向量(3) - 明誠

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：105.12.30 範

圍 3-1.2向量(3) 班級 二年____班 姓

座號 名 一、填充題(每題10分)

1. 設^，^不平行，若(x y 2)(x y 4) 0

，則數對( , )x y ___________？

答案： (1,3)

解析：  ^{ }, 不平行且(x y 2)  (x y 4) 0 2 0

( , ) (1, 3) 4 0

x y x y x y

  

     

2. 四邊形ABCD中，P, Q分別在AB與CD上，且AP PB: DQ QC: 3 : 2，若PQ

  

x AD y BC

， 則數對( , )x y ________.

答案： ( , )^{2 3} 5 5 解析：

2 3 3 2 3 3

( ) [ ( )]

5 5 5 5 5 5

PQ

         

 AQ AP  AD AC  AB AD BC BA  AB

2 3 3 3 2 3

[ ]

5AD 5BC 5AB 5AB 5AD 5BC



     

    

∴( , ) ( , )^{2 3} x y  5 5

3. ABC中，已知AB3,BC7,CA5，I為ABC的內心，若 , 為實數，且AI

  

 AB AC

， 則數對( , )  ________.

答案： ( , )^{1 1} 3 5

解析： I為ABC的內心，

5 3 1 1

3 7 5 3 7 5 3 5

AI  AB AC AB AC

   

    

∴( , ) ( , )^{1 1}

   3 5

4. 如圖，ABC中，D, E, F分別為BE,CF,AD的中點，若AE

  

 AB AC, , 

，則   ________.

答案： ⁵ 7

解析： 1 1

2 2

AE

  

 AF AC

（ACF中）

1 1 1 1 1 1 1

( ) ( )

2 2 AD 2AC 4 2AB 2AE 2AC



 

 

  

 

（ABE中）

7 1 1

8AE 8AB 2 AC



  

  _{1 4}

7 7

AE AB AC



  

 

∴ ¹, ⁴

7 7

    ， ⁵

  7

5. 設G為ABC的重心，且AG1,GB2,GC 2，求ABC的面積___________.

答案： ³ 7 4

解析： 在AG之延長線上取A使GA GA

連BA CA, 則GCA B 為平行四邊形BA 2 GBA

 之三邊長為1, 2, 2

由海龍公式， ^{3 2 1 2 1 2 3 2}

2 2 2 2

GBA        

 7

 4

又 3 3 ³ 7

ABC GBC  GBA 4

  

6. 設ABC中，A( 1,10), (4, 2), ( 1, 2) B  C   ，若I為ABC的內心，則I點坐標為_________.

答案： (1,0)

解析： A( 1,10)  a BC5

(4, 2) 12

B   b CA ( 1, 2)

C    c AB13

5 12 13

( 1,10) (4, 2) ( 1, 2)

30 30 30

aOA bOB cOC

OI a b c

 

        

 

  

 (1, 0)內心I坐標為(1,0)

7. 已知t為正實數，



a (5, 3),



b (2, 3)

，若



c t(2

 

a3 )b

，且



c

3，則t ________.

答案： ³ 5

解析：



c t(2

 

a3 )b 2 (5,3) 3 (2, 3)t  t (4 , 3 )t  t

2 2 2 3 3

16 9 25 5 3 ( )

5 5

c t  t  t  t    t  t



負不合

8. O為原點，x, y為正實數，已知C點在AB上，且AC CB: 1: 2，若

2 2

( 2, ), ( , 3), ( , 3 ) OA



  x OB



 x OC



 x y

，則x y ________.

答案： ¹ 9

解析： ∵ 1 2

: 1: 2

3 3

AC CB OC

  

 OB OA

2 2

2 2

1 2 4 2 3

( , 3 ) ( , 3) ( 2, ) ( , )

3 3 3 3

x x

x y x x  

    

2 2

4 3 3 4 0

x x x x

      

(x 4)(x 1) 0 x 4, 1( )

       不合

2 42 3 35

9 9

y  

  

∴ 4 ^{35 1}

9 9

x  y 

9. 若A(2, 3), ( 3, 7), ( 1,1) B  C  ，且P點為座標平面上一點，PA PB

  

 2PC



0

，則P點的座標為 ________.

答案： ( ^{3 3}, )

4 2

解析： ∵PA PB

  

 2PC 



0 (OA OP

     

 ) ( OB OP ) 2( OC OP )



0

2 4

OA OB OC OP



   

  

1 1 1

4 4 2

OP OA OB OC



   

  

¹(2, 3) ¹( 3, 7) ¹( 1,1) ( ^{3 3}, )

4 4 2 4 2

        ∴ ( ^{3 3}, )

P 4 2 10.



u ( , )a b

平行直線5x12y6，且



u5

，則u

________.

答案： (^{60 25}, ) ( ⁶⁰, ²⁵)

13 13 13 13

 

或

解析： 5x12y6

法向量



n (5, 12) 方向向量



v (12, 5)或( 12, 5) 

，又(12, 5) 13

所求 5 ^{(12, 5) ( 12, 5)} (^{60 25}, ) ( ⁶⁰, ²⁵)

13 13 13 13 13 13

   

 

或5

 

或

11. 斜率為³

2，且過A(1, 1) 的直線參數式為________.

答案： 1 2 1 3 ,

x t

y t t

  

    

 ^

解析： 斜率為³

2,故(2, 3)為L之方向向量∴ 1 2

: ,

1 3

x t

L t

y t

  

    

 ^

12. ABC中，已知A(5, 3), (6, 4) B ，且ABC之重心G( 2, 2) ，則頂點C的座標為________.

答案： ( 17, 5) 解析： 設C a b( , )

5 6 ( 3) 4

( 2, 2) ( , )

3 3

a b

G       

11 3 ( 2) 6 17

a        a

1 3 2 6 5

b     b ( 17, 5)

 C

13. 設L通過A(1, 2)和B(2, 3)二點的直線，P x y( , )為L上之一點，則2x²3y²之最大值 = ___.

答案： 6

解析： AB



(1, 1)

, 1

: ,

2

x t

L t

y t

  

   

 ^，P(1t, 2t)

2 2 2 2 2 2

2x 3y 2(t 1) 3(t 2) 2(t 2t 1) 3(t 4t 4)

           

2 2

8 10 ( 4) 6

t t t

        4

  t 時，有max6

14. 直線L通過(1, 3), (6, 7)二點的參數式 = ________.

答案： 1 5 3 4 ,

x t

y t t

  

   

 ^

解析： 1 5

(5, 4) : ,

3 4

x t

v L t

y t

  

     ^



15. 試將直線 3 4

: ,

2 3

x t

L t

y t

  

    

 ^化為直線的一般式，即axby 1 0，則數對( , )a b ______.

答案： ( 3, 4)  解析： 3 9 12

3 4 1 3 4 1 0

4 8 12

x t

x y x y

y t

  

       

   

 ，∴a 3,b 4，( , )a b   ( 3, 4)

16. a(2, 4)

，b ( 1,1)

，t，若c  a tb

，求c

的最小值___________.

答案： 2 解析： c  a tb

(2, 4) t( 1,1)

    (2  t, 4 t)

2 2 2

(2 ) ( 4 )

c t t

      ₂

2(t 6 ) 20t

   2(t3)²2 即t3時，c  2

為最小值 17. 設P x y( , )為x2y6上之動點，求 (x1)²(y5)²之最小值 = ________.

答案： 3 5

解析： 設P(62 , )t t  (2t5)² (t 5)²  5t²10 +50 = 5(t t²2 +1)+45= 5( +1) +45t t ² 當t 1時 有min 453 5

18. 由點P(5, 3) 作直線 1 2

: ,

1 3

x t

L t

y t

  

 

  

 ^的垂線，試求垂足座標為______.

答案： ( 1,1)

解析： 設H(2t1, 3t1)為垂足，PH



(2t6, 3t4)

，L之方向向量為



L (2, 3)

∵PH







L

，∴PH L



     



0 4t 12 9t 12  0 t 0

∴H( 1,1) 19. 若線段S之參數式為 8 4

, 2 8

11 3

x t

y t t

  

  

  

 ，則：(1)S的長度為_____；(2)S的斜率為_____.

答案： (1)30 (2) ³

4

解析： (1)t2 :x0,y 5 A(0, 5)

8 : 24, 13 (24, 13) t x y  B 

2 2

24 18 30

S AB  

(2)Sol一: 3 24 12 3

3 4 20 4 3 20 5

4 44 12 4

x t

x y y x y x

y t

  

           

  

 , ∴ ³

m 4

Sol二: 參數式 8 4

11 3

x t

y t

  

 

  

 方向向量



v (4, 3)

，所以斜率 ³ m 4 20. 已知為銳角，且



a (1, cossin )

，且



a

1，則 ________.

答案： 45

解析：



a  ² 1 (cossin ) ²  1 cos²2sin cos  sin²  0 2sin cos  1 sin 2 1 2 90  45

       

21. 設A(2, 4) (0, 3) (6, 9)

、

B

、

C ，若點P在BC上，且ABC的面積為

ABP的3倍，則直線AP的方程式為________.

答案： x2

解析： ∵ABC的面積是ABP的3倍，∴BP PC: 1: 2

2 1 2 1

(0, 3) (6, 9) (0, 2) (2,3) (2, 5)

3 3 3 3

OP

  

 OB OC    

，∴P(2, 5) 故AP x: 2 22. 設A k( 1, 2), ( 1, 3), (2,B  C k1)三點共線，求k________.

答案： 1 6

解析： 2 1 ²

// ( 2, 1)//( 3, 4 ) 3 4 8 2

3 4

AB BC k k k k k k

k

 

           

 

 

2 2 5 0

k k

    2 24

1 6

k 2

   

23. P(1, 3), (3, 5)Q  ，點A在直線PQ上，且PA QA: 3 :1，則A之座標 = ________.

答案： 5 ( , 3)

2  ;(4, 9)

解析： (1)A在P, Q中 1 3 1 3 10 12 5 (1,3) (3, 5) ( , ) ( , 3)

3 1 3 1 4 4 4 4 2

OA OP OQ 

        

 

  

(2) A在P, Q外 1 3 1 3

(1, 3) (3, 5) (4, 9)

3 1 3 1 2 2

OA  OP OQ

        

 

  

24. 已知a b, ，平面上兩點A( 3, 2), (1, 4) B ，且AB

的參數式為 2 3 , x a t y bt t

  

   

 ^，則數對( , )a b 

________.

答案： ( 1,1)

解析： AB



(4, 2)2(2,1)

，又(2, )b 為AB

之方向向量，∴b1 又( 3, 2) 為AB

上一點，即滿足 2 3 3 2 , x a t

y t

   

   

   a 1, ∴( , )a b  ( 1,1) 25. ABC中,AH為BC邊上的高，已知AB3,AC 2, BAC60，若

AH

  

 AB AC

，則 ________.

答案： ¹ 7

解析： BC²     9 4 2 3 2 cos 60 13 6 7，∴BC  7 設BH  x CH  7x

∴3²x² AH² 2²( 7x)²  9 x²   4 7 2 7xx², 6 7

6 7 7

7 6 7 7

7 7 7

BH x

CH

 

  

   



: 6 :1

BH CH  , 1 6

7 7

AH

  

 AB AC

∴ ¹

  7

26. 已知AB



的長度為6，且與x軸正向夾角為120，則AB





________，若始點A的座標為( 2, 3) ， 則B點座標為________.

答案： ( 3, 3 3), ( 5, 3 3 3)  

解析： AB



(6 cos120 , 6sin120 )   ( 3, 3 3) 設B x y( , )

( 2, 3) ( 3,3 3) 5, 3 3 3 AB



 x y     x y 

∴B( 5, 3 3 3) 

27. 二直線 ₁ 2 ₂ 1 2

: , , : ,

3 2 7 3

x t x t

L t L t

y t y t

   

 

 

     

 ^  ^，則L L₁, ₂之交點座標 = ________.

答案： ( 3, 13) 解析： 2

3 2

x t

y t

  

   

 L¹: 2x y 7 1 2

7 3

x t

y t

  

   

 L²: 3x2y17 解聯立 ¹

2

: 2 7

( , ) ( 3, 13) : 3 2 17

L x y L x y x y

  

  

  

