§1 − 2 空間坐標系
(甲)空間坐標系
建立空間坐標系：
如同平面坐標系可以描述平面上的點，我們也可以在空間中建立坐標系，來描 述空間中的點。首先在一個平面上，建立直角坐標系，通過原點 O 做一條直線 分別與 x 軸、y 軸垂直，我們稱此直線為 z 軸。z軸的方向通常符合「右手螺旋 法則」，即伸出右手，讓四指與大拇指垂直，並使四指先指向 x 軸的正向，然 後四指沿握拳方向旋轉 90°指向 y 軸正向，此時大拇指所指的方向即為 z 軸的正 向，我們稱這樣的坐標為「右手系的坐標」。x 軸、y 軸再加上 z 軸就成為一個 空間坐標系，這三個軸稱為坐標軸。
x軸與 y 軸所決定的平面稱為 xy 平面，同理亦有 yz 平面、zx平面，
這三個平面稱為坐標平面。
事實上，根據直線垂直平面的判別定理，可知x軸,y軸,z軸分別會垂直yz平面,zx 平面,xy平面。有時為了圖形簡潔，我們把坐標軸的負向部分省略不畫出來。
三個坐標平面將空間分為八個區，每一區稱為一個卦限。通常我們將坐標皆為 正的那個卦限稱為第Ⅰ卦限，其他七個區就不給特別的順序編號。
利用空間坐標系描述點的位置
在空間坐標系中，如何用坐標來描述點 P 的位置呢？
[方法一]：
如下圖一，首先作過 P 點垂直於 xy 平面的垂線，垂足為 Q(即 Q點為 P 點在 xy 平面的投影點)，過 Q 點分別作垂直於 x 軸,y 軸的直線，交 x 軸,y軸於 A、B 兩 點，過 P 點再作 z 軸之垂線，交 z 軸於 C 點，A、B、C 三點分別在 x,y,z 軸上 之坐標依次設為 a,b,c，我們就用這一個有序實數組(a,b,c)來表示 P 點在空間中 的位置。
稱(a,b,c)為 P 點的坐標，記作 P(a,b,c)，其中 a,b,c 分別為 P 點的 x,y,z坐標。
[方法二]：
若 P 點在 x,y,z 軸上的投影點在該數軸上的坐標為 m,n,l 時，那麼 P 點的坐標為
(m,n,l)。
O R P
x
y z
Q
[討論]：請問方法一與方法二所決定的 P 點坐標會相同嗎？
[如何決定坐標]：
給定有序實數組(a,b,c)，如何找到坐標為(a,b,c)的點呢？
給定有序實數組(a,b,c)，如右圖，首先在 xy 平面上找出 x 坐標為 a,y 坐標為 b 的點 Q，在 z 軸上找坐標為 c 的點R，過 Q 對 xy 平面作垂線，並自 R點作前述 直線的垂足點 P，則 P 點的坐標就是(a,b,c)。
結論：
對於空間中任一點 P，都可以用一組有序實數組(a,b,c)來表示；反過來說，任 何一組有序實數組(a,b,c)都可以找到唯一的一點 P，使得 P 的坐標為(a,b,c)。
坐標軸與坐標平面上的點之坐標
根據空間坐標系中點坐標的定義，xy 平面上的點 z 坐標為 0，yz 平面上的點 x 坐標為 0，zx平面上的點 y 坐標為 0，即 xy平面, yz平面, zx 平面上點坐標分別 可表為(a,b,0),(0,b,c),(a,0,c)。又 x 軸為xy 平面與 zx 平面的交點，所以 x 軸上的 點 y,z 坐標分別為 0，同理可得 y軸上的點 z,x 坐標分別為 0，z 軸上的點 x,y 坐 標分別為 0，即 x,y,z 軸上的點坐標可表為 (a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)。
圖二
B O
C
P
A Q
x
y z
(1°)若 P、Q兩點 x、y、z坐標均不同，如圖，R(x1,y1,z2)、
⎯PQ 2=⎯PR2+⎯RQ2
⇒PQ =⎯ (x1−x2)2 +(y1− y2)2 +(z1−z2)2 。 (2°)若若 P、Q 兩點 x、y、z 坐標有一個相同，
那麼這個情形，就可以回到平面坐標上的情形，
故距離公式依然成立。
(2)中點公式：
設 P1(x1 , y1 ,z1)、P2(x2 , y2 , z2) P⎯1P2的中點坐標為(x1+x2
2 , y1+y2
2 , z1+z2
2 )。
投影與對稱點：
(1)點 P 在各坐標平面與各坐標軸的投影點：
[討論]：請完成下表
點 P(4,3,2) 對 yz 平面之投影點
對 zx 平面之投影點 對 xy 平面之投影點 關於 yz平面之對稱點 關於 zx平面之對稱點 關於 xy平面之對稱點
點 P(4,3,2) 對 x 軸之投影點
對 y 軸之投影點 對 z 軸之投影點 關於 x軸之對稱點 關於 y軸之對稱點 關於 z軸之對稱點
O P
Q
y
x z
R
結論：
(a) 點 P 與其對於各坐標平面與各坐標軸的對稱點的中點為點 P 在各坐標平面與各坐
標軸的投影點。
(b) 點 P 與其在各坐標平面與各坐標軸的投影點之距離為點 P到各坐標平面與各坐標
軸的距離。
[例題1] 設正四面體A−BCD的稜長為a，請建立兩種不同的坐標系來表示
A、B、C、D這四點的位置。
[例題2] 線段⎯PQ在xy平面、yz平面及zx平面上的 投影長，分別為 13 、5、 20 ，則⎯PQ長
x
y z
O B A
C D F(3, E
G
(練習1) 如圖，在長方體 OABC−DEFG 中建立一個空間坐標系，其中 O 為原點，
而 A, C, D分別在 x, y, z 軸上，且已知F(3, 1, 2)− ，試求：
(1)點 F 對 x軸、y 軸、z軸的投影點。
(2)點 F 對 x軸、y 軸、z軸的對稱點。
(3)點 F 對 xy平面、yz 平面、zx 平面的投影點。
(4)點 F 對 xy平面、yz 平面、zx 平面的對稱點。
Ans：
(1)A(3,0,0), C(0,−1,0), D(0,0,2) (2)A′(3,1,−2), C′(−3,−1,−2), D′(−3,1,2) (3)B(3,−1,0), G(0,−1,2), E(3,0,2) (4)B′(3,−1,−2), G′(−3,−1,2), E′(3,1,2)。
(練習2) 如右圖，有一邊長為 1的正立方體，今置頂點 A 於 空間坐標系中之原點(0,0,0)，頂點 B於正 z 軸上，
則頂點 C之 z坐標為 。Ans： 3 3
(練習3) 若空間坐標系中有一點 P a b c( , , )，則下列何者為真？
(A)P在 zx平面的投影點為( ,0, )a c (B)P到 x軸之距離為 b2 +c2 (C)P在 z軸的投影點為( , ,0)a b (D)P到 xy平面的距離為 c
(E)P到原點的距離為a2 + +b2 c2。 Ans：(A)(B)
(練習4) 設點 P x y z( , , )為第一卦限的點，且 P 到 x 軸、y軸、z 軸之距離分別為 74 , 65 , 41，求點 P之坐標。Ans：(4,5,7)
(練習5) 若空間中一點 P 到 x 軸的距離為 5，且 P 在 xy 平面之投影點為(2, 3,0)− ， 求點 P 之坐標。Ans：(2, 3, 4)− 或(2, 3, 4)− −
B
A C
F D E
B O
A G
C
x
y z
綜合練習
(1) 如圖，在長方體OABC−GDEF中建立一個空間坐標系，
其中B為原點，而C、A、E分別在x,y,z軸上，
且已知A(0,−3,0)、F(−1,0,4)，試求其它頂點的坐標。
(2) 如右上圖OABC–DE是一個對稱的屋頂形狀，OABC為長方形，AB=10, 8
OA= ，DE比平面ABCD高3單位，且DE=6，則：
(a)點A, B, C, D, E之坐標各為何？ (b)AE=?
(3) 令A(5,0,12)、B(−5,0,12)為坐標空間中之兩點，且令P為xy平面上滿足
⎯PA =⎯PB =13的點。請問下列哪一個選項中的點可能為P？
(1) (5,0,0) (2) (5,5, 0) (3) (0,12,0) (4) (0,0,0) (5) (0,0, 24)
(2014學科能力測驗)
(4) 設( 2,2,0)，(− 2,2,0),( − 2,−2,0),( 2,−2,0)為一正立方體的四個頂點，則下列那 些點也為此正立方體的頂點？
(A)( 2,0,2) (B)(0,2, 2) (C)( 2,2,4) (D)( 2,2,2 2) (E)(− 2,0,−2) (5) 若正四面體ABCD的頂點為A(2,0,0)、B(0,2,0)、C(0,0,2)，
試求D點坐標。
(6) 如左下圖，有一個長方體的長、寬、高分別為3,4,5，考慮一個空間坐標系，以A 為原點(0,0,0)，B點置於正z軸上，則頂點C之z坐標為 。
(8) 令A(5,0,12)、B(−5,0,12)為坐標空間中之兩點，且令P為xy平面上滿足
⎯PA =⎯PB =13的點。請問下列哪一個選項中的點可能為P？
(1) (5,0,0) (2) (5,5, 0) (3) (0,12,0) (4) (0,0,0) (5) (0,0, 24)
(2014學科能力測驗)
(9) 空間中一點P(3, 2,1)，欲分別在x軸、y軸、z軸上取點A, B, C使得
2 2 2 2
PA +PB +AC +BC 之值為最小，求此時點A, B, C之坐標各為何？
進階問題
(10) 在空間中一長方體之位置如右上圖所示，且OD<⎯ OC<⎯ OA， ⎯ O為原點，若OD+⎯ OC+⎯ OA=6，且其表面積為⎯ 22，體積為6，
求A、G、F三點坐標。
(11) 設A(3, 2,5), (1, 4,3)B − ，P點在xy平面上，則：
(a)若AP2 +BP2之值最小，則P點的坐標為何？並說明P點之幾何意義。
(b)若Q為z軸上的一點，且∠AQB≥ °90 ，則Q點所形成之圖形長為何。
(12) 一長方形紙片ABCD，長AB=2 3公分，寬AD=2公分，今將紙片沿AC摺疊 為一個90°的二面角，此時B, D兩點間的距離為幾公分？
綜合練習解答
(1) O(−1,−3,0)、C(−1,0,0)、D(0,−3,4)、E(0,0,4)、G(−1,−3,4)
(2) (a) (8,0,0)A , B(8,10,0), C(0,10,0), D(4, 2,3), E(4,8,3) (b) 89 (3) (4)
[解法]：檢查各選項是否滿足題目的條件，故選(4)。
(4) (A)(E)[提示：因為 A( 2,2,0)，B(− 2,2,0),C( − 2,−2,0),D( 2,−2,0)均在 xy 平面上，且⎯AD= 2 ⎯AB，其他四個頂點落在同一平面上，即為 yz 平面。]
(5) D(2,2,2)或 D(−2 3 ,−2
3 ,−2
3 ) [提示：利用⎯AD=⎯BD=⎯CD=⎯AB=2 2]
(6) 5 2 2 (7) ( 1,0,0)− (8) (4)
(9) 3
( ,0,0)
A 2 , B(0,1,0), C(0,0,0)
(10) A(3,0,0), G(0, 2, 1)− , F(3, 2, 1)−
(11) (a) (2, 1,0)P − 即 AB之中點M(2, 1, 4)− 在 xy 平面上的投影點 (b)2 6
(12) 10
