§1−3 空間向量

(1)

§1 − 3 空間向量

(甲)空間向量的坐標表示法

空間向量的坐標表示法：

(1)位置向量：

仿照平面坐標系中向量的表示法，在空間坐標系中，向量也可以用坐標表示。

設 a 為空間中一向量，取一個空間坐標系，其中 O 為原點，如何用坐標來表示 a 呢？

對於空間中任一向量 a ，平移 a 使得 a = OP，其中 O為原點，此時OP稱為 P 點的位置向量。

設 P 點的坐標為(a1,a2,a3)，用坐標(a1,a2,a3)來表示向量 a ，記為 a =(a1,a2,a3)。

而 a1、a2和 a3分別稱為向量 a 的 x分量、y分量與 z 分量。

特別零向量 0 =(0,0,0)。

因為 a 的長度為⎯OP，所以| a |=⎯OP = a12+a22+a32

。

(練習1) 設空間坐標系中，O 為原點，P點的坐標為(−9,12,8)，若 a = OP，試求：

(1) a 的坐標表示法。(2)| a |。

(2)向量相等：

因為對於空間中的任一向量 a，存在唯一的位置向量OP，使得 a = OP，所以 a 的坐標表示法是唯一的。

若 a =(a1 , a2 , a3)、b =(b1 , b2 , b3)，則 a = b 的充要條件為 a1=b1、a2=b2、a3=b3。 (3)反向量：

設 P、P^/點的坐標分別為(a1 , a2 , a3)、(−a1 , −a2 , −a3)，所以OP 與OP^/互為反向量，

故 a =(a1 , a2 , a3)的反向量− a =(−a1 , −a2 , −a3)。

(2)兩點決定一個向量：

設 A(a1、a2、a3)、B(b1,b2,b3)，則AB=？

[作法]：

在空間坐標系中有唯一的位置向量OP，使得AB= OP，若 O、A、B三點不共線，則 OABP 為平行四邊形，

(2)

若 O、A、B三點共線，則⎯

OA=⎯

PB，

故⎯AP的中點與⎯OB中點重合，故利用中點公式，可以得到

P點坐標為(b1−a1 , b2−a2 , b3−a3)。

故AB=(b1−a1 , b2−a2 , b3−a3) 結論：

(1) u =(a,b,c)，其中 a 稱為 u 的 x 分量，b 稱為 u 的 y 分量，c 稱為 u 的 z 分量。

(2)若 u =(a,b,c)，則| u |= a²+b²+c² 。

(3)若 u =(a,b,c)， v =(p,q,r)則 u = v ⇔ a=p,b=q,c=r。

(4)若設 i =(1,0,0)、 j =(0,1,0)、 k =(0,0,1)，

則向量 u =(a,b,c) ⇔ u = a i + b j + c k

(5) 設 A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)為坐標平面上的兩點，則AB=(x2−x1 , y2−y1,z2−z1)。

(練習2) 長方體 ABCD−EFGH 中，⎯AB=6、⎯AD=2,

⎯AE=4。取長方體中心 O 為原點，且 x、y、z 軸

分別平行直線 AD、AB、AE，

(1)用坐標表示AG。

(2)若CE =MN，其中 M(−3,7,0)，

試求 N的坐標

Ans：(1) AG=(−2,6,−4) (2)N(−1,1,−4)

空間坐標向量的加法、減法與係數積：

空間向量的加、減法與係數積，其幾何意義與平面向量相同，仿照平面向量的討論方法，以坐標表示時，空間坐標向量的加法、減法與係數積的意義如下：

設 a =(a1,a2,a3)， b =(b1,b2,b3)，則 (1) a + b =(a1+b1，a2+b2，a3+ b3) (2) a − b =(a1−b1，a2−b2，a3−b3) (3)r⋅ a =(ra1,ra2,ra3)，r∈R

(練習3) 若 a =(3,1,−2)、 b =(2,3,1)，試求 a + b 、3 a −2 b 、| a − b | Ans： a + b =(5,4,−1)、3 a −2 b =(5,−3,−8)、| a − b |= 14 (4)向量平行

設 a 、 b 為空間中向量，如同平面向量，依然可以定義兩向量平行的概念，

a // b ⇔ a =k b 或 b =t a ⇔ (a1,a2,a3)與(b1,b2,b3) 各分量成比例。

(3)

A(0,0,0) B(2,1,3) D(−1,1,−1) C E(1,-3,2)

F H G

(5)分點公式與線性組合：

(a)分點公式：

空間向量與平面向量的運算性質類似，所以分點公式的形式都相同。

設 A、B 為空間中相異兩點，O為空間中任一點，

設點 P在線段 AB上，且⎯AP：⎯PB =m：n，則恆有OP = n

m+nOA+ m

m+nOB。若 O 點不在直線 AB 上，在 O、A、B 所決定的唯一平面上，上述的表示法，

就如同平面上一樣是唯一的。

(b)線性組合：

若將OP表示成 xOA+yOB的形式，則稱 xOA+yOB為OA與OB的線性組合。

[例題1] 若△ABC的頂點為A(4,1,3), (6,3, 4)B , (4,5,6)C ，試求：

(1)∠A之內角平分線交BC於D，求D點坐標 (2)∠A之外角平分線交BC於E，求E點坐標。

Ans：(1) (21 4 ,

15 4 ,

19

4 ) (2)(9,01)

(練習4) 如右上圖，每一個面皆為平行四邊形的六面體，

稱為平行六面體，

(a)求 G點的坐標。(b)用坐標表示FC Ans：(a)G(2,−1,4) (b)(−2,4,−3)

(練習5) 若 A( 1,3, 2)− , (1,0, 2)B , (C k+m,1, 2k−m)三點共線，則( , )k m =______。

Ans： 7 4

( , ) ( , )

9 9

k m = −

(練習6) 設 A(2,3,−1)、B(−4,1,−4)為空間坐標中兩點，P 為直線 AB 上一點，且

⎯AP：⎯PB =2：1(1)若 P 在⎯AB上，求 P 點坐標。(2)若 P不在⎯AB上，求 P 點坐標。Ans：(1) (−2, 5

3 ,−3) (2)(−10,−1,−7)

P A

O

B

(4)

(練習7) 設 A x y z( , , )₁ ₁ ₁ , B x y z( , , )₂ ₂ ₂ , C x y z( , , )₃ ₃ ₃ ，試證明：

ΔABC的重心 G 坐標為 )

, 3 , 3

(x¹+x3² +x³ y¹+y² +y³ z¹+z² +z³

。

(丙)空間向量內積的坐標表示法

空間中任一兩個不平行的非零向量，可以平移到同一個起點，這兩個向量可以決定一個平面，所以關於這兩個向量的夾角與內積，其定義方式與平面向量完全一樣。

空間向量內積的坐標表示法：

若 a =(a1,a2,a3), b =(b1,b2,b3)，則 a ． b =| a || b |cosθ =a1b1+a2b2+a3b3

[證明]：

(1°)設 a 與 b 均不為 0 ：

(A) a 與 b 不平行：

設 a =OA=(a1,a2,a3)和 b =OB=(b1,b2,b3)且兩向量的夾角為θ，在ΔAOB中利用餘弦定理，

可得|BA|²=|OA|²+|OB|²−2|OA||OB|cosθ 因為BA= (a1−b1，a2−b2，a3−b3)

所以 a ． b =OA．OB

=|OA||OB|cosθ =1

2(|OA|²+|OB|²− |BA|²) =1

2{(a12+a22+a32)+(b12+b22+b32)−[(a1−b1)²+(a2−b2)²+(a3−b3)²]}

=1

2(2a1b1+2a2b2+2a3b3) = a1b1+a2b2+a3b3

(B) a 與 b 平行

設 a =t b ，即(a1,a2,a3)=t(b1,b2,b3)

a ． b =( t b )． b =t| b |²=t(b12+b22+b32)

另一方面，a₁b1+a2b2+a3b3=(tb1)b1+(tb2)b2+(tb3)b3= t(b12+b22+b32) 故 a ． b = a1b1+a2b2+a3b3。

(2°) a 、 b 有一為 0 ，顯然 a ． b = a₁b1+a2b2+a3b3成立。

O

A

x

y z

B

(5)

[例題2] 設A(2,3,4)、B(1,4,2)、C(4,4,4)為空間中三點，設∠BAC=θ，試求 (1)AB∙AC (2)cosθ (3)ΔABC的面積

Ans：(1)−1 (2) −1 30 (3)

2 29

(練習8) 如圖，設 A(0,1,1)、B(1,1,0)為空間中兩點，O 為原

點，試問⎯OA與⎯OB會垂直嗎？若不垂直，求∠AOB。

Ans：∠AOB=60°

(練習9) 設 A(−2,1,3)、B(−1,0,2)、C(5,4,3)為空間中三點，設∠BAC=θ，試求

(1)AB∙AC (2)cosθ (3)ΔABC 的面積 Ans：(1)4 (2) 4

174 (3) 2 158

內積的性質

空間向量內積的性質與平面向量一樣。

(1)若 a , b 都不是零向量，則 a ⊥ b ⇔ a ． b =0。

(2)| a |²= a ． a | a |²=0 ⇔ a = 0

(3)|m a +n b |²=|m a |²+2mn a ． b +|n b |² (4)(r⋅ a )． b = a ．(r⋅ b )=r( a ． b ) (5) a ．( b + c )= a ． b + a ． c (練習10) 設 a^v=( , , )a a a₁ ₂ ₃ , bv=( , , )b b b₁ ₂ ₃

, c^v=( , , )c c c₁ ₂ ₃ 為空間中任三個向量， R

r∈ ，

試利用內積公式a bv⋅ =v a b_{1 1}+a b_{2 2}+a b_{3 3}驗證下列性質：

(a) a ∙ b = b ∙ a (b) | a |²= a ． a | a |²=0 ⇔ a = 0 (c)(r a )∙ b =r( a ∙ b )= a ∙(r b ) (d) a ∙( b + c )= a ∙ b + a ∙ c 。

(6)

(3)內積的應用：

設空間向量 a =(a1,a2,a3)、 b =(b1,b2,b3) (1)求夾角：cosθ = a ． b

| a || b |

= a1b1+a2b2+a3b3

a12+a22+a32

b12+b22+b32

(2)求面積：

設 a ， b 為非平行的兩向量，

由 a 與 b 所展成的平行四邊形面積為 | a |²| b |²−( a ． b )² 由 a 與 b 所展成的三角形面積為1

2 | a |²| b |²−( a ． b )² 。

(3)求正射影： a 對 b 的正射影為( a ． b

| b |²

) b 。

(4)柯西不等式：

向量形式：

設 a , b 為平面上任意二向量，則| a ． b |≤| a || b |，等號成立 ⇔ a // b 。一般形式：

若 a1,a2,a3,b1,b2,b3為任意六個實數，

則(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)²，等號成立⇔(a1,a2,a3)=t(b1,b2,b3) 證明：可設 a =(a1,a2,a3)， b =(b1,b2,b3)，因為| a |²| b |²≥| a ． b |²

所以(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)²。等號成立 ⇔ a // b ⇔ (a1,a2,a3)=t(b1,b2,b3)。

[例題3] 若已知空間中三點A(1,0,1), (3, 1, 2)B − , (0,1, 1)C − ，且點B在直線AC 上之投

影點為H，試求：

(1)AB在AC上之正射影AH

(2) AB在AC上之正射影長|AH|

(3)△ABC的面積

(4)B到直線AC的距離=⎯BH (5)H點坐標

Ans：(1)( 5 6 ,−5

6 , 5

3 ) (2) 5 6

6 (3) 11 2 (4)

66

6 (5)H(

11 6 ,−5

6 , 8

3 )

(7)

C

A B

D

E F

H G

x

y z

[例題4] 如右圖，由周長為12之三角形的三邊分別向外作正方形，試問當三角形為何種三角形時，三個正方形的面積和有最小值？又這個最小值等於多少？

Ans：正三角形，48

[例題5] (坐標化用內積求幾何量)

右圖為長方體ABCD−EFGH中，⎯AB =4，⎯AD =2，⎯AE =3，則 (1)AC⋅AF =？

(2)設直線AG、BH的銳交角為α，試求cosα=？

(3)ΔFAC的面積=？

[答案]：(1)16 (2)3

29(3) 61 [坐標化]：

(1)如右圖，將D點置於坐標原點

A(2,0,0)、B(2,4,0)、C(0,4,0)、H(0,0,3)、F(2,4,3)、G(0,4,3) AC=(−2,4,0)，AF =(0,4,3)⇒AC⋅AF =16

(2)將直線AG、BH的交角視為AG、BH的夾角θ，

QAG=(−2,4,3)、BH=(−2,−4,3)

(8)

A B D C

E F

H G

K

A B

D C

E F

H G cosθ= AG⋅BH

|AG||BH| =−3

29 ⇒α=180−θ，所以cosα=3 29 (3)ΔFAC的面積=1

2 |AC|²| AF |²−(AC⋅AF )²=1

2 20×25−16² = 61 。 [非坐標化]

(1)連AF、AC，在ΔACF中使用餘弦公式

⎯FC²=⎯AF²+⎯AC²−2⎯AF⋅⎯AC⋅cos(∠FAC)

⇒AC⋅AF =⎯AF⋅⎯AC⋅cos(∠FAC)=1

2(25+20−13)=16。

(2)連⎯AG、⎯BH，設⎯AG、⎯BH的交點為K，在ΔAKH中使用餘弦公式

⇒⎯AH²=⎯KH²+⎯KA²−2⎯KH⋅⎯KA⋅cos(∠AKH)

⇒ cos(∠AKH)=3 29。 (3)ΔFAC的面積=1

2 |AC|²| AF |²−(AC⋅AF )²

=1

2 20×25−16² = 61。

(練習11) 空間中三點 A(1, 2, 1)− , B( 1,0, 2)− , C(2,1,1)，求：

(1)AB在AC上之正射影 (2)若AB與AC的夾角為 θ，則 cosθ=？

(3)點 B 到直線 AC之距離 (4)△ ABC的面積=? Ans：(1) (1, 1, 2)− (2) ⁶

17 (3) 11 (4) 66 2

(練習12) a, b, c 為實數，且a b c+ + =4，則a²+2a b+ −² 4b c+ +² 1之最小值為何？

Ans：−1

(練習13) 設 x, y, z為正實數，若 x+ + =y z 5，試求

z y x

16 9

4+ + 之最小值及此時數對 ( , , )x y z 為何？Ans：

5

81, 10 5 20 ( , , )

9 3 9

(練習14) (1)若實數 x, y, z 滿足x−2y+2z=5，求(x+5)²+ −(y 1)²+ +(z 3)²的最小值，並求此時之數對( , , )x y z 。

(2) , ,x y z∈R，求

2 2

2 4

2

z y x

+ +

+

− 之最大值為。 Ans：(1)36、( , , ) ( 3, 3,1)x y z = − − (2) 21

2

(練習15) 如附圖，長方體 ABCD-EFGH 中， AB=3, AD=2, AE=1，求 (1) AB DH

v v

⋅ =^___

(9)

(2) AC GE

v v

⋅ =^___

(3) AC EC

v v

⋅ =^___

(4) AF

v

^與 ^HB

v

^之夾角為θ，則cosθ =___

△

(5) BEG的面積=___。

Ans：(1)0 (2)−13 (3)13 (4) 4

35 (5) 7 2

(10)

E

F

D

B A

C

綜合練習

(1) 如右圖，ABCD−EFGH為一平行六面體(每個面都是平行四邊形)，J為四邊形BCGF的中心，如果

AJ =aAB+bAD+cAE，試問下列哪些選項是正確

的？

(A) 1 3 <a< 2

3 (B)a+b+c=2 (C)a=1 (D)a=2c (E)a=b

(2) 設△ABC之頂點為A(2,3, 4)− , (1,1, 2)B − , ( 2,7, 6)

C − − ，則

(a)∠A之內角平分線交BC於D點之坐標為。

(b)∠A之外角平分線交BC於E點之坐標為。

(3) 設A(5, 2, 4), ( , ,5)B a b , (2, 1,7)C − 三點共線，則(a) ( , )a b =? (b)AB BC: =? (4) 三空間向量av=(2, 1, 2)− − , b^v=(1, 2, 2), cv= +a tbv v，則：

(a)當t=____時，| |cv 有最小值____ (b)若cv平分av與bv

之夾角，則t=____。

(5) 已知一正立方體的三頂點為A(5,2,9)、B(1,6,5)、C(3,4,1) (a)試求此正立方體的中心點坐標。

(b)設E為平面ABC，P為E上一點，且滿足AP = 2

5 AB+tAC，試求在平面E上，

使得P點落在ΔABC內部之實數t的範圍。

(6) 設空間中三點A(1,0,6), (4,5, 2)B − , (7,3, 4)C ，求：

(a)AB∙AC= (b)∠BAC= (c) AB在AC的正射影為_______

(d)△ABC面積為________ (e)B到AC直線的距離為

(f)若E在BC上，且△ABE和△ACE的面積比為1: 2，求E坐標______。

(7) 空間中，以AB為共同邊的兩正方形 ABCD、ABEF，其邊長皆為 4，已知內積AD．

AF =20，則AC．AE＝。

(8) a =(1,2,λ−1), b =(4,1,−λ), c =(−1,2,λ+3)，若 a、b、c 兩兩互相垂直，求λ值。

(9) 設 OA

v

=(1, 2, 1)− ^, ^OB

v

=^(2,0,1)^，若 ^OC

v v

⊥^OB^, ^BC

v

^//^OA

v

^，求 ^AC

v

^。

(10) 設 a =(1,−1,−1), b =(2,−1,3)，若向量 c 與 a 垂直，與 b 的夾角為60°，且 c 的長度為 14，則向量 c 可為。 (11) 下左圖是一個正立方體，被平面截出一個四邊形ABCD，其

中B、D分別是稜的中點，且⎯EA：⎯AF = 1：2。則cos∠DAB=？

(11)

(2002學科)

(12) 上右圖為一正立方體，若M在線段AB上，⎯ BM⎯

=2AM，N⎯ 為線段⎯BC之中點，則 cos∠MON= 。

（分數要化成最簡分數）(2006學科)

(13) 如右圖所示，ABCD−EFGH為邊長等於1之正立方體。若P點在立方體之內部且滿足AP =3

4AB+

1 2AD+

2 3 AE，則P點至直線AB之距離為。

(化成最簡分數) (2005學科)

(14) 設A(2,1,1)、B(3,1,2)、O(0,0,0)為空間中三點，

(a)試求以OA、OB所展成的平行四邊形面積。

(b)若OP =αOA+βOB，其中−1≤α≤2，0≤β≤1，試求在空間坐標中所有P點所成的圖形的面積。

(15) a =(1,2,3), b =(−2,4,5), c =(p,q,r)≠ 0 ，已知 a 及 b 皆與 c 垂直，

試求p q r: : = _________。

(16) 設 a =(2,−3,6), b =(x,y,z)，且 a ∙ b =14，求| b |的最小值。

(17) O–ABC為正四面體，各稜長為2，P點在OA上，OA∙ PB =1，令OA= a ,OB= b ，求(a) a ∙ b =? (b)若PB =x a +y b ，則數對( , )x y =?

進階問題

(18) 空間坐標系中，已知O(0,0,0)、A(0,0,1)、B(0,2, 2 )三點，若P(x,y,z)為空間中一動點，且滿足∠BOP=90°，試求

(a)z與y的關係式

(b)若P點同時滿足cos∠OAP=

3

2 ，試求y與x的關係式。

(c)在(b)的條件下，所有可能的z值中最大等於多少？

(19) 正三角形ABC的邊長為2 3，內部一點到三邊之距離為x, y, z，

(a)x²+y²+z²的最小值為 __ (b) x+ y+ z的最大值為。

(12)

(20) 設A(0,0, 2), ( ,0,0)B b 與C(0, ,0)c 分別在x軸、y軸上移動且保持∠BAC= °60 ，若△ABC面積為a，則下列何者正確﹖

(A)

v v

AB AC⋅ =2^(B) ^|^AB

v v

^{| |}^AC^{| 8}= ^(C)³< <^a ⁴ (D)7

2< <a 4 (E)a=2 3 (21) 設x, y, z皆為實數，且3x²+y²+2z² =6，求x+2y+3z的最大值與最小值。

(22) 設長方體的表面積為8，所有稜長之總和為k，試證：當長方體是正方體時，k 之值最小為8 3。

(13)

綜合練習解答

(1) (B)(C)(D)

(2) (a) 10

(0,3, )

− 3 (b)(4, 5, 2)− (3) (a) (4,1) (b)1: 2

(4) (a) 9 4,

3

65 (b)1

(5) (a) (4,3,5) (b) 0<t< 3 5

(6) (a)49 (b)45° (c) (6,3, 2)− (d) 2

49 (e)7 (f) 13 (5, ,0)

3 (7) 36

(8) −2

(9) (−6,12,6)

(10) (3, 2,1) , ( 1, 3, 2)− − (11) 1

37 (12) 4 10

15 (13) 5

6

(14) (a) 3 (b)3 3 (15) 2 :11: ( 8)− (16) 2

(17) (a)2 (b) 1 ( ,1)

−4

(18) (a)z=− 2y (b)y= 1

2x²− 1

2 2 (c) 1 2 (19) (a)3 (b)3

[提示： 1

2 (x+y+z)2 3 =ΔABC面積=3 3 ⇒x+y+z=3]

(20) (B)(C)(E)

(21) 53 ，− 53 [提示：[( 3x )²+y²+( 2z)²][( 1

3)²+2²+( 3

2)²]≥(x+2y+3z)²] (22) 設長方體的三稜長為 a,b,c⇒2(ab+bc+ca)=8，4(a+b+c)=k

⇒a²+b²+c²=k²

16−8，再利用(a²+b²+c²)(1+1+1)≥(a+b+c)²，即可得 k≥8 3 ]