1-3 空間向量的內積

1-3 空 間 向 量 的 內 積

1. 正立方體ABCDEFGH且邊長為 1﹐試問下列哪一選項

的值為最小？

(1)AB AC

 



(2)AB AD

 



(3)AB AG

 



(4)AB BD

 



﹒ 解： 設A(0, 0, 0)﹐G(1, 1, 1)﹐

(1)AB AC

 

 (1, 0, 0) (1, 1, 0) 1

﹒(2)AB AD

 

 (1, 0, 0) (0, 1, 0) 0

﹒ (3)AB AG

 

 (1, 0, 0) (1, 1, 1) 1

﹒(4)AB BD

 

 (1, 0, 0) ( 1, 1, 0)   1

﹒ 選項為(4)﹒

2. 向量(2,2, 1)與下列哪一個向量的夾角為最小？

(1)( 2,  2, 1) (2)(2, 2, 1) (3)(2, 2, 1) (4)( 2, 2, 1)  ﹒ 解： 設



a (2,2, 1)

與選項k的夾角為_k﹒ (1)



b₁    ( 2, 2, 1)

﹐得cos ₁ ¹

  9﹒(2)



b₂ (2, 2, 1)

﹐得cos ₂ ⁷

 9﹒ (3)



b₃ (2, 2, 1)

﹐得cos ₃ ¹

 9﹒(4)



b₄  ( 2, 2, 1)

﹐得cos₄  1﹒ 得 ₃ ₂  _{1 4}﹐選項為(3)﹒

3. 設A(3, 2, 1) ﹐B(2, 1, 1) ﹐C(3, 1, 0)﹐則BAC為 (1) 30 (2) 60 (3) 90 (4)120﹒

解： ( 1, 1, 0)AB



  

﹐AC



(0, 1, 1)

﹐cos ^{0 1 0 1}

2 2 2 A   

 ﹐得BAC 60 ﹐ 選項為(2)﹒

4. 設



a (1, 2,k3)

﹐



b (2, 4,k)

﹐若



a 與



b

垂直﹐試問k值（兩解）﹒

解：

 

a  b 0

﹐即2 8 (  k3)( k) 0﹐

2 3 10 0

k  k  ﹐得k  2或k5﹒

5. 設P(2, 1, 2)﹐Q(3, 1, 4) ﹐R(6,4, 4)﹐試問PR



在PQ



上的正射影﹒

解： (4,PR



 5, 2)

﹐PQ



(1,2, 2)

﹐ 得正射影為^{4 10 4}(1, 2, 2) (2, 4, 4)

9

     ﹒

6. 設x﹐ y﹐z為實數且x²y²z²9﹐試問2x2yz的最大值﹒

解： 由柯西不等式(x²y²z²)(2²2²1 )² (2x2yz)²﹐ 9 2x 2y z 9

     ﹐知2x2yz的最大值為 9﹒

1. 設



a (2, 1, 3)

﹐



b (2, 0, 1)

﹐若

  

c  at b 且



c

與



a

垂直﹐試問t值﹒

解：

 

c  a 0

﹐(

  

a t b ) a 0

﹐

   

a  a t b  a 0

﹐14 7 t 0﹐知t 2﹒ 2. 設



a ( , 1, 1)k 

﹐



b (1, 1, )k

﹐若



a 與



b

的夾角為60﹐試問k值﹒

解： ₂

2 2

2 1 2 1

cos 60

2 2 2

k k

k k k

 

  

   ﹐^{1 2}₂ ¹

2 2

k k

 

 ﹐得k²4k 4 0﹐知k2﹒

3. 設x﹐ y﹐z為實數﹐且6x3y2z49﹐試問x²y²z²有最小值時﹐x﹐ y﹐z的值﹒

解： 由柯西不等式

2 2 2 2 2 2 2

(x y z )(6  3 2 )(6x3y2 )z ﹐

得x²y²z² 49﹐知x²y²z²的最小值為49﹒

此時x6t﹐y3t﹐z2t﹐代回6x3y2z49﹐ 得t1﹐知此時x6﹐ y3﹐z2﹒

4. 右圖是邊長為2的正立方體﹐中心為O(0, 0, 0)﹐A( 1, 1, 1)  ﹐ (1, 1, 1)

B ﹐試求cosAOB的值﹒

解： ( 1, 1, 1)OA



  

﹐OB



(1, 1, 1)

﹐ cos 1

| | | | 3 OA OB AOB

OA OB

    

   

^﹒

5. 如右圖﹐ABCD為正立方體的一個面﹐P﹐Q分別為BC﹐CD的中點﹐O為 正立方體的中心﹐則cosPOQ 1

2 ﹒

解： 設正立方體的邊長為 2﹐

(0, 2, 2)

B ﹐C(0, 2, 0)﹐D(2, 2, 0)﹐ 則P(0, 2, 1)﹐Q(1, 2, 0)﹐O(1, 1, 1)﹐

( 1, 1, 0) OP



 

﹐OQ



(0, 1, 1)

﹐

1 1

cos | | | | 2 2 2

OP OQ POQ

OP OQ

    



   

^﹒

6. 右圖為一正立方體﹐被一平面截出一個四邊形ABCD﹐ 其中B﹐D分別為稜的中點﹐且EA AF: 1: 2﹐則

cosDAB ¹

37 ﹒（化成最簡分數）

解： 建立空間坐標系﹐設邊長為 6﹐則A(6, 0, 4)﹐B(6, 6, 3)﹐D(0, 0, 3)﹐ 故AD



 ( 6, 0, 1)

﹐AB



(0, 6, 1)

﹐

∴cos ^{0 0 1 1}

37 37 37

| | | |

AD AB DAB

AD AB

  

   



   

^﹒

1. 學校有一棟正四面體的溫室﹐小明建置一個空間坐標系﹐

其坐標為A(0, 0, 0)﹐B(3, 3, 0)﹐C(3, 0, 3)﹐D(0, 3, 3)﹐溫 室中有二鋼架DP及PB﹐其中P是△ACD的重心﹐試問

BPD為 90 ﹒

解： P(1, 1, 2)且D(0, 3, 3)﹐B(3, 3, 0)﹐ 由向量的夾角公式﹐在△BPD中﹐

( 1, 2, 1) PD



 

﹐PB



(2, 2,2)

﹐ 2 4 2

cos 0

BPD   6 12

   ﹐知BPD 90 ﹒

2. 某次空間概念的測試﹐老師提供三個立體的透視圖﹐圖中的A﹐B﹐C﹐D 是稜邊的中點﹐請判別圖中AB



與CD



互相垂直的共有 2 個﹒

(甲) (乙) (丙)

解： 將正立方體坐標化﹐設邊長為 2且透視圖的一頂點為(0, 0, 0)﹐ 甲：AB



(1, 2, 1)

﹐CD



(2, 1, 1)

﹐AB CD

 

 3

﹒ 乙：AB



(1, 1,2)

﹐CD



 ( 2, 2, 0)

﹐AB CD

 

 0

﹒ 丙：AB



 ( 2, 2, 0)

﹐CD



(1, 1,2)

﹐AB CD

 

 0

﹒ 知圖乙﹐圖丙中 AB



與CD



互相垂直﹐共有 2個﹒

3. 墾丁音樂季的廣場上有照明燈A﹐B﹐現小明建置一個空間坐標系得 (1, 3, 5)

A ﹐B(9, 7, 5)﹐在廣場地面上﹐即xy平面上﹐想找動點P x y( , , 0)﹐使

得PAPB﹐試問P點的個數為 (1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 無限多﹒

解： (1PA



 x, 3y, 5)

﹐PB



 (9 x, 7y, 5)

﹐ 因PAPB﹐知PA PB

 

 0

﹐

即(1x)(9  x) (3 y)(7y)250﹐

2 2

(x5) (y5) 5﹐

點P是以AB為直徑的圓上的任一點﹐但滿足(x5)²(y5)²  5的實 數x﹐y不存在﹐故選項為(1)﹒