§3−1 平面向量運算

§3 − 1 平面向量運算

在第一章裡，我們利用“相似三角形”的概念表達三角形邊與角的關係，建立三 角函數，進而以“三角函數”為工具，求“長度、角度、面積”等幾何量，並證明“正 弦定理，餘弦定理以及海龍公式，用以解決測量的問題。在第二章裡，我們利 用直角坐標系，將幾何問題經代數運算求解，再詮釋幾何意義，如直線的傾斜 程度、聯立方程式與直線交點，以及圓與直線的關係，進而研究它們的性質。

本 章 要 再 介 紹 新 的 數 學 概 念 － － 向 量 ( 具 有 方 向 與 大 小 )， 包 括 向 量 的 表 徵、向量的運算，用以處理幾何的問題，如長度 ( 距離 )，角度、平行、垂直、

正射影以及面積。考慮向量所在的環境，平面或空間，本章先來討論平面向量，

第四冊第一章再繼續討論空間向量。

(甲)向量的基本概念 (1)具有大小方向的量 以「位移」為例：

某甲從 A 點出發，朝西北方前進，走了 10 公里到達 B地。某乙從 A 點出發，

朝北走了 10公里到達 C 點，考慮從 A點到 B 點與 C點雖然路徑相同，但方向 卻不一樣。有向線段 AB 的始點 A 其方向為西北方，其長度 10 公里。有向線 段 AC 的始點 A 其方向為北方，長度為10 公里。

以「合力」為例：

甲、乙兩人拔河，甲用大小 2F 的水平力向右邊拉，乙用大小 F 的水平力向左 邊拉，我們亦可用有向線段來表示這兩個力，其始點為施力點，方向分別是兩 力的方向，而長度分別是兩力的大小。

像位移、力、速度等物理量包含大小與方向雙重觀念，我們引進「向量」的觀 念，將這些物理觀念(朝西北移動 10公里、向右 2F的水平拉力)看成有向線段，

而引入向量，物理觀念經數學化之後，便於物理觀念的溝通與物理量的計算。

(2)向量的概念：

(a)向量的表示：

在數學上，常用有向線段來表示向量，而且有向線段的方向代表向量的方向；

有向線段的長度代表向量的大小。

以 A 為始點，B 為終點的有向線段，稱之為向量，符號：AB，它的方向是由 A 指向 B，大小為⎯AB，記為|AB|，即|AB|=⎯AB。

當 A=B時，AB為零向量，記為AA= 0 ；注意： 0 的大小為 0，但方向為任意。

AB與BA長度相等，但方向相反，稱BA為AB的反向量，記為：AB= −BA。

向量若不特別指名始點與終點，亦可用 a 、 b 、 u 、…來表示。

(b)向量的相等：

例如：

右圖的平行四邊形 ABCD，有向線段AB可以經由

平 移 移 動 與 有 向 線 段DC完 全 重 合 ， 此 時 有 向 線 段AB、DC大 小 相 等 且 方 向 相 同，此時它們代表同一個向量，即AB=DC。

C D

B A

兩個向量若大小相等，方向相同，則稱兩個向量相等。

a = b ⇔ a 與 b 方向相同且| a |=| b |。

因此根據這個結果可知，向量可以自由的平行移動。

(練習1) 如右圖，O 點為正六邊形 ABCDEF的中心，以圖中七個點之一為始點，

另一點為終點的向量中：

(1) 有哪些和AB相等？ (2) 有哪些是AB的反向量？

[解法]：

(1) 和AB相等的向量有FO，OC，ED。 (2) AB的反向量有OF，CO，DE。 (乙)向量的坐標表示法

用坐標表示的向量，我們稱為坐標向量，將向量予以坐標化，即向量除了幾何 表示(即有向線段)外，希望能利用代數法或代數式表示，使得向量在幾何問題 的處理上能發揮更大的效益。

(1)平面向量的坐標表示：

設 a 為一個平面向量，如何用坐標來表示 a 呢？

在坐標平面上，設 O為原點，P ( a1，a2 ) 為任一點，則以 O為始點，P為終 點的向量OP，就稱為在 P 點這個位置的位置向量，而OP由 P 點唯一決定。

對於此平面上任意一個向量a，我們都可以找到唯一的位置向量OP，使得 a ＝ OP，如右圖此時 P點的坐標 ( a1，a2 )，稱為向量 a 的坐標表示法，記作 a ＝ ( a1，a2 )，其中 a1，a2分別稱為 a 的 x分量與 y分量。

當向量 a 用坐標 ( a1，a2 ) 表示時，其方向與大小仍可看出：

(1) a 的方向是由原點 O指向 P ( a1，a2 )；

(2) a 的大小為| a |＝ OP ＝ a12

＋a22

。

特別地，零向量 0 的坐標為 ( 0 ，0 )，即 0 ＝( 0，0 )。

因此坐標的表示方式可以同時呈現出向量的兩個要素−大小與方向 如果 a ＝ b ，則它們對應的位置向量相同，於是我們有以下的結論：

結論：

(a)若向量 a =(a1,a2)，則其大小| a |= a12＋a22 ，其方向是由(0,0)指向(a1,a2)。

(b)若 a =(a1,a2)， b =(b1,b2)，則 a = b ⇔ a1=b1且 a2=b2。

[例題1] 一物體由坐標平面中的點(−3,6)出發，沿著向量 v 所指的方向持續前進，可 以進入第一象限。請選出正確的選項。

(1) v =(1,−2) (2) v =(1,−1) (3) v =(0.001,0) (4) v =(0.001,1) (5) v =(−0.001,1) (2014學科能力測驗) Ans：(2)(3)(4)

(練習2) 如右圖，在坐標平面上， a ＝OP，試求：

(1) P 點與 a 的坐標表示法。

(2) a 的 x分量與 y分量。

(3) | a |。

(2)兩點坐標決定一個向量的坐標表示法

設 A(x1,y1)、B(x2,y2)為坐標平面上的兩點，那麼AB如何表示呢？

若設 A(a1,a2)、B(b1,b2)為坐標平面上的兩點，則AB=(b1−a1 , b2−a2)。

[說明]：

如下圖，設AB對應的位置向量為OP，其中 O 為原點，P 點的坐標為 ( x，y )，

則由全等三角形的性質可得：x＝b1－a1，y＝b2－a2，即 P ( b1－a1，b2－a2 )。

因此AB＝( b1－a1，b2－a2 )。

(a) O，A，B三點不共線 (b) O，A，B三點共線

(練習3) 設 A (－2，5 )，B ( 1，1 )，試以坐標表示AB與BA， 並求 |AB|。

Ans：AB=(3,−4)、BA=(−3,4)，|AB|=5

結論：

已知兩點 A(a1,a2)，B(b1,b2)，則 (a)坐標化：AB=(b1−a1 , b2−a2)

(b)求分量：AB的 x分量為 b1−a1，y分量為 b2−a2。 (c)求長度：|AB|²= (b1−a1)²+(b2−a2)²

(3)用長度、方向角決定一個向量：

將AB平移到OP，其中 O 為原點，令| OP |=r 從 x 軸正 向 逆 時 針 轉 到OP的 有 向 角 為θ， 我 們 稱 為方 向 角， 0°≤θ<360°，則AB= OP =(rcosθ,r sinθ)。

[說明]：

設 A(x1,y1)、B(x2,y2) ⇒OP =(x2−x1,y2−y1)，

即 P(x2−x1,y2−y1)根據正餘弦的定義，

可知 x2−x1=rcosθ，y2−y1=rsinθ。 AB= OP =(rcosθ,r sinθ)。

結論：A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB=(x2−x1 , y2−y1)= (rcosθ,r sinθ)。

例如：

(2)如圖，正六邊形 ABCDEF 的邊長為 3單位長，且 cosθ= 2

3

，因為|AB|=3，且 cosθ= 2

3 ，故AB=(3cosθ,3sinθ)=(2, 5) (練習4) 如右圖，正六邊形 ABCDEF的邊長為 3 單位長，

且 cosθ= 2

3 ，試求AC=？

Ans：AC=(6− 15

2 ,3 5+2 3

2 )

(練習5) 設 A ( 3，－2 )，B (－1，2 )，C ( 2，3 ) 為坐 標平面上的三點，若四邊形 ABCD 為平行四邊 形，試求 D點的坐標。

Ans：( 6，－1 )

F E

D

C

B

O A

θ x y

P

A B

O x

y θ

θ

(丙)向量的加減法

許多物理量都具有大小與方向，例如：速度、力、…，這些物理量都可以用向 量來描述。在實際生活中，會遇到兩個不同的速度或力的合成問題，因此我們 可以進一步定義向量的運算，來描述這些現象。

(1)向量的加法：給定二個向量 a , b 如何定義 a + b 呢？

(a)三角形法(可用位移為模型)：

設 a =AB， b = BC，使得 a 的終點與 b 的始點為同一點，定義 a + b =AC。 ( a 的始點指向 b 的終點)

[討論]：如右圖，AB+ BC +CD+ DE =？

(b)平行四邊形法(可用合力為模型)：

設 a =AB， b =AC，使得 a 與 b 的始點為同一點，

則定義 a + b =AD，ABDC 為平行四邊形。

[說明]：因為AC=BD，所以AB+AC=AB+BD=AD

(2)向量的減法：

給定兩個向量 a , b ，如何定義 a − b 呢？

可設

→ ■

^a=AB，

→ ■

^{b =AC，使得 a 與 b 的始點為同一點，}

則定義 a − b = a +(− b )=AB−AC= CB (由 b 的終點指向 a 的終點)。

[說明]：

設 a =AB, b =AC，我們定義 a − b = a +(− b ) 根據右圖可知AD=−

→ ■

^{b，ADEB為平行四邊形，}

a − b = a +(− b )=AB+AD= AE = CB，即AB−AC= CB。 (3)向量的拆解

A B

C D

C B

A

A B

C

A C

A C B

A C

A

A B

C

D E

A C B

D

E

(a)任何一個向量AB，都可以拆解為AP + BP兩向量的和，其中 P 為任一點。

即AB= AP + BP。(可用位移為模型)

(b)任何一個向量AB，都可以拆解為PB−PA兩向量的差，其中 P點為任一點。

即AB= PB−PA。(可用相對運動為模型)

(3)坐標向量的加減法

設在坐標平面上，a＝( a1，a2 )，b＝( b1，b2 )，若 O 為原點，且 A，B兩點 的坐標分別為( a1，a2 )，( b1，b2 )，則a＝OA， b＝OB。

(a)向量的加法：

如果 O，A，B 三點不共線，那麼以 OA ， OB 為兩鄰邊，可作一平行四邊 形 OACB，如圖(a)所示。故得OA＋OB＝OC。令 C點的坐標為( c1，c2 )，因為

OC 的中點與 AB 的中點重合，所以 c1＝a1＋b1，c2＝a2＋b2，

(a) (b)

於是OA＋OB＝OC＝( a1＋b1，a2＋b2 )，即 a＋ b＝( a1＋b1，a2＋b2 )。

如果 O，A，B 三點共線，且OA＋OB＝OC，那麼 OC 的中點與 AB 的中點 也會重合，所以這個結果仍然成立，如圖(b)所示。

(b)反向量的坐標表示法

接下來，在介紹向量減法的坐標表示法之前，讓我們先來看看反向量的坐標表 示法，設 A'的坐標為 (－a1，－a2 )，則原點 O 為 AA' 的中點，所以OA'與OA互 為反向量，即OA'＝－OA，於是

若a＝( a1，a2 )，則a的反向量為－a＝(－a1，－a2 )。

(c)向量的減法

利用向量相加與反向量的坐標，我們就可以求出向量相減的坐標表示。

a－ b＝ a＋(－ b )

＝( a1，a2 ) ＋〔－( b1，b2 ) 〕 ＝( a1，a2 )＋(－b1，－b2 ) ＝( a1＋(－b1 )，a2＋(－b2 ) )

＝( a1－b1，a2－b2 )。

結論：

向量加減法的坐標表示

設a＝( a1，a2 )，b＝( b1，b2 )，則 (1) a＋ b＝( a1＋b1，a2＋b2 )。

(2) a－ b＝( a1－b1，a2－b2 )。

[例題2] 設a＝( 5，3 )，b＝(－2，1 )。

(1) 試以坐標表示a＋b與a－b。

(2) 若P ( 4，－2 )，且PQ＝a－b，求Q點坐標。

[解法]：

(1) a＋b＝( 5，3 )＋(－2，1 )＝( 5＋(－2 )，3＋1 )＝( 3，4 )。

a－b＝( 5，3 )－(－2，1 )＝( 5－(－2 )，3－1 ) ＝( 7，2 )。

(2) 設Q點的坐標為 ( x，y )，因PQ＝a－b， 故 ( x－4，y－(－2 ) )＝( 7，2 )。

即

⎩⎪⎨

⎪⎧x－4＝7

y＋2＝2，得x＝11，y＝0，所以Q點坐標為 ( 11，0 )。

(練習6) 設a＝(－3，2 )，b＝( 4，－1 )。

(1) 試以坐標表示a＋b與a－b。 (2) 試求|a＋ b|與 |a－b|。

Ans：(1) a＋b=(1,1)、a－b=(−7,3) (2) |a＋b|= 2， |a－ b|= 58 (4)向量加法的性質：

利用向量加減法的坐標表示，可以到以下的性質：

(a)交換性： a + b = b + a

(b)結合性：( a + b )+ c = a +( b + c ) (c)零向量： a + 0 = 0 + a

(d)可逆性：對於任一向量 a，若以AB表示 a，則BA所表示的向量以− a 表示，

(丁)向量的係數積 (1)係數積的定義：

我們用一個力 f 去推動一個物體，如果推不動，我們希望再加倍用力去推，那 麼這個加倍的力就可以用 2 f 表示；如果我們希望只用一半且方向相反的力去 推，那麼“這個大小一半，方向相反的力就可以用－ 1

2 f ”表示，如圖 3-22 所 示。

一般而言，一個實數 r 與一個向量 a 的乘積，稱為向量的係數積。

設 a 是一個向量，r 為實數，則係數積r a 仍是一個向量，定義如下：

長度：| r a |=|r|| a | 方向：

若 a 為非零向量且 r≠0：

r>0：r a 與 a 同向；r<0：r a 與 a 反向 若 r=0或 a = 0 ：r a = 0

注意：0⋅ a 、r⋅ 0 均為零向量 0 ，而不是0。

[例題3] 下圖中，每個小正方形的邊長皆為1單位，試圖示2a－ 1 3 b。

[例題4] 在正六邊形ABCDEF中，令AB= a , BC = b，試以 a 和 b 表示下列諸向量：

(1)AC (2)BD (3) CD。

Ans：(1) a + b (2) 2 b − a (3) − a + b

(練習7) 正六邊形 ABCDEF，AB＝ a ，BC＝ b ，則 ○^Ａ BE＝2 b －2 a ○^ＢBD＝2 b － a

○^ＣBF＝ b －2 a ○^ＤBF＝2 a － b ○^ＥBD＝ a －2 b 。Ans：(A)(B)(C)

(練習8) 如圖所示，設四邊形 ABCD、EFGH、DCGH、ABFE、ADHE 和 BCGF 都是平行四邊形，BA = a ,BC= c ,BF= d ，

試以 a , c , d 表示CE和AG。 Ans： a − c + d ，− a + d + c

(2)向量平行的定義：

利用係數積可使向量在同向(r>0)或反向(r<0)，伸縮向量的長度。

例如：設 A,B,C為一直線上的三點，且⎯AB：⎯BC=3：2，

則AB=3

5AC，BC =−2

3 BA。

設向量 a 與 b 中有一個可以寫另一個的係數積，則稱這兩個向量 a 與 b 平行，

符號以 a // b 來表示。即 根據向量平行的定義，可知：

(a)兩個非零向量平行的充要條件是兩向量同向或反向

(b) 0 之方向不予限定，故 0 可視為與任何向量均平行。

a // b ⇔ 可找到實數 t或 s，使得 a =t b 或 b =s a

[例題5] 設相異三點A,B,C共線

若C為線段⎯AB之中點，則AC=________AB，CA =________ CB 若C在線段⎯AB上，且AC= 2

3 CB，則BC =_______AC，AB =________AC

(練習9) 如圖 A，B，C，D，E，F 共線，且 EF

DE CD BC

AB＝ ＝ ＝ ＝ ，則下列敘述何者正確？

(A)AB =1

5 AF (B)^AB =1

3 CF (C) BE = –3

2 DB (D)^AB +2 DE =3 BC (E)BD– CB = AF。Ans：(A)(B)(C)(D)

(3)向量係數積的坐標表示

我們已經學過向量係數積的幾何圖示法，接下來我們要再進一步探討其坐標表

B

A C

A

B C

F D E

G H

示法。

設a＝OA＝( a1，a2 )，r a＝OB＝( b1，b2 )，當 r≠0時，如下圖

(a) r＞0 (b) r＜0

過 A，B 兩點作 x 軸的垂線，其垂足分別為 A' ( a1，0 )，B' ( b1，0)。

因為△OAA'～△OBB'，

(1) 若 r＞0，則 OB'

OA' ＝ OB

OA ＝r，得 b1＝ra1。 (2) 若 r＜0，則 OB'

OA' ＝ OB

OA ＝－r，得－b1＝(－r ) a1，即 b1＝ra1。 於 r＝0 的情形，因 r a＝0＝( 0，0 )，故 b1＝0＝0 ·a1＝ra1。

同理可得 b2＝ra2，因此我們可以得到向量係數積的坐標表示法。

設a＝( a1，a₂ )，r 是任意實數，則 r a＝r ( a1，a₂ )＝( ra1，ra₂ )。

(4)係數積的基本性質：

利用向量係數積的坐標表示法，可得以下的性質：

設 r,s ∈R， a 與 b 為二任意向量，則：

(a)分配律一：r( a + b )=r

→ ■

^a+r

→ ■

^{b 分配律二：(r+s) a =r a +s b}

(b)結合律：r(s

→ ■

^a)=(rs)

→ ■

^a

[例題6] 設a＝(－1，2 )，b＝( 2，1 )，c＝(－5，3 )。

(1) 試以坐標表示a＋2b，並求|a＋2b|。

(2) 試以坐標表示4a＋3b－2c，並求| 4a＋3b－2c|。

[解法]：

(1) a＋2b＝(－1，2 )＋2 ( 2，1 )＝( 3，4 )，

|a＋2b|＝ 3²＋4² ＝ 25 ＝5。

(2) 4a＋3b－2c＝4 (－1，2 )＋3 ( 2，1 )－2 (－5，3 )＝( 12，5 )，

| 4a＋3b－2c|＝ 12²＋5² ＝ 169 ＝13。

[例題7] 設a＝( a1，a2 )，b＝( b1，b2 ) 為兩個非零向量，試證：

a // b⇔ a1b2＝a2 b1。 [證明]：

(1) 若a // b，則存在非零的實數r，使得a＝r b，

即 ( a1，a2 )＝r ( b1，b2 )＝( rb1，rb2 )，得a1＝rb1，a2＝rb2，

故a1b2＝( rb1 )b2＝b1 ( rb2 )＝a2b1。 (2) 若a1b2＝a2b1，當b1b2≠0時，則 a1

b1 = a2

b2 ， 令此值為r，r≠0，

則a＝( a1，a2 )＝( rb1，rb2 )＝r ( b1，b2 )＝r b，故a // b。 當b1b2＝0時，則b1，b2恰有一數為0。

可令b1＝0，b2≠0，則a1＝0，a2≠0，故存在非零實數 r，使得a2＝rb2，於 是a＝( 0，a2 )＝( 0，rb2 )＝r ( 0，b2 )＝r b，即a // b。

由(1) (2)知：a // b ⇔ a1b2＝a2b1。

[例題8] 設 a =(2,–3)， b =(1,4)，t為實數，試求當t=？時，| a +t b |的最小值。

Ans：10 17

[例題9] (1)求一向量

→ ■

^u使|

→ ■

^u|=1且

→ ■

^u與

→ ■

^v=(5,6)同方向。

(2) 求一向量

→ ■

^u使|

→ ■

^u|=1且

→ ■

^u與

→ ■

^v=(5,6)反方向。

Ans：(1)( 5 61, 6

61) (2) (– 5 61,– 6

61)

平面上每一個非零的向量，都有一個長度為 1 且與它同方向或反方向的向量，

我們把長度為 1的向量，稱為單位向量。

若非零向量a與單位向量 e同方向，則由係數積的定義可得 a＝|a|e，換句話 說， e可以表為 a

|a| 。

(練習10) 設 a =(−1,−1), b =(5,2)，試求：

(1)2 a +3 b (2)4 a −5 b (3)|− a +2 b |

Ans： (1) (13,4) (2)(−29,−14) (3) 146

(練習11) 設

→ ■

^a=(2,1)，

→ ■

^{b=(3,4)，當| a +t b |最小時，t=？ Ans：}−2

(練習12) 設

→ ■

^a=(1,2)、

→ ■

^{b=(3,4)，若 t}

→ ■

^a+

→ ■

^b與

→ ■

^a+t

→ ■

^{b平行，求實數 t=？}

Ans：t=1 或−1

(練習13) 設 A ( 1，t )，B ( 3，－2 )，C (－1，6 )，若 A，B，C 三點共線，

試求 t的值。 Ans：2

(練習14) 請求出與

→ ■

^{a=(4,−3)平行的單位向量。Ans：1}₅^{(4,−3)或−}₅^1(4,−3)

(練習15) 設

→ ■

^a=(3,1)、

→ ■

^b=(−1,2)、

→ ■

^{c =(3,8)，若}

→ ■

^{c =x}

→ ■

^{a +y}

→ ■

^b，則實數對(x,y)=？

Ans：(x,y)=(2,3)

(戊)向量的內積

一個物體在定力 f 作用下，若在力 f 的方向上有一位移 d，則該力對物體所作的 W=f⋅d； 但 當 力 的 方 向 與 位 移 的 方 向 有 一 夾 角 時 ， 所 作 的 功 就 不 再 單 純 的 只 是 力與位移的乘積，而與夾角有關。

如下圖，對一個重物施以與水平方向成θ角大小 5 牛頓的力 f使得重物沿水平方 向移動 10 公尺，試求所作的功=？

[解答]：因為 f的水平分力為 5cosθ，因此所作的功 W=(5cosθ )⋅10(焦耳) [數學化]：

現在將力視為向量 f ，位移視為向量 d ，因為力與水平方向夾角為θ，則可視 為 f 與 d 的夾角為θ，

所作的功 W=(5cosθ )⋅10=(| f |cosθ )⋅| d |=| f || d |cosθ ，其中θ為 f 與 d 的夾 角，這樣的概念數學化之後，就稱為向量 f 與 d 的內積。

(1)向量的夾角：

a 、 b 為平面上的兩個非零向量，根據向量的意義，我們可以將兩個向量平行 移動，使得 a 與 b 的起點重合(如下圖)，令 a =OA， b =OB，

10 公尺 5 牛頓

θ

~3−1−13~

O A B

定義兩向量的夾角θ為∠AOB。(0°≤θ≤180°)

0°<θ<90° 90°<θ<180° θ=90°

θ=0° θ=180°

為 0 之方向不予限定，因此我們規定 0 與任何向量的夾角為任意角度。

注意：

當 a ． b >0 ⇔0°<夾角θ<90°，當 a ． b <0 ⇔90°<夾角θ<180° (2)向量的內積：

定義：

設 a 與 b 為兩向量，θ為其夾角，定義 a 與 b 的內積為| a || b |cosθ，符號記 為： a ． b =| a || b |cosθ，"．"念成 dot。

特別的， 0 ． a =| 0 || a |cosθ=0，因此 0 與任何向量 a 的內積都是 0。

注意： a ． b 是一個實數而非向量，就好像功是一個純量，而沒有方向。

例：設正三角形 ABC之邊長為 1，

求(1)AB．AC之值；(2)AB．BC之值。

(3)內積的令一種看法：

令 a =AB, b =AC，θ為 a 與 b 的夾角 (a) 當 0°<θ<90°

如圖，| b |cosθ =|AC|cosθ =AD ⎯

a ． b =| a || b |cosθ= ⎯AB．⎯AD >0 (b)當 90°<θ<180°

如圖，| b |cosθ =|AC|cosθ = − AD ⎯

⇒ a ． b =| a || b |cosθ= − ⎯AB．⎯AD <0

O A

B

θ O

A

B

θ

O A

B

A O B

A

B C

C

A B

C

D

θ A θ

B C

D

(c)當θ =90° ⇒ a ． b =0

如圖，| b |cosθ =0 ⇒ a ． b =| a || b |cosθ=0

[例題10] ΔABC之三邊長為⎯

AB=4，⎯

BC =5，⎯

CA =6，

則求(1)AB．AC=？ (2)AB．BC =？ Ans：(1)27 2 (2)−5

2

(3)向量垂直的定義：

當 a 與 b 之夾角為直角時，我們稱 a 與 b 垂直，記為 a ⊥ b 。

因為一向量 a 與 0 之夾角可視為任意角，為了方便起見，我們將任何向量與 零向量都視為垂直 ，於是 a ⊥ b 表示 a = 0 或 b = 0 或θ=π

2，但不管是那一種

情形， a ． b =0。所以規定： a ⊥ b ⇔ a ． b =0。

(4)向量內積的坐標表示法：

(1)設 a =(a1,a2)， b =(b1,b2)，我們如何用 a1,a2,b1,b2表示 a ． b 呢？

a 與 b 不平行：

設OA=(a1,a2)和OB=(b1,b2)且兩非零向量的夾角為θ， 根據餘弦定理：

|BA|²=|OA|²+|OB|²−2|OA||OB| cosθ 因此

OA．OB=|OA||OB|cosθ=1

2(|OA|²+|OB|²− |BA|²) =1

2[(a12+a22)+(b12+b22)−[(a1−b1)²+(a2−b2)²]]=a1b1+a2b2

故 a ． b = a1b1+a2b2。 a 平行 b ：

可令 a =t b ⇔ (a1,a2)=t(b1,b2) ⇔ a1=tb1且 a2=tb2

a ． b =( t b )． b =t| b |²=t(b12+b22) a1b1+a2b2=( tb1)b1+( tb2)b2= t(b12+b22)

O B

A

x y

θ

故 a ． b = a1b1+a2b2。

根據前面的計算， a ． b = a1b1+a2b2。

根據這個結果，可知當我們將 a 、 b 坐標化之後， a ． b 就可以容易由分量 計算出來，此時可以反過來向量的夾角與長度。

結論：設 a =(a1,a2)， b =(b1,b2) (a) a ． b =| a || b |cosθ=a1b1+a2b2。

(b) a ⊥ b ⇔ a ． b =0 ⇔ a1b1+a2b2=0 (向量與垂直的關係) (c)若 a 與 b 皆不為 0 ，則cosθ=

|

||

|a b b a v v

v⋅v = a1b1+a2b2

a12+a22⋅ b12+b22(向量與角度) (d) a ． a =| a || a |cos0=| a |²。(向量與長度)

由(c)與(d)可知內積與求角度、長度都有關係，這也是內積重要的地方。

[例題11] (1)設 a =(−2,4)、 b =(−1,−2)，θ為 a 、 b 的夾角，試求cosθ的值。

(2)設ΔABC的三頂點為A(3，−2)、B(−1,−4)、C(6,−3)，求內角∠A的角度。

Ans：(1)cosθ=−3

5 (2)135°

[例題12] 設 u 、 v 為兩長度為1的向量。若 u + v 與 u 的夾角為75°，

則 u 與 v 的內積為 。(化為最簡根式) (2014學科能力測驗)

[答案]：

2

− 3

v

u u + v

[例題13] 設向量 a 與另一向量 b =( 3,1)的夾角是120° 且| a |=8，試求向量 a 。 Ans： a =(0,−8)或(−4 3,4)

(練習16) 設 a =(2,0)、 b =(−1, 3)，試求：

(1) a ∙ b (2) a 與 b 的夾角。Ans：(1)−2 (2)120° (練習17) 設 u =(k,1), v =(2,3),求 k 使：

(1) u 和 v 垂直 (2) u 和 v 平行 (3) u 和 v 的夾角為 60°

Ans：(1)k=−3

2 (2)k=2

3 (3)k=−8+13 3 3

(練習18) 設 A(4，0)，B(0，－3)，動點 P 為直線 x＋y＝0上之一點。則PA．PB 之最小值＝ 。Ans：–49

8

[提示：令 P(t,−t)，PA．PB =(4−t,t)∙(−t,−3+t)=2t²−7t]

(練習19) 設 A(1,−2)、B(0,2)、C(−3,4)為ΔABC之三頂點，求 sinA=？Ans： 5 221 (練習20) 設OA=(3,1)，OB =(−1,2)，若OC⊥OB，BC //OA，且OD+OA=OC，

則OD=？ Ans：(11,6)

(5)向量內積的性質：

利用向量內積坐標表示法，可以得出以下的性質：

設 a , b , c 為任意三向量，r為任意實數，則 (a) a ． b = b ． a (交換性)

(b) a ．( b + c )= a ． b + a ． c (分配性) (c)r( a ． b )=(r a )． b = a ．(r b )

(d) 0 ． a =0 (注意： 0 ． a =0 而非零向量)

(e)| a |²= a ． a ≥0，| a |²=0 ⇔ a = 0 注意：| a |²= a ． a

這個性質可以讓我們在內積與長度之間轉換，是一個簡單但重要的性質。

(f)| a ± b |²=( a ± b )．( a ± b )=| a |²±2 a ． b +| b |² 令 a =OA， b =OB

BA=OA−OB= a − b ，

| a − b |²=| a |²+| b |²−2 a ． b 可以寫成：

|BA|²=|OA|²+|OB|²−2|OA||OB|cosθ，當 a 與 b 不平行時，上式即為餘弦公式。

(g)|m a +n b |²=m²| a |²+n²| b |²+2mn a ∙ b

|m a +n b |²=( m a +n b )∙( m a +n b )= m²| a |²+n²| b |²+2mn a ∙ b [例題14] 二向量 a , b ，若| a |=3，| b |=4，且| a + b |= 13 ，則

(1) a 與 b 之夾角為何？ (2)|3 a +2 b |=？ Ans：(1)120° (2) 73

[例題15] 設∣ a ∣＝3，∣ b ∣＝5，∣ c ∣＝7，且 a ＋ b ＋ c ＝ 0 ，試求：

(1) a ． b ＝________。(2) a 與 b 之夾角為________。Ans：(1)15

2 (2)60°

O

A

B C

[例題16] 設 a =(2,4)， b =(−2,−1)，設 c = a +t b 且平分 a 與 b 的夾角，

(1)試求t。 (2)試求平分 a 與 b 夾角的單位向量。

Ans：(1)2 (2) 1

2 2(−2,2)

[例題17] | a |=3,| b |=1，且 a 與 b 之夾角為θ，其中cosθ=−1 3， 若OP = a + b ，OQ =2 a − b ，則| PQ |=？ Ans： 17

(練習21) 正三角形 ABC 的邊長為 2，M 為⎯BC的中點，試求

(1)( BC +AM)．AC =？ (2)( BC−AM)．(AB+AM)=？Ans：(1)5 (2)−8 (練習22) 設 a =(−1,3)， b =(3,1)，令單位向量 c 平分 a 與 b 的夾角，試求 c 。

Ans： 1

2 5(2,4)

(練習23) 設_OA＝2，

─

_OB＝

─

_{3，OA與OB之夾角為 60°，試求：}

(1)OA．OB。(2)∣2OA＋OB∣。(3)∣OA－2OB∣。

Ans：(1)3(2) 37(3)2 7

y

x D C

B

O A

綜合練習

(1) 設 a =(3,1), b =(1,−2)， c =(2,−5)，試求

(a)3 a −(2 b + c ) (b)| 3 a −(2 b + c )| (c) a ∙( b +2 c ) (d)( a ∙ b ) c (2) 設a

v

_=(3,1)，b

v

_{= (1, 4)， c =(5,9)，}

(a) 若

v

c _{=x a}

v

_{+y b}

v

_{，求 ,}

x y之値。

(b) 若 c = a +t b ，且│ c │= 41，求t之値。

(3) 有一正立方體，其邊長為1，如果向量 a 的起點與終點都是此正立方體的頂

點，且| a |=1，則共有多少個不相等的向量 a ？

(A)3 (B) 6 (C)12 (D)24 (E)28 。 (86 學科)

(4) 在坐標平面上，A(150,200)、B(146,203)、C(−4,3)、O(0,0)，下列敘述何者為真？

(A)四邊形ABCO是一個平行四邊形。

(B)四邊形ABCO是一個長方形。

(C)四邊形ABCO的兩對角線互相垂直。

(D)四邊形ABCO的對角線⎯AC長度大於251。

(E)四邊形ABCO的面積為1250。 (90學科)

(5) 在坐標平面上有四點O(0,0),A(−3,−5),B(6,0),C(x,y)。今有一質點在O點沿AO方

向前進⎯AO距離後停在P，再沿BP方向前進2⎯BP距離後停在Q。假設此質點繼

續沿CQ方向前進3⎯CQ距離後回到原點O，則(x,y)= 。

(2009學科能力測驗)

(6) 如右圖所示，O為正方形ABCD對角線的交點，

且E、F、G、H分別為線段OA，OB，OC，OD的中點。

試問下列何者為真？

(A)AB +BC = AE + EF + FG +GC (B)AB =2 EF

(C)AB−BC =DB (D)AB + BF + FE =GC (E) AE⋅BF =0

(7) 在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若 A

v

B^{=(2, 4)， A}

v

^{C=(1, 3)，}

則 B

v

C^=？

(8) 設a

v

_{= (3, 4)，b}

v

_{= (1,0)，若}

v

_{c 平分a}

v

_與b

v

_{的夾角，且}

v

_{c 為單位向量，則}

v

_{c =？}

(9) 如圖：坐標平面上，O為原點，OA=8，AB=4， 2

BC = ，CD=1，∠AOB=∠ABC=∠BCD=120°， (a)試求C點坐標

(b)設 O

v

D^{=x O}

v

^{A+y O}

v

^{B，試求x y, 之値}

B C

A D

O

E H

F G

D C

B A

(10) 如右圖，在ΔABC中，AD⊥ AB， B

v

C = ³B

v

D，

=1 D

A

v

^{，則 A}

v

^C ⋅ ^A

v

^D=？

(11) (a) 正ΔABC之邊長為1，AH為BC上的高，求 ( B

v

C^{+ A}

v

^{H)． C}

v

^A。

(b) 平行四邊形ABCD中，AB=7，BC=5，求 A

v

C^{． B}

v

^D。

(12) 設 a =(k,2)， b =(2,3)

(a)若 a 垂直 b ，求k的值。 (b)若 a 平行 b ，求k的值。

(13) (a) 設 | a |=1，| b |=2， a 與 b 之夾角為60°， 若OP =2 a −3 b ，OQ=4 a + b ，則 | P

v

Q|=？

(b) 已知a

v

_與b

v

_{滿足 |}

a

v

_+b

v

_{| = 4，|}

a

v

_−b

v

_{| = 2，求 |}

a

v

_−2b

v

_|2 + |2a

v

_−b

v

_|2=？

(14) 坐標平面中，向量w 與向量 v =(2, 5)互相垂直且等長。請問下列哪些選項是 正確的？(2011學科能力測驗)

(1)向量 w 必為( 5,−2)或(− 5,2) (2)向量 v + w 與 v − w 等長

(3)向量 v + w 與w 的夾角可能為135°

(4)若向量 u =a v +b w，其中a,b為實數，則向量 u 的長度為 a²+b² (5)若向量(1,0)=c v +d w，其中c,d為實數，則c>0。

(15) 令A，B 為坐標平面上兩向量。已知A的長度為1，B的長度為2且 A與B 之間的夾角為60°。令 u = A + B ， v =x A +y B ，其中x y, 為實數且符 合6≤ + ≤x y 8以及− ≤ − ≤2 x y 0，則內積 u ⋅ v 的最大值為 。

(2013學科能力測驗)

(16) 若| b |=2| a |≠0，且( a + b )⊥( a −2

5 b )，則 a 與 b 之夾角為何？

(17) 設

→ ■

^u、

→ ■

^{v為兩非零向量，以|}

→ ■

^u|表示

→ ■

^{u之長度，若|}

→ ■

^u|=2|

→ ■

^v|=|2

→ ■

^u+3

→ ■

^v|，

且θ表示

→ ■

^u與

→ ■

^{v的夾角，則cos}θ= 。 (2006指定甲) (18) 引擎馬力的計算公式是P= 1

75 ( F ． v )，其中 F 是引擎所帶動物體的重量，

單位是kgw， v 是引擎帶動物體的速度，單位是m/sec。

現在有一貨車拉動軌道上重1000公斤的貨車，而纜線與水平線的夾角是30°， 貨車的速度是15m/sec，求貨車引擎的馬力。

(19) 設ABCD是平行四邊形，⎯AB=2，⎯BC=3，則AC．BD =？

A

B

C D

(20) ΔABC中，設A(−2,1),B(1,2),C(−4,3)，試求ΔABC的垂心H。

(21) 三向量 a , b , c ，若 a + b + c = 0 ，且| a |=2，| b |=3，| c |=4，則 (a) a ． b + b ． c + c ． a =？ (b)求 a 與 b 之夾角θ，cosθ=？

(22) 一單位圓之內接ΔABC，圓心O，若4OA+5OB+6OC=

→ ■

^0，

則(a)OA．OB =？ (b)AB =？ ⎯

(23) 如圖所示，一公路依地形迂迴而建，從A地到B地，

B地到C，C地到D地，距離分別是4 3、11、6公里，

而AB與BC，BC與CD間，兩公路的夾角分別是

90°、120°，試求A地到D地的直線距離。

進階問題

(24) 設 a 、 b 均非零向量，若 a 在 b 方向的投影量為| b |的3倍，而 b 在 a 方 向的投影量為| a |的1

6倍，則 a 與 b 之夾角為何？

(25) △ABC 中， a ＝OA， b ＝OB， c ＝OC， a ＋ b ＋ c ＝ 0 ， a ． b ＝−1， b ． c ＝−2， c ． a ＝−3，則：

(a)∣2 a ＋3 b ＋4 c ∣＝__________。(b)△ABC 之面積為_________。

(26) 若| a |=| b |≠0， 且| a + b |−| a − b |= 2| a |，求 a ， b 之夾角。

(27) 坐標平面上，A、B、C三點不共線，若OA+OB+OC= 0 ，|OA|=1，|OB|=2，

|OC|= 2 ，求(a)OA與OB之夾角θ的正弦值， (b)ΔABC的面積。

(c)|OA +2OB−OC|=？

(28) 設O為原點，以G(12, 5)− 為圓心，7為半徑作一圓，再作此圓之一內接正 ΔABC，試求│O

v

A^+O

v

^{B+ O}

v

^{C│之値。}

綜合練習解答

(1) (a) (5,12) (b)13 (c)3 (d) (2,−5) (2) (a)x=1,y=2 (b) 1 或 31

−17 (3) (B)

(4) (A)(B)(E) (5) (−4,20) (6) (全) (7) (−1, −1)

(8) 2 5 5

( , )

5 5

(9) (a) (9,3 3) (b) 7 3 8, 2 x= − y=

(a) ∵ O

v

A^{= (8,0)， A}

v

^B= (4cos 60 , 4sin 60 )° ° = (2, 2 3)， C

B

v

= (2cos120 , 2sin120 )° ° = ( 1, 3)− ， C

v

D= (cos180 ,sin180 )° ° = ( 1,0)− ，

⇒ O

v

C^{= O}

v

^{A+ A}

v

^{B+ B}

v

^{C =}(8,0) + (2, 2 3) + ( 1, 3)− = (9,3 3)

∴ C點坐標為(9,3 3)

(b) O

v

D^{= O}

v

^{A+ A}

v

^{B+ B}

v

^{C+ C}

v

^D= (9,3 3) +( 1,0)− = (8,3 3)， 又 O

v

D^{=x O}

v

^{A+y O}

v

^B

⇒ (8,3 3) =x (8,0) +y (10, 2 3) = (8x+10 , 2 3 )y y

⇒ 8x+10y=8且2 3y=3 3 ⇒ 7 3 8, 2 x= − y= (10) 3

(11) (a) 5

−4 (b) 24− (12) (a)−3 (b)4

3

(13) (a) 84 (b) 26 (14) (1)(2)(5)

(15) 31 (16) 60° (17) −7

8 (18) 100 3

(19) 5[提示：AC．BD=(AB+BC )．(BC +CD)=(BC +AB)．( BC−AB)]

(20) (−5 2 ，−3

2 ) (21) (a)−29

2 (b) 1 4 (22) (a)−1

8 (b) 3

2 [提示：|OA|=|OB|=|OC|=1]

(23) 7 7公里

[提示：AD=AB+ BC +CD]

(24) 45° [提示：

→ ■

^a對

→ ■

^{b方向的投影量為|}

→ ■

^{a|cosθ ，其中θ為}

→ ■

^{a 與}

→ ■

^{b 之夾角]}

(25) (a) 15(b)3 11 2

[提示：(a)

→ ■

^a⋅(

→ ■

^a+

→ ■

^b+

→ ■

^{c )=|}

→ ■

^a|2+

→ ■

^a⋅

→ ■

^{b +}

→ ■

^a⋅

→ ■

^{c =0 ⇒|}

→ ■

^{a |=2 同理可以求得|}

→ ■

^b

|= 3 ，|

→ ■

^{c |= 5 ，}

再求|2

→ ■

^{a ＋3}

→ ■

^b＋4

→ ■

^{c |2的值。(b)}ΔABC=ΔOAB+ΔOBC+ΔOCA]

(26) 30°

[提示：可令 a , b 之夾角θ，因為| a |=| b |，所以| a + b |=2| a |cosθ 2.，

| a − b |=| a |sinθ 2]

(27) (a) 7 4 (b)

3 7

4 (c) 22 (28) 39