⁰^,^^{4 0}^,



^﹐^B^{點的坐標為}



^{0 0 0}^{, ,}



^﹐

G點的坐標為



^^{2 0 3}^{, ,}



^﹒

故^AG

  

 ² ⁰



²



⁰ 

 

⁴



² 



^{3 0}



² ^{4 16 9}   ²⁹﹐

  

² ⁰



²



^{0 0}

 

² ^{3 0}



² ⁴ ^{0 9} ¹³

BG           ﹒

第 1 章空間向量

(6)

4. 已知 ^A  ^{4 1} ^{, ,} ^ ³  ^﹐ ^B  ^ ^{2 3 1} ^{, ,}  ^{為坐標空間中兩點﹐} ^P ^為 ^y ^{軸上一點﹐且}

AP  BP ，求 P 點的坐標﹒

設P點的坐標為



⁰^{, ,}^y ⁰



^﹒

因為^AP^



⁰^⁴

 

²^ ^y^¹



²^



⁰^{ }

 

³



² ^ ^y²^²^y^²⁶^﹐

^BP^



⁰^{ }

 

²



²^



^y^³

 

²^ ^{0 1}^



² ^ ^y²^⁶^y^¹⁴^﹐

且APBP﹐所以y²2y26y²6y14﹐整理可得4y 12﹐解得y 3﹐ 故P點的坐標為



⁰^,^^{3 0}^,



^﹒

5. 已知坐標空間中第一卦限內一點 ^{P a b c}  ^{, ,}  ^到 ^x ^軸﹐ ^y ^軸﹐ ^z ^{軸的距離分}

別為 5 ﹐ 34 ﹐ 41 ﹐求 P 點的坐標﹒

因為點 ^{P a b c}



^{, ,}



^到 ^x ^{軸 ﹐} ^y^{軸 ﹐} ^z軸的距離分別為 b²c² 5﹐

2 2

34

a c  ﹐ a²b² 41﹐

分別平方﹐得b²c²25﹐a²c²34﹐a²b²41﹐ 將三式相加後除以2﹐可得a²b²c²50﹐

並解得a²25﹐b²16﹐c²9﹒

又因為點^{P a b c}



^{, ,}



^{在第一卦限﹐所以}



^{a b c}^{, ,}

 

^ ^{5 4 3}^{, ,}



^﹐

故P點的坐標為



^{5 4 3}^{, ,}



^﹒

6. 右圖是邊長為 2 的正四面體 O  ABC ﹐

 ^{0, 0, 0} 

O ﹐ ^A  ^{1,1, 0}  ^﹐ ^B  ^{1, 0,1}  ^﹐ ^C  ^0,1,1  ^﹐

M ﹐ N 分別為 AO ﹐ BC 的中點﹐求 (1) M ﹐ N 的坐標﹒ (2) MN 

及 MN 的長﹒

(1) 0 1 0 1 0 0 1 1

, , , ,0

2 2 2 2 2

M        ﹐ 1 0 0 1 1 1 1 1

, , , ,1

2 2 2 2 2

N        ﹒

(2) ^{1 1}^{, ,1} ^{1 1}^{, ,0}



^0,0,1



2 2 2 2

MN     



_﹐_MN __MN



_₁_﹒

(7)

7. 設  ^a ^  ^{2 , 1 , 3} 

﹐  ^b ^  ^{3 , 1 , 2} ^ 

﹐  ^c ^  ^{0 ,} ^{y z} ^, 

﹕ (1)求 3   a  2 b

﹒ (2)若   c  3 a  s b 

﹐則 s ﹐ y ﹐ z 分別為何﹖

(1)³

 

a ² b 3 2 , 1 , 3

  

2 3 , 1 , 2

 

 12 , 1 , 13



_﹒

(2)由

  

c 3 a s b _可得

_ _{ } _{ } _{ } _

0 ,y z, 3 2 , 1 , 3 s 3 , 1 , 2  6 3 , 3 s s , 92s ，即

0 6 3s﹐y 3 s﹐z 9 2s﹐ 分別解得s 2﹐y5﹐z5﹒

8. 已知 ^P  ⁷ ^, ^ ^{2 2} ^,  ^﹐ ^Q  ¹ ^, ^ ^{8 11} ^,  ^{為坐標空間中兩點﹐} ^R ^為直線 ^PQ ^上一點﹐

且 PR RQ :  2 :1 ﹐求 R 點的坐標﹒

R點有兩種可能﹕

(1)R點在PQ上﹐如右圖所示，則 2

R P

 

PR P 3PQ

_ _

2

_ _

7 2 2 6 6 9

 , , 3  , ,



⁷ ^{2 2}

 

⁴ ^{4 6}

 

³ ^{6 8}



 , ,   , ,  , , ﹒

(2)R點在直線PQ上﹐但在PQ外﹐如右圖所示﹐則 2

R P

 

PR P PQ _

_

₇_,__{2 2}_,

_{ }

_{  }₂ ₆_, _{6 9}_,

_

^



⁷^,^^{2 2}^,

 

^{ }¹²^,^^{12 18}^,



^{  }



⁵^, ^{14 20}^,



^﹒

故R點的坐標為



³,^{6 8},



或



 ⁵, ^{14 20},



﹒

9. 設 ^A  ^{2, 1, 3} ^  ^﹐ ^B  ^{5, 0,1}  ^﹐

(1)若 C 為  ^{ } ^{1, 5, 2}  ^﹐則 ^△ ^ABC ^{的重心坐標為何﹖}

(2)若 D 為坐標空間一點﹐且 △ ABD 的重心坐標為  ^{3, 2,1}  ^﹐則 ^D ^點的坐標

為何﹖

(1) △ABC的重心坐標為 ^{2 5}

   

¹ ^, ¹ ⁰

 

^{5 3 1 2}^,



^{2, 2, 2}



3 3 3

      

    

 

  ﹒

(2) 設D點的坐標為



^{x y z}^{, ,}



^﹐

因為重心的坐標滿足



^{3, 2,1}



² ⁵ ^, ^{1 0} ^,^{3 1}

3 3 3

x y z

      

 

  ﹐

解得x2﹐y7﹐z 1﹐所以D點的坐標為



^{2,7, 1}^



^﹒

(8)

10. 坐標空間中﹐下列哪些點可和 ^A  ^{1 2 3} ^{, ,}  ^﹐ ^B  ^{2 5 3} ^{, ,}  ^﹐ ^C  ^{2 6 4} ^{, ,}  ^三點構

成一個平行四邊形﹖

(1)  ^{1 1 2} ^{, ,}  ⁽²⁾  ^{1 3 4} ^{, ,}  ⁽³⁾  ^{3 7 6} ^{, ,}  ⁽⁴⁾  ^{3 9 4} ^{, ,}  ⁽⁵⁾  ^{ } ¹ ^, ⁵ ^, ^ ²  ^﹒

計算



^AB^



^{1 , 3 , 0}



_﹐_BC



_

_

_{0 , 1 , 1}

_

_﹐_CB



_

_

_{0 , 1 , 1}_{ }

_

_﹒

由右圖可知﹕D﹐E﹐F三點均可和 A﹐B﹐C三點構成一個平行四邊形﹐

且其各點坐標分別為



^{2 6 4}

 

^{1 3 0}

 

^{3 9 4}



D C CD

 

 C AB _{, ,}  _{, ,}  _{, ,} _﹒



^{1 2 3}

 

⁰ ¹ ¹

 

^{1 1 2}



E A

 

AE A CB _{, ,}  _,  _, _{, ,} _﹒



^{1 2 3}

 

^{0 1 1}

 

^{1 3 4}



F A

 

AF A BC _{, ,}  _{, ,}  _{, ,} _﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(4)﹒

11. 已知 ^OA  ^  ^{1, 2, 2} 

﹐ ^OB  ^  ^{4, 4, 2} 

﹒若 OC     t OA OB 

﹐且 OC 

平分  AOB ﹐ 求 t 的值﹒

因為OA



 1²2²2² 3_﹐ _OB



_ ₄²_₄²_₂² _₆_﹐

又由菱形的對角線可以將頂角平分的性質﹐如圖所示﹕

可知t2﹒

12. 設 ^A  ^{1 1 0} ^{, ,}  ^﹐ ^B  ^{1 0 1} ^{, ,}  ^﹐ ^C  ^{0 1 1} ^{, ,}  ^{為坐標空間中三點﹐若} ^D ^{點在第一卦}

限﹐且 D  ABC 是一個正四面體﹐則 D 點的坐標為何﹖

設D點坐標為



^{x y z}^{, ,}



﹒利用距離公式﹐得﹕

   

2 2 2 2

1 1

AD  x  y z ﹐^BD²^



^x^¹



²^^y²^



^z^¹



²^﹐

   

2 2 2 2

1 1

CD x  y  z ﹐^AB²^{ }



^{1 1}

 

²^ ^{0 1}^

 

²^{ }^{1 0}



²^²^﹒

因為正四面體的所有邊長均相等﹐於是我們得到聯立方程式

       

   

2 2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1

1 1 2

x y z x y z

x y z

         

         



    



﹐整理得

  

²



² ²

2 1 2 1

1 1 2

y z

x z

x y z

    

    



    









由可得x y z﹐ 將其代入



^x^¹

 

²^ ^y^¹



²^^z²^²^{﹐ 整理得}³^z²^⁴^z^⁰^{﹐ 解得}^z^⁰^或

4

z3﹐即D點的坐標為



^{x y z}^{, ,}

 

^ ^{0 , 0 , 0}



^或 ^{4 4 4}

3 3 3

 

 

 , , ﹒ 因為D點在第一卦限﹐所以D點的坐標為 4 4 4

3 3 3

 

 

 , , ﹒

(9)

1-3 空間向量的內積

1. 設  ^a ^  ^{1 , 2 , 2} 

﹐  ^b ^{ }  ^{2 , 3 , 1} ^ 

﹐求    a  b        2 a  b   

   

的值﹒

計算

 

^a ^ ^b ^{ }



^{1 , 5 , 1}



_﹐₂

 

_a _ _b _

_

_{4 , 1 , 5}

_

_﹐故

   

2 1 , 5 , 1 4 , 1 , 5 4 5 5 6

a b a b

            

   

   

   

_﹒

2. 設 ^A  ^ ^{1 , 2 , 1}  ^﹐ ^B  ^{0 , 3 , 1}  ^﹐ ^C  ^{0 , 4 , 2}  ^{為空間中三點﹒求﹕}

(1)  BAC ﹒ (2) △ ABC 的面積﹒

計算



^AB^



^{1 , 1 , 0}



_﹐_AC



_

_

_{1 , 2 , 1}

_

_﹒

(1)因為

   

2 2 2 2 2 2

1 , 1 , 0 1 , 2 , 1 3 3

cos 1 1 0 1 2 1 2 3 2

AB AC BAC

AB AC

 

    

    

   

^﹐所以^^BAC^{ }³⁰ ^﹒

(2)△ABC的面積為1 1

sin 2 6 sin 30

2

 

ABAC  BAC 2    ³

 2 ﹒

3. 已知  ^a ^  ^{2 , 1 , 1} ^{ } 

與  ^b ^  ^{1 ,} ^ ^{2 ,} ^z 

的夾角為 60 ﹐求 z 的值﹒

因為



a _與



b _的夾角為_60_﹐所以

   

² ²

 

²



²



2 2 2

2 , 1 , 1 1 , 2 ,

1 4

cos 60

2 2 1 1 1 2 6 5

a b z z

z z a b

   

 

    

       

   

^﹐

且4 z 0﹐即z4﹒

將上式兩邊平方﹐得

 

²

2

1 4

4 30 6 z z

 

 ﹐整理得z²16z170﹐解得z1或z 17﹒ 因為z1與z 17均滿足z4﹐所以z1或z 17﹒

第 1 章空間向量

(10)

4. 右圖是一個邊長為 2 的正立方體﹐ M ﹐ N 兩點分別為底面與側面正方形的中心 ﹐ A 是正立方體的一個頂點 ﹐ 求

 MAN 的值

﹒

將正立方體放在空間坐標系中﹐如右圖所示﹒

因為^AM



^



^{1 , 1 ,}^²



_﹐_AN



_

_

_{1 , 0 , 1}_

_

_﹐

所以cos AM AN

MAN

AM AN

 

 



 

   

 

²

 

²

2 2 2 2

1 1 1 0 2 1

1 1 2 1 0 1

      

      

3 3

2

6 2

 

 ﹒

因此MAN 30 ﹒

5. 右圖是坐標空間中的一個正立方體﹐選出正確的選項﹕

(1) E 點的坐標為  ^{2 2 2} ^{, ,}  ⁽²⁾ ^DC  ^{ }  ^{2 , 2 ,} ^ ² 

(3) OE   2 3

(4) DG    GC

(5) BD 

和 BG 

的夾角為 45 ﹒

由A點的坐標可知此正立方體的邊長為2﹒ (1)E點的坐標為



^{2 2 2}^{, ,}



^{是正確的﹒}

(2)D點的坐標為



^{2 0 2}^{, ,}



^﹐^C^{點的坐標為}



^{0 2 0}^{, ,}



^﹐故^DC



^{ }



^{2 2}_{, ,}^²



_{是正確的﹒}

(3)因為E的點坐標為



^{2 2 2}^{, ,}



^﹐所以 ^OE



^ ²²^²²^²²^^{2 3}_{是正確的﹒}

(4)因為^DG



^{ }



^{2 0 0}_{, ,}



_﹐_GC



_

_

_{0 2}_{, ,}_₂

_

_﹐計算_{DG GC}

 

_ _₀_﹐

所以DG

 

GC_{是正確的﹒}

(5)因為^BD



^



⁰_,^^{2 2}_,



_﹐

_ _

2 2 2

BG  



_, _, _﹐計算

8 BD BG 

 

_{﹐得兩向量之夾角}__的餘弦值

為 8 2 2

cos cos 45

2 2 2 3 6 2 BD BG

BD BG

 ^     



   

^﹐

所以BD



_和_BG



_{的夾角不是}_45_﹒

由上面的討論可知：正確的選項為(1)(2)(3)(4)﹒

6. 右圖中﹐ ABCD  EFGH 是一個正立方體﹐選出正確的選

項﹕

(11)

(1) EA EG     0

(2) ED EF     0

(3) EC AG     0 (4) EF EH      AC

(5) EF EA EH        EC

﹒

將正立方體放在坐標空間中﹐如右圖所示﹕

(1)^{EA EG}

 

^ ^



^{0 , 0 , 1}^{  }

 

^{1 , 1 , 0}



^⁰_﹒

(2)^{ED EF}

 

^ ^{ }



^{1 , 0 , 1}^{ }

 

^{0 , 1 , 0}



^⁰_﹒

(3)^{EC AG}

 

^ ^{ }



^{1 , 1 , 1}^{  }

 

^{1 , 1 , 1}



^¹_﹒

(4)EF

   

EHEGAC_﹒

(5)EF

      

EA EH EFFB BC EC_﹒

由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(4)(5)﹒

7. 設  a

﹐  b

是空間中的兩向量﹐  a  3

﹐  b  4

﹐   a  b  41

﹒求

(1)   a  b

的值﹒ (2)   a  b

的值﹒

(1)因為

2 2 2

2

a  b  a  b  a  b  a  a  b  b

         

_﹐

所以

2 2 2

41 9 16

2 2 8

a b a b

a b

  

     

   

 

_﹒

(2)因為

2 2 2

2

a  b  a  b  a  b  a  a  b  b

         

_﹐

所以

2

2 2

3 2 8 4 9

a  b     

 

_﹐即

 

_a _ _b _₃_﹒

8. 設實數 x ﹐ y ﹐ z 滿足 x  2 y  4 z  12 ﹐求 x

²

 4 y

²

 4 z

²

的最小值﹐並求此時 x ﹐ y 與 z 的值﹒

利用柯西不等式﹐得



^x²^

   

²^y ²^ ²^z ²

 ^

¹²^{ }¹² ²²

^

^

^

^x^²^y^⁴^z

^

²^﹐

將x2y4z12代入﹐得



^x²^⁴^y²^⁴^z²



^{ }^{6 12}²^﹐即^x²^⁴^y²^⁴^z²^²⁴^﹐

而且當 2 2

1 1 2

x y z

  t﹐即xt﹐ 2

yt ﹐zt時等號才成立﹒將其代入x2y4z12﹐ 得6t12﹐解得t2﹒故當x2﹐y1﹐z2時﹐x²4y²4z²有最小值24﹒

9. 設實數 x ﹐ y ﹐ z 滿足  ^x ^ ² 

²

^ ^y

²

^ ⁴ ^z

²

^ ⁹ ^﹐求 ² ^x ^{ } ^y ⁴ ^z ^{的最大值與最}

小值﹐並分別求有最大值與最小值時 x ﹐ y 與 z 的值﹒

(12)

利用柯西不等式﹐得

 

^x^²



²^^y²^

 

²^z ²

 

²²^{ }

^{ }

¹²^²²



^

^

²^x^{  }⁴ ^y ⁴^z

^

²^﹐

將



^x^²



²^^y²^⁴^z²^⁹^代入﹐得^{9 9}^{ }



²^x^{ }^y ⁴^z^⁴



²^，

即 9 2x y 4z 4 9﹐整理得 5 2x y 4z13﹒ 而且當 2 2

2 1 2

x y z

   t

 ﹐即x2t2﹐y t﹐zt時等號才成立﹒

將其代入



^x^²



²^^y²^⁴^z²^⁹^﹐整理得⁹^t²^⁹^﹐

解得t 1﹐即



^{x y z}^, ^,

 

^ ^{4 , 1 , 1}^



^或



^{0 , 1 , 1}^



^﹒

故當x4﹐y 1﹐z1時﹐2x y 4z有最大值13﹔ 當x0﹐y1﹐z 1時﹐2x y 4z有最小值5﹒

10. 已知空間中三點 ^P  ^{1, 1, 2} ^  ^﹐ ^Q  ^{  } ^{3, 3, 2}  ^﹐ ^R  ^ ^{3, 0,1}  ^﹐求

(1)向量 PR 

在 PQ 

上的正射影﹒ (2)點 R 到直線 PQ 的最短距離﹒

(1)設



PR_在_PQ



_{上的正射影為}



_a _﹐計算



_PR_{ }

_

_{4,1, 1}_

_

_﹐_PQ



_{   }

_

_{4, 2, 4}

_

_﹐

利用正射影公式﹐得 2

 

18 1

2, 1, 2

36 2

PR PQ

a PQ PQ PQ

PQ

 

    

 

        

 

 

      

^﹒

故



PR_在_PQ



_

_{  }_{2, 1, 2}

_

_﹒

(2) 設



PR_在_PQ



_PA_{﹐如圖所示﹕}

可知點R到直線PQ的最短距離為



RA _﹒

計算

  

^RA^^RP^^PA^



^{4, 1,1}^

 

^{    }^{2, 1, 2}

 

^{2, 2, 1}^{ }



_﹐

故點R到直線PQ的最短距離



^RA ^ ²²^{ }

   

² ²^{ }¹² ^³_﹒

11. 右圖中﹐ O  ABCD 是一個各邊長均為 2 的四角錐﹐

其中 ABCD 是一個正方形﹒選出正確的選項﹕

(1) OA OB OC OD          0

(2) OA OB OC OD          0 (3) OA OB OC OD          0

(4) OA OB       OC OD  (5) OA OC     2

﹒ [仿 93 學測]

(13)

設點O在底面ABCD的投影點為G﹐點E﹐F分別為AB

與CD的中點﹒

(1)OA OB OC OD   2OE OF 4OG 0

       

_﹒

(2)OA OB OC OD   2OE OF  0

      

_﹒

(3)OA OB OC OD   OA OC OB OD 

       

_₂_OG

  

_₂_OG_ ₀ _﹒

(4)因為邊長均為2﹐且AOB COD 60 ﹐ 所以OA OB

 

   2 2 cos 60 OC OD

 

 _﹒

(5)因為OAOC2﹐AC AB²BC²  2²2²2 2﹐即△AOC 之三邊長為2﹐2﹐2 2﹐ 所以△AOC 是等腰直角三角形﹐可得OAOC﹐故OA OC

 

 0_﹒

由上面的討論可知﹕正確的選項為(3)(4)﹒

12. 右圖中﹐ ABCD 是一個正四面體﹐證明﹕ AB 

和 CD 

垂直﹒

取CD的中點M ﹐連接AM﹐BM﹐如右圖所示﹒

因為△ACD﹐△BCD皆為正三角形﹐

所以AMCD﹐BMCD﹐即 0

AM CD

 

  _﹐

0 MB CD

 

  _﹒ 計算AB CD AMMBCD

    

__{AM CD}

   

_ __{MB CD}_

0 0 0

   ﹐ 因此



AB_和_CD



_垂直﹒

(14)

1-4 外積、體積與行列式

1. 設向量  ^a ^  ^{1 , 1 , 1} ^  _﹐ _ _

2 , 0 , 1

b  

 _﹐求﹕

(1)   a  b

與   b  a

﹒ (2) 由  a 與  b

所張出之平行四邊形的面積﹒

(1)根據外積的定義﹐得

 

1 1 1 1 1 1

, , 1 , 1 , 2

0 1 1 2 2 0

a b    

       

 

_﹒

 

0 1 1 2 2 0

, , 1 , 1 , 2

1 1 1 1 1 1

b a    

    

 

_﹒

(2)由



a _與



_b 所張出之平行四邊形的面積為

     

¹² ¹² ² ² ⁶

a b       

 

_﹒

2. 已知  n

與兩向量  ^a ^  ^{1 , 1 , 0} ^  _﹐ _ _

3 , 4 , 4

b  

 _{均垂直﹐且}

9 n 

 ﹐求  n

﹒

因為

 

a b _和



_a _與



_b _{均垂直﹐所以}



_n _與

 

_a _ _b _平行﹐即

n t a  b 

  

_﹐

t是實數﹒

計算 1 0 0 1 1 1

, ,

4 4 4 3 3 4

a b    

     

 

_

_

_{4 , 4 , 7}

_

_﹐可得



_n __t

_

_{4 , 4 , 7}

_{ }

_ _{4 , 4 , 7}_t _t _t

_

_﹒

因為



ⁿ ^

     

⁴^t ²^ ⁴^t ²^ ⁷^t ² ^⁹^t _﹐又



_n _₉_﹐所以﹐ _t _₁_﹐解得_t_{ }₁_﹒

故



n _為

_ _

4 , 4 , 7 或



^{ }^{4 ,} ^{4 ,}^⁷



^﹒

第 1 章空間向量

(15)

◎3. (1) 求由三向量  ^a ^  ^{3 , 1 , 1} ^ 

﹐  ^b ^{ }  ^{2 , 0 , 1} 

﹐  ^c ^  ^{2 , 2 , 1} 

所張出之平行六面體的體積﹒

(2)已知空間中 ^A  ^{1 , 2 , 2}  ^﹐ ^B  ^{2 , 1 , 3}  ^﹐ ^C  ^ ^{1 , 5 , 1}  ^﹐ ^{D a}  ^{, 1 ,} ^a  ^四點共平

面﹐求 a 的值﹒

(1) 利用平行六面體的體積公式﹐得其體積V為

 

1 1 1 3 3 1

, , 2 , 2 , 1

0 1 1 2 2 0

V a b  c      

  

^



^{1 , 1 , 2}^

 

^ ^{2 , 2 , 1}



       ^{1 2}

 

^{1 2} ^{2 1} ² ²﹒ (2) 因為A﹐B﹐C﹐D四點共平面﹐所以三向量



^{1 , 1 , 1}



AB 



_﹐

_ _

2 , 3 , 1 AC  



_﹐

_ _

1 , 1 , 2 AD a  a



共平面﹐所以由



AB_﹐



AC_﹐

AD



所張出之平行六面體的體積為0﹐即

1 1 1

2 3 1 0

1 1 2

a a



  

  

﹐

展開得³^a     ⁶ ^a ^{1 2 1 2}



^a²

 

³ ^a ¹



⁰﹐ 整理得  a 1 0﹐解得a1﹒

4. 設 ^A  ^{ } ^{3 ,} ^{2 , 1}  ^﹐ ^B  ^{3 , 1 , 1}  ^﹐ ^C  ^ ^{1 , 0 , 2}  ^{為空間中三點﹐求﹕}

(1) △ ABC 的面積﹒ (2)點 B 到直線 AC 的距離﹒

(1)計算



^AB^



^{6 , 3 , 0}



_﹐_AC



_

_

_{2 , 2 , 1}

_

_﹐則_△_ABC_的面積為

     

1 1 1 9

6 , 3 , 0 2 , 2 , 1 3 , 6 , 6

2

 

ABAC 2  2  2_﹒

(2)由右圖可知﹕點B到直線AC的距離﹐

就是△ABC中以AC為底邊之高h的長﹒

因為^AC^



^{2 , 2 , 1}



^ ²²^²²^{ }¹² ³﹐ 又△ABC的面積為 3 9

2 2 2

AC h  h ﹐ 解得h3﹐所以點B到直線AC的距離為3﹒

(16)

5. 設  a

﹐b 

是空間中二個不平行的非零向量﹐且非零向量  n

滿足   n  a

﹐ n  b

  ﹒選出正確的選項﹕

(1) 3 a     a  b   

  

(2) b     b  a     0

  

(3)      a  b  b  a  0

(4)  n  t

(   a  b )

﹐ t 是一個實數 (5) 3 a  4 b  s    a  b   

   

﹐ s 是一個實數﹒

(1)因為 a  a b 

  

_﹐所以₃ _a  _a  _b 

  

_﹒

(2)因為 b  b a 

  

_﹐所以 _b  _b  _a ₀

  

_﹒

(3)因為 b  a   a  b 

   

_﹐所以 _a  _b  _b  _a ₂ _a  _b  ₀

      

_﹒

(4)因為 a  b  a

  

_﹐ _a  _b  _b

  

_﹐所以 _n _// _a _b 

  

_﹐即

n t a b 

  

_﹐_t_{是一個實數﹒}

(5)因為3 a 4 b 

 

_與

a b

  

 

 

 

_{垂直﹐而非平行﹐所以}

3

 

a 4 b _{不能表示成}

a b

  

 

 

 

_的係

數積﹒

由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(4)﹒

由上面的算式可知﹕正確的選項為(1)(2)(3)(5)﹒

(17)

2-1 空間中的平面

1. (1)求通過點 ^A  ^{1 , 2 , 3}  ^﹐且以  ⁿ ^  ^{3 ,} ^ ^{2 , 1} 

為法向量之平面 E 的方程式﹒

(2)求通過點 ^A  ^{1 , 2 , 3}  ^﹐且與 ^x ^{軸垂直之平面} ^F ^{的方程式﹒}

(1)因為



ⁿ ^



^{3 ,}^^{2 , 1}



_為平面_E_{的一個法向量﹐}

所以可設平面E的方程式為3x2y z d﹐

又因為平面E通過點^A



^{1 , 2 , 3}



^﹐所以^d     ^{3 1 2 2 3} ²﹐ 故平面E的方程式為3x2y z 2﹒

(2)因為



^{1 , 0 , 0}



^是^x^{軸的一個方向向量﹐}

所以



^{1 , 0 , 0}



^是平面^F^{的一個法向量﹐}

因此可設平面F的方程式為xd﹐ 又因為平面F通過點^A



^{1 , 2 , 3}



^﹐

所以d1﹐故平面F的方程式為x1﹒

2. 求通過 ^A  ^{1 , 1 , 1} ^  ^﹐ ^B  ^{2 , 1 , 1}  ^﹐ ^C  ^{3 , 5 , 0}  ^{三點之平面} ^E ^{的方程式﹒}

由A﹐B﹐C三點的坐標可得



^AB^



^{1 , 2 , 0}



_﹐

_ _

2 , 6 , 1 AC 



_﹐

且



AB_與

AC



_的外積為

_ _{  } _

2 , 1 , 2 1 2 , 1 , 2 ABAC     

 

_﹒

因為外積

 

ABAC_與



_AB_﹐_AC



_{均垂直﹐所以}

_

_{2 , 1 ,}_{ }₂

_

_是平面_E_的一

個法向量﹐並設E的方程式為2x y 2zd﹒ 因為E通過點



^{1 , 1 , 1}^



^﹐所以^d       ^{2 1 1}

 

¹ ^{2 1 1}, 故平面E的方程式為2x y 2z1﹒

3. 設 A ﹐ B ﹐ C 為空間坐標中的三點﹐且分別在 x 軸﹐

y 軸與 z 軸的正向上﹐ O 為原點﹐且 OA  3 ﹐ OB  4 ﹐ 5

OC  ﹐如右圖所示﹒

(1)求通過 A ﹐ B ﹐ C 三點之平面 E 的方程式﹒

(2)若 ^D  ^{3 , 2 ,} ^c  ^為平面 ^E ^{上一點﹐則} ^c ^{的值為何﹖}

第 2 章空間中的平面與直線

(18)

(1)由圖可知A﹐B﹐C三點的坐標分別為^A



^{3 , 0 , 0}



^﹐^B



^{0 , 4 , 0}



^﹐^C



^{0 , 0 , 5}



^﹒

利用截距式可得平面E的方程式為 1

3 4 5

x  y z ﹒

(2)因為^D



^{3 , 2 ,}^c



^為平面^E^{上一點﹐所以}³ ² ¹

3 4 5

  c ﹐解得 5 c 2﹒

4. 求兩平面 E

₁

: x  2 y   z 3 和 E

₂

: x   y 3 的夾角﹒

設為平面E₁的法向量



n1 



1 , 2 , 1



_與平面

E2的法向量



n2 



1 , 1 , 0



_的夾角﹒

因為

 

1 2

2 2 2 2 2 2

1 2

1 1 2 1 1 0 3 3

cos 1 2 1 1 1 0 2 3 2

n n n n

          

    

   

^﹐

所以等於30﹐因此兩平面的夾角為30與180   30 150﹒

5. 關於平面 E : 3 x  2 y   z 4 ﹐選出正確的選項﹕

(1)平面 x    y z 3 與 E 垂直 (2)平面 3 x  4 y   z 5 與 E 垂直 (3)平面 x  3 y  3 z  8 與 E 垂直 (4)平面   3 x 2 y   z 6 與 E 平行 (5)平面 75 x  50 y  25 z  100 與 E 平行﹒



^{3 ,}^^{2 , 1}



^是平面^E^{: 3}^x^²^y^{ }^z ⁴^{的一個法向量﹒}

(1)因為x  y z 3的一個法向量為



^{1 , 1 , 1}^



^﹐又



^{1 , 1 , 1}^{ }

 

^{3 ,}^^{2 , 1}



^⁰^﹐

所以平面x  y z 3與E垂直﹒

(2)因為3x4y z 5的一個法向量為



^{3 , 4 , 1}



﹐又



^{3 , 4 , 1} 

 

^{3 ,}^{2 , 1}



⁰﹐ 所以平面3x4y z 5與E垂直﹒

(3)因為



^{1 , 3 , 3}



^是^x^³^y^³^z^⁸^{的一個法向量﹐又}



^{1 , 3 , 3}

 

^ ^{3 ,}^^{2 , 1}



^⁰^﹐

所以平面x3y3z8與E垂直﹒

(4)將 3x 2y z 6改寫成3x2y  z 6﹐因為



^{3 ,}^^{2 , 1}



^是平面^{ }³^x ²^y^{ }^z ⁶^的一個法

向量﹐與



^{3 ,}^^{2 , 1}



^相同﹐且^{ }⁶ ⁴^{﹐所以平面}^{ }³^x ²^y^{ }^z ⁶^與^E^平行﹒

(5)因為75x50y25z100的一個法向量為



^{75 , 50 ,}²⁵



25 3 , 2 , 1







﹐ 又



^{3 , 2 , 1}^



^與



^{3 ,}^^{2 , 1}



^{不平行﹐所以平面}⁷⁵^x^⁵⁰^y^²⁵^z^¹⁰⁰^與^E^不平行﹒

由上面的討論可知：正確的選項為(1)(2)(3)(4)﹒

6. 已知空間中三平面 E

₁

: 2 x  2 y   z 5 ﹐ E

₂

: x  2 y  cz  3 ﹐

3

: 4 10

E ax by   z  ﹐且 E

₁

 E

₂

﹐ E

₂

// E

₃

﹐求

(1) a ﹐ b ﹐ c 的值﹒ (2)求兩平行平面 E

₂

﹐ E

₃

的距離﹒

(1) E₁﹐E₂﹐E₃的法向量分別為



^{2, 2,1}



^﹐



^{1, 2,c}^



^﹐



^{a b}^{, , 4}



^﹒

因為E₁E₂﹐所以



^{2, 2,1}

 

^{ }^{1, 2,}^c



^⁰^﹐解得^c^²^﹔

第1 章空間向量

1-1 空間概念

1. 右圖是一個長方體﹐下列哪些直線與直線 AB 歪斜﹖

(1)直線 CD (2)直線 CG (3)直線 CH (4)直線 AG (5)直線 HG ﹒

2. 右圖中﹐ ABCD  EFGH 是一個長方體﹐ ABCD 是一個邊長 為 2 的正方形﹒若 AG  2 6 ﹐則長方體的體積為何﹖

3. 右圖是一個四面體 D  ABC ﹐其中 AB  BC  CA  6 ﹐ DA  DB  DC  4 ﹐ 從 頂 點 D 對 底 面 ABC 做 垂 直 線 DH 交底面於 H 點﹐線段 DH 稱為此四面體的一個高﹒

求﹕

(1)高 DH 的長﹒ (2)底面 ABC 與側面 BCD 所夾之二面角  的餘弦值﹒