﹐ ﹐ N - 明誠

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：99.11.18 範

圍 2-4 平面方程式(2) 班級 二年____班 姓 座號 名

一、填充題 (每題 10 分 )

1. 設三平面E₁:x− +y az=1﹐E₂:bx+ + =y z 4﹐E₃:x+cy+ =z 2﹐若E₁⊥E₂且E₁//E₃﹐求a﹐b﹐ c的值為____________﹒

解答 a=1,b=0,c= −1

解析



N1=

(

1, 1,− a

)

﹐N



2=

(

b,1,1

)

﹐N



3=

(

1, ,1c

)

﹐

1 2

E ⊥E ﹐∴

 

N₁ ⋅N₂= ⇒ − + =0 b 1 a 0﹐

1// 3

E E ﹐∴1 1

1 1

a c

=− = ﹐解得a=1﹐b=0﹐c= −1﹒

2. 空間中二點^A

(

^{1, 3, 4−}

)

^﹐B

(

^{2, 2, 1−}

)

^{﹐若AB與平面3x− + =y z 5交於P﹐則AP}

BP =____________﹒

解答 5 2 解析

: 3 5 0

E x− + − =y z

﹐

∵

^{E A}

( )

^{: 3 3+ + − >4 5 0}

^﹐

^{E B}

( )

^{: 6− − − <2 1 5 0}

^﹐異號

∴

A

﹐

B

在平面異側﹐

2 2 2

1 2

2 2 2

3 3 4 5

3 3 4 5

3 ( 1) 1 5

6 2 1 5 6 2 1 5 2

3 ( 1) 1 AH

AP BP BH

+ + −

+ + − + − +

= = = =

− − − − − − + − +

﹒

3. 求過點^A

(

^{1, 1, 2−}

)

^與B

(

^{6, 0, 1−}

)

^{且與平面2x+2y− − =z 1 0}垂直的平面方程式為____________﹒

解答 5x− +y 8z−22=0

解析 ^AB



⁼

(

^{5,1, 3−}

)

﹐已知平面之法向量為



N1 =

(

2, 2, 1−

)

﹐

設所求平面之法向量為



N ⇒

 

N ⊥AB﹐

 

N ⊥N₁﹐取

  

N =AB N× 1 =

(

5, 1,8−

)

﹐ 所求為5(x− −1) (y+ +1) 8(z−2)= ⇒0 5x− +y 8z−22=0﹒

4. 一平面2x+ −y 3z=6交x軸於A﹐y軸於B﹐求AB之垂直平分面方程式____________﹒

解答 2x−4y+ =9 0

解析 令y= =z 0﹐x=3﹐^A

(

^{3, 0, 0}

)

^﹐

0

z= =x ﹐y=6﹐^B

(

^{0, 6, 0}

)

^﹐

AB中點 3 ,3, 0 2

 

 

 ﹐^BA



⁼

(

^{3, 6, 0−}

)

﹐取



^{N =}

(

^{3, 6, 0−}

)

﹐ 設所求為 3

3( ) 6( 3) 0

x−2 − y− = ⇒ 27

3 6 0 2 4 9 0

x− y+ 2 = ⇒ x− y+ = ﹒

5. 設^A

(

^{1, 0,1}

)

^﹐B

(

^{2, 2,3}

)

^{﹐則AB在平面E: 2x− −y 2z− =1 0}的正射影之長為____________﹒

解答 65 3 解析

(1)

A

代入

E A( ) : 2 0− − − = −2 1 1

﹐

B

代入

E B( ) : 4− − − = −2 6 1 5

﹐同號

∴

A

﹐

B

在平面

E

同側﹒

(2) (

^,

)

¹

d A E =3

﹐ (

^,

)

⁵

d B E =3

﹐

AB= 1²+2²+2² =3

﹐∴

2

2 4 65 65

3 3 9 3

A B′ ′ = −    = =

﹒

6. 如圖﹐一長方體ABCD−EFGH ﹐AB=1﹐AD=2﹐AE=3﹐求

(1)△BDE的面積為____________﹔(2)A點至△BDE所在平面的距離____________﹒

解答 6 7 解析

建立坐標系﹕則

^A

(

^2,1,3

) ^﹐

^B

(

^{2, 0,3}

) ^﹐

^D

(

^0,1,3

) ^﹐

^E

(

^{2,1, 0}

) ^﹐ (

^2,1,0

) (

^{0,1, 3}

) (

^{3,6, 2}

)

N =BD BE× = − × − = −

   ﹐

平面方程式﹕

3(x− +2) 6(y− +0) 2(z− = ⇒3) 0 3x+6y+2z−12=0

﹐

∴

^{6 6 6 12 6}

7 7

d + + −

= =

﹒

7. 已知平面E通過^{A a}

(

^{, 0, 0}

)

^﹐B

(

^{0, 2, 0}

)

^﹐C

(

^{0, 0, 1−}

)

^{且與平面y−2z=3的一夾角為60°﹐則a=____﹒}

解答 2 15

± 15

解析 設 : 1 2 2 2 1

(

2, , 2

)

2 1

x y z

E x ay az a N a a

a+ + = ⇒ + − = ⇒ = −

−



﹐

( )

2 3 2 0,1, 2

y− z= ⇒N



= − ﹐

∴

( )

(

^{2 4}

) ^{( )}

¹

cos 60

5 4 5 2

a a a

± +

° = =

+ ﹐∴ ² 4 2 15

15 15

a = ⇒ = ±a ﹒

8. 如圖示空間坐標中O為原點﹐點A﹐B﹐C分別位於x軸﹐y軸﹐z軸之正向上且OA=OB=OC﹐ 又D在OC上滿足OD DC: =1: 3﹐求原點O到平面ABC與到平面ABD之距離比=____________﹒

解答 6 :1

解析 設OA=OB=OC=1﹐OD DC: =1: 3⇒ 1 0, 0, D 4

 

 

平面 : 1 1

1 1 1

x y z

ABC + + = ⇒ + + =x y z ﹐

平面 : 1 4 1 1

4

ABD x+ +y z = ⇒ + +x y z= ﹐

∴所求 2 2 2

1 1 1 1

: : 6 :1

3 1 1 4 3 18

= = =

+ + ﹒

9.求過點

(

^{1, 2, 2}

)

^{且與二平面x− + =y z 1﹐2x+ − =y z 2}均垂直的平面方程式為____________﹒

解答 y+ − =z 4 0

解析



N1=

(

1, 1,1−

)

_﹐



_N2=

₍

_{2,1, 1}−

₎

_﹐

 

_N1×_N2=

₍

_0,3,3

₎

所求為⁰

(

^{x− +1}

) (

^{3 y−2}

) (

^{+3 z−2}

)

^{=0 ⇒ + − =y z 4 0﹒}

10.已知A

(

1,1, 0

)

﹐B

(

0, 1, 2− −

)

﹐平面E x: −2y+2z=5﹐AB在平面E上的正射影長____________﹒

解答 4 5 3 解析

(1)

A

﹐

B

代入平面均小於零﹐∴

A

﹐

B

在

E

之同側﹒

(2) (

^,

)

^{1 2 0 5 2}

d A E − + −3

= =

﹐ (

^,

)

^{0 2 4 5 7}

3 3

d B E + − −

= =

﹐

∴

2

2 1 1 80 4 5

3 9

3 9 9 3

A B′ ′ = −    = − = =

﹒

11.自原點作平面E之垂線﹐其垂足點為^P

(

^{−1, 2, 3−}

)

^{﹐則平面E}之方程式為____________﹒

解答 x−2y+3z+14=0

解析 取

 

^{N =OP= −}

(

^{1, 2, 3−}

)

_﹐E:

_{( )(}

_{−1 x+ +1}

_{) (}

_{2 y−2}

_{) (}

_{−3 z+3}

₎

_{=0﹐即x−2y+3z+14=0﹒}

12.已知空間中三點^A

(

^{1, 0, 0}

)

^﹐B

(

^1,1,1

)

^﹐C

(

^{0, 0,1}

)

^{﹐試回答下列各題﹕}

(1)設包含A﹐B﹐C三點的平面為E﹐則平面E的方程式為____________﹔

(2)設點^{P x y z}

(

^{, ,}

)

^{在平面E上﹐則x2+2y2+3z2}的最小值為____________﹔

(3)求平面E與xy平面的夾角之正弦值為____________﹒

解答 (1)x− + =y z 1;(2) 6

11;(3) 6 3

解析 (1)^AB



⁼

(

^0,1,1

)

_﹐AC



= −

₍

_{1, 0,1}

₎

_{﹐AB AC}

 

× =

₍

_{1, 1,1}−

₎

_﹐ ∴E: (x− −1) (y− + − = ⇒ − + =0) (z 0) 0 x y z 1﹒ (2)利用柯西不等式﹕

( )

^{2 2}

( ) ( )

^{2 2 3 2 12 1 2 1 2}

2 3

x y z x y z

     

 

− + ≤ + +  + −  +  

¹

(

^{2 2 2 3 2}

)

^{1 1 1}

2 3

x y z  

⇒ ≤ + +  + + 

2 2 2 1 6

2 3

11 11 6

x y z

⇒ + + ≥ = ﹐∴最小值為 6 11﹒

(3)N



E =

(

^{1, 1,1}−

)

_﹐N



_{xy =}

₍

_{0, 0,1}

₎

_﹐cos

⁽

^{1, 1,1}

^{) (}

^{0, 0,1}

⁾

¹

3 1 3

− ⋅

= ± = ±

θ ⋅ ﹐∴ 2 6

sinθ= 3 = 3 ﹒ 13.設x+ky+ − =z 2 0與x+ 2y− + =z 1 0之夾角為

3

π ﹐求k的值為____________﹒

解答 ± 2

解析



N1=

(

1, ,1k

)

﹐



^N2=

(

^{1, 2, 1−}

) ；

(

^{1 2 2}

) ^{( )}

^{1 1 2}

cos 2 2 2

3 2 2 2

k k k k

k

π = ± + − = ⇒ ± = + ⇒ = ±

+ ﹒

14.試求兩平面E₁:x− + − =y z 3 0﹐E₂:x+ +y 6z+ =2 0的夾角為____________﹒

解答 60°或120°

解析



N1=

(

1, 1,1−

)

﹐



^{N2 =}

(

^{1,1, 6}

)

﹐

( ) ( ) ( )( )

1, 1,1 1,1, 6 1

cos 3 2 2 2

θ = ± ^{− ⋅} = ± ﹐∴θ =60°或120°﹒

15.點^A

(

^−3,5,3

)

^{到平面E: 8x−14y−4z+37=0}的距離為____________﹒

解答 69 2

解析

( )

24 70 12 37 69 69 69

, 64 196 16 276 2 69 2

d A E − − − +

= = = =

+ + ﹒

16.二平面2x+3y−6z+ =3 0﹐4x+6y−12z− =1 0的距離為____________﹒

解答 1 2

解析 E₁: 2x+3y−6z+ =3 0﹐ ₂ 1

: 2 3 6 0

E x+ y− z− =2 ﹐∴

(

1 2

)

1 7

3 2 2 1

, 4 9 36 7 2

d E E

+

= = =

+ + ﹒

17.^A

(

^{1, 2, 4−}

)

^﹐B

(

^{−3, 4, 2−}

)

^{為空間中對稱於平面ax+by+cz=8的兩點﹐則序組}

(

^{a b c, ,}

)

^{=_________﹒}

解答

(

^{−8, 4, 4}

)

解析 即求A﹐B的垂直平分面﹐

 

^{N =AB= −}

(

^{4, 2, 2}

)

^{= −2 2, 1, 1}

(

^{− −}

)

_{﹐又A﹐B中點}

₍

_{−1,3, 3−}

₎

_﹐

該平面﹕2(x+ −1) (y− − + =3) (z 3) 0⇒ − +8x 4y+4z=8﹐∴

(

^{a b c, ,}

) (

^{= −8, 4, 4}

)

^﹒

18.設x﹐y﹐z皆為實數﹐已知x−2y− =z 6﹐求

(

^x−6

) (

^{2+ y+3}

) (

^{2+ z+6}

)

² 的最小值為_________﹒

解答 2 6 解析

SOL一；由柯西不等式知﹕

( )

²

( ) (

²

) (

²

)

^{2 2}

( ) ( )

^{2 2}

[ x− −6) 2(y+ − +3) (z 6 ] ≤ x−6 + y+3 + z+6   1 + −2 + −1 

(

^{x−2y− −z 18}

) (

^{2= 6 18−}

)

^{2 =144﹐}

∴

(

⁶

) (

^{2 3}

) (

^{2 6}

)

^{2 144 24}

x− + y+ + z+ ≥ 6 = ﹐所求最小值= 24=2 6﹒ SOL二：即求點

(

^{6, 3, 6− −}

)

^{到平面x−2y− − =z 6 0的距離﹕}

6 6 6 6 12

1 4 1 6 2 6 d + + −

= = =

+ + ﹒

19.如圖所示的長方體中﹐M 點在FG上﹐且 1

FM =2MG﹐DH =2則通過H 點且與DM垂直的平面方程式為____________﹒

解答 3x−6y+ + =z 5 0 解析

圖中

^G

(

^{−2, 4,1}

) ^﹐

^F

(

^{−2, 4, 0}

) ^﹐

由內分點公式﹕

^{4 2 8}, ^{4 0 1}, 2 1 2 1 2 1 M− − + + 

 + + + 

 

﹐即

2, 4,¹

M− 3

﹐

所求平面與DM 垂直﹐∴ 2

2, 4,

DM



= − −3 是所求平面之一法向量﹐

平面過^H

(

^{−2, 0,1}

)

^{﹐∴ : 2( 2) 4( 0) 2( 1) 0}

E − x+ + y− −3 z− = ⇒3x−6y+ + =z 5 0為所求﹒

20.試求包含x軸﹐且過

(

^{1, 1, 2−}

)

之平面方程式為____________﹒

解答 2y+ =z 0

解析 x軸可視為xy平面(z=

0

)與xz平面(y=0)之交線﹐∴所求為y+kz=0﹐

(

^{1, 1, 2−}

)

^{代入得 1 2 0 1}

k k 2

− + = ⇒ = ﹐所求為2y+ =z 0﹒

21.設平面包含^O

(

^{0, 0, 0}

)

^﹐A

(

^{2, 0, 2}

)

^﹐B

(

^0,1,1

)

^{三點且與xy平面之銳夾角為θ﹐求tanθ =_________﹒}

解答 2 解析

O

﹐

A

﹐

B

三點的平面法向量 

N

，

( )

( 2, 2, 2) 2 1,1, 1

OA OB

 

× = − − = − −

﹐取 

N =(1,1, 1)−

又

xy

平面之一法向量

N



x =

(

^0,0,1

) _﹐則

( )

¹

^{( )}

¹

cos

3 1 3

x

x

N N N N

⋅

= = =

   

θ

﹐∴

tanθ= 2

﹒

22.二平面E₁: 3x+ − + =y z 1 0﹐E₂:x+ + =y z 0之交線L﹐求﹕

(1)由點^A

(

^{1, 2,3}

)

^{與L所決定之平面E}方程式為____________﹔

(2)包含L且與平面E₃: 2x− +y 3z− =1 0垂直的平面F之方程式為____________﹒

解答 (1) 5x+ −y 3z+ =2 0;(2) 5x+ −y 3z+ =2 0 解析 (1)設所求^{E: 3}

(

^{x+ − + +y z 1}

) (

^{k x+ +y z}

)

^=0﹐

A

(

1, 2,3

)

代入得

(

^{3 2 3 1}

) (

^{1 2 3}

)

^{0 1}

k k 2

+ − + + + + = ⇒ = − ﹐

∴ ^{: 3}

(

¹

)

¹

( )

^{0 5 3 2 0}

E x+ − + −y z 2 x+ +y z = ⇒ x+ −y z+ = ﹒

(2)設^{F: 3}

(

^{x+ − + +y z 1}

) (

^{t x+ +y z}

)

^=0﹐

(

^{3+t x}

) (

^{+ +1 t y}

) (

^{+ − +1 t z}

)

^{+ =1 0﹐}



^{N = +}

(

^{3 t,1+ − +t, 1 t}

)

_﹐

_{( )}

3 2, 1,3 N



E = − _﹐

 

N ⋅ N_E3 = ⇒0 2 3

(

+ + −t

) ( )(

1 1+ + − + =t

) (

3 1 t

)

0_﹐ ¹ t= −2﹐

∴ ^{: 3}

(

¹

)

¹

( )

^{0 5 3 2 0}

F x+ − + + −y z  2 x+ +y z = ⇒ x+ −y z+ = ﹒

23.空間中﹐已知平面E通過

(

^{3, 0, 0}

)

^﹐

(

^{0, 4, 0}

)

^{及正z軸上一點}

(

^{0, 0,a}

)

^{﹐若平面E與xy平面的夾角}

成45°﹐則a=____________﹒

解答 12 5

解析 設所求E之方程式為 1 3 4

x y z

+ + =a ﹐a>0﹐

( ) ( )

^{4a x+ 3a y+12z−12a=0﹐法向量}



N1=

(

4 ,3 ,12a a

)

_﹐

取xy平面之法向量為N



2=

(

0,0,1

)

﹐ ^{1 2}

2

1 2

cos 45 12

25 144

N N N N a

± ⋅

° = = ±

+

   

^﹐

2

2

2 144 12

2 25 144 a 5

a

 

= ⇒ = ±

 

  +

  （取正）﹐∴ 12

a= 5 ﹒

24.含二平面x+ +y 2z+ =3 0﹐x+2y− − =z 2 0之交線且與平面3x+2y+ − =z 4 0垂直之平面方程式 為____________﹒

解答 x+8y−19z−32=0

解析 設^E:

(

^{x+ +y 2z+ +3}

) (

^{k x+2y− −z 2}

)

^{= ⇒0}



^{N = +}

(

^{1 k,1 2 , 2+ k −k}

)

_﹐

∵與3x+2y+ − =z 4 0垂直﹐

∴

(

1+k,1 2 , 2+ k −k

) (

⋅ 3, 2,1

)

=0 7

3 3 2 4 2 0

k k k k −6

⇒ + + + + − = ⇒ = ﹐

∴ ^:

(

^{2 3}

)

⁷

(

^{2 2}

)

⁰

E x+ +y z+ −6 x+ y− −z = ﹐即x+8y−19z−32=0﹒

25.設平面E₁: 2x+3y+6z=7﹐平面E₂: 3x+6y+2z=5﹐試求 (1)E₁與E₂夾角之角平分面方程式___________________﹒

(2)E₁與E₂所夾銳角之角平分面方程式___________________﹒

解答 (1)x+3y−4z+ =2 0﹐5x+9y+8z−12=0﹒(2) 5x+9y+8z−12=0

解析 (1)角平分面﹕2 3 6 7 3 6 2 5

49 49

x+ y+ z− = ± x+ y+ z−

⇒F x₁: +3y−4z+ =2 0﹐F₂: 5x+9y+8z−12=0﹒ (2)E₁上取一點^P

(

^{2,1, 0}

)

^﹐

(

1

)

2 3 0 2 7

, 26 26

d P F + − +

= = ﹐

(

2

)

10 9 0 12 7

, 170 170

d P F + + −

= = ﹐

7 7

26

>

170

∴F₁為鈍角之角平分面﹐而銳夾角之角平分面為F₂: 5x+9y+8z−12=0﹒

26.設直線 3 1 0

: 0

x y z L x y z

+ − + =

 + + =

 ﹐平面E₁: 2− + +x y 3z=1﹒若平面E₂包含直線L且E₂⊥E₁﹐則平面E₂ 的方程式為____________﹒

解答 7x+5y+3z= −1

解析 設E2: 3

(

x+ − + +y z 1

) (

k x+ +y z

)

= ⇒0 E2: 3

(

+k x

) (

+ +1 k y

) (

+ − +1 k z

)

+ =1 0

( )

2 3 ,1 , 1

N k k k

⇒



= + + − + _﹐

∵E₂⊥E₁﹐∴N

 

₂⊥ N_{1 ﹐∴N}

 

_{2 ⋅ N1 =0﹐又}



_N1 = −

₍

_2,1,3

₎

( ) ( ) ( )

2 3 k 1 k 3 1 k 0 2k 8 0 k 4

⇒ − + + + + − + = ⇒ − = ⇒ = ﹐代入E₂: 7x+5y+3z= −1﹒

27.求與x+ + =y z 1平行﹐且與

(

^{3, 5,1−}

)

^﹐

(

^{−1,3, 7}

)

等距離的平面方程式為____________﹒

解答 x+ + − =y z 4 0

解析 設所求為x+ + + =y z k 0﹐必

過 (

^{3, 5,1−}

)

^﹐

(

^{−1,3, 7}

) ^的中點

(1, 1, 4)− ﹐

∴

1 1 4

− + + = ⇒k

0

k= −4﹐所求為x+ + − =y z 4 0﹒