θ - 明誠

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗       日期：105.11.04  範 

圍  1‐5&2‐1測量.直線  班級  二年____班 姓 名

  座號   

一、填充題(每題10分)

1. 已知cos 42 10 0.7412, cos 42 20 0.7392, cos  0.7406，且90   180，求________.

答案： 137 47 解析：

cos 42 10 0.7412 cos 42 1 0.7406 cos 42 20 0.7392

x

   

   

 

   

 

6 10 20

 x   x 3

cos 42 13 0.7406 0.7406 cos(180 42 13 ) cos137 47

          

2. 某人於山麓測得山頂的仰角為45，由此山麓循30斜坡上行200公尺，再測得山頂的仰角為 60，試求山高__________.

答案： 100(1 3) 解析： 設BE x

3 DE x

  ，AD100 3

100 ODEC

100 100 3

3 x  x 

100 3

x ，山高100 3 100 （m）

3. 平地上三點A B C, , 測某山頂之仰角均為15，若BAC 30 ， 250

BC 公尺，求山高________公尺.

答案： 250(2 3)

解析： 山頂之仰角均為15，A B C, , 三點共圓，設山高ODh OAOBOCR , tan15 h 2 3 (2 3)

h R

  R     

2 250 250

sin 30

R  R

  h 250(2 3)（m）

4. 從地面上共線A B C, , 三點各測得一山之仰角依序為30, 45, 60，若AB200m,BC200m，

則山高________m.

答案： 100 6 解析：



2 2 2

( 3 ) ( ) 2( 40000)

3

h h h

   

2

2 2

3 h 2 80000

h h

     ⁴h² 80000 h² 60000 h 100 6

5.根據氣象報告﹐在鵝鑾鼻東南方400公里的海面上有一個颱風﹐暴風半徑250公里﹐正以每小時 50公里的速率朝「西15北」的方向前進﹐若風速﹑風向及暴風半徑都不改變﹐則鵝鑾鼻在開始 進入暴風圈後_______小時脫離颱風﹒ 

  解答  6 

     解析     設颱風中心在P點時﹐鵝鑾鼻O點開始進入暴風圈 

由圖  ¹ 200

OB2AB ﹐BP 250²200² 150 

∴ 鵝鑾鼻在開始進入暴風圈後颱風前進2^BP^{150 2} ³⁰⁰脫離. 

∴ 所求 ³⁰⁰ 6

 50  （小時）﹒ 

 

6. 設一湖，欲測湖岸兩點P、Q的距離，已知湖岸築有鐵絲網不能靠近，今在鐵絲網外取得A、

B兩點，得AB100公尺，如圖，測得PAB75,QAB45^,PBA60,QBA90^， 則AP________公尺；PQ________公尺.

答案： 50 6；50 2

解析： (1)△PAB中，APB180^(75^60 )^ 45^ 由正弦定理： 100

sin 60 sin 45

AP_  _ AP50 6

(2)△QAB中，ABQ90^，QAB45^，∴AQ100 2 △QAP中，PAQ75^45^ 30^

由餘弦定理：PQ² (50 6)²(100 2)²  2 50 6 100 2 cos 30 ^5000

∴PQ 5000 50 2

7. 如圖所示，在A點測得大樓BC樓頂C點之仰角為，往前走30 公尺到達D點，測得大樓樓頂C點的仰角為2，再向前走10 3 公尺到E點，測得大樓樓頂C的仰角為4，則 __________，

大樓高為__________公尺.

答案： 15, 15 解析： ACD中：

2

ACD CDE CAD   

        ADCD30

CDE中：DCE  CEB CDE422 CEDE10 3

由正弦定理： 30 10 3 sin(180 4 ) ^sin 2 sin 4 3 sin 2

  

2 sin 2 cos 2  3 sin 2

  cos 2 ³ 2 30 15

 2  

       

CDE中：sin 4 BC

  CE sin 4 10 3 sin 60 10 3 ³ 15 BC CE  2

        

8. 如圖，設氣球A在地面的投影O在橫跨河的鐵橋BC的延長線上，從A點 測得橋的一端B點的俯角是75，從A點觀測橋的另一點C的俯角是30， 若已知氣球的高度為300公尺，則鐵橋BC的長度為_____公尺.

答案： 600( 3 1)

解析： OAB中：OB tan15 300 (2 3)

OA  OB  

OAC中：OC tan 60 300 3

OA   OC 

BCOC OB 300 3300(2 3) 300(2 32) 600( 3 1)

9. 如圖，一船以時速32海里向正北等速前進，在A點看到燈塔C在船的北30

東，半小時後航行到B點，在B點看燈塔C在船的北75東，此時燈塔C與 B點的距離為_________海浬.

答案： 8 2

解析： AB32 0.5 16  (nm) 又      C 75 30 45

ABC中： 16 sin 30 sin 45

BC 

  , 16 1

1 2 8 2 2 BC  

10. 平面上有A、B兩點，A在塔的正東，B在塔的東南且在A的南 30西 300 公尺處，在 A 測得塔頂的仰角為30，則塔高為 ________公尺.

答案： 50(3 3)

解析： ∵ ³⁰⁰ sin 75 sin 45

x   

∴ 300 6 2

1 4

2

x   300 (2 2 3)

4

   150( 3 1) 故

150( 3 1)

OH  3  50(3 3)

11. 如圖，小明在他家的樓底B點測得焚化爐的頂樓C點之仰角為75,他去焚化 爐頂樓參觀時，看到他家樓頂A點的俯角是30,若AB60 m，則焚化爐的 高度為________.

答案： 15(3 3) 解析：

75 30 45

ACB     ,ABC 15  BAC 120

△ABC中， 60

sin 45 sin120

 BC

 

60 2 3 30 6 BC 2

   

∴CD30 6 sin 75  30 6 ^{6 2} 4

   30(6 2 3)

4

  15(3 3) m

12. 在平地上的A點觀測2000公尺的高山時，仰角為30，接著向著山前的平地B點觀測時，仰 角為60，則AB之距離為________公尺.

答案： ⁴⁰⁰⁰ 3 3

解析： 2000 2000(cot 30 cot 60 ) cot 30 cot 60

AB AB

     

  

3 1

2000( )

1 3

  2000 3 ^{2000 3}

  3 4000

3 3

 (m)

13. 一塔高200公尺，樹A在塔的正東，樹B在塔的南30東，一人從塔頂測得A B, 的俯角均為45， 試求AB__________公尺.

答案： 200

解析： 如圖，OAB為正，AB200（m）

14. 一建築物高90公尺，站在頂端看另一建築物之仰角為，底部之俯角為，若sin ⁵

 13, cos 8

 17，則另一建築物之高度為________.

答案： 110 解析：

sin 5

 13

cos 8

 17

cot 90 cot 90 8 48

90 15

AB AB

 

       

tan 48 tan 48 5 20

48 12

BC BC

        

高20 90 110  (m)

15. 已知L ax₁:  (a 2)y 1 0與L₂:xay (2 a)0垂直，則a________.

答案： 0, 3

解析： ₁: ₁: ( 2) 1 0 ₁

2

L L ax a y m a

      a



2 2

: (2 ) 0 1

L x ay a m

      a

1 2

L L

 ， m m_{1 2}  1 ¹ 1 2

a

a a

  

    

  a a²2aa²3a 0 a a(     3) 0 a 0, 3 16. 過點P( 2, 3) 且

(1)與L: 5x2y1垂直的直線方程式為________，

(2)與L: 5x2y1平行的直線方程式為________.

答案： 2x5y190, 5x2y 4 0 解析： : 2 5 1 ⁵ 1

L y     x y 2x ， ⁵

L 2

m  

//L， ² m 5

 _ 

: 3 2( 2) 5 15 2 4 2 5 19 0

y 5 x  y  x  x y 



又//L， ⁵ m_ 2

 _  

: 3 5( 2) 2 6 5 10 5 2 4 0

y 2 x y x x y

             



17 過二直線x2y 3 0與x2y0之交點，且y截距為–2之直線方程式為________.

答案： 5x6y120

解析： 設所求直線方程式為(x2y 3) k x( 2 )y 0

∵過(0, –2)

( 4 3) k(0 4) 0

       ¹ k 4

( 2 3) 1( 2 ) 0 5 6 12 0

x y 4 x y x y

         

18. 若A(7, ), ( 1, 3), (2, 1)b B  C  三點共線，則b________.

答案： ²³

 3

解析： ^{3 4} 3 9 32 3 23 ²³

8 3 3

AB BC

m m b     b   b   b



19. P(5, 3)對L: 4x3y4的(1)對稱點座標為______，(2)投影點座標為______.(3)d A L( , )_____

答案： (1)( 3, 3),  (2)(1, 0), (3)5

解析： (1).(2)設P關於L之對稱點為P a b( , )， 取PP之中點 ( ⁵, ³)

2 2

a b

M   L(即投影點)

5 3

4 3 4 4 20 3 9 8

2 2

a b

a b

 

        4a3b 21 又 : 4 3 4 ⁴

L 3 L x y m   且PP L，∴m_PPm_L  1

3 3

4 12 3 15

4 5

PP

m b b a

 a

       

 3a4b3

4 3 21

3 ( 3, 3) (1, 0)

3 4 3

a b

a b P M

a b

  

 

          

(3) d A L( , )PM  (5 1) ² (3 0)² 5

20. ABC之三頂點座標為(3, 6), (2, 2), (–1, –5)，則ABC之

(1)重心座標為________.(2)外心座標為________.(3)垂心座標為________.

答案： (1)( , 1)⁴

3 ; (2) 331 129

( , )

10 10 ; (3) 351 114

( , )

5  5

解析： (1)重心 (^{3 2 1 6}, ^{2 5}) ( , 1)⁴

3 3 3

G     

(2)AB中垂線： 1 5

4 ( ) 2 8 37 0

4 2

y   x  x y 

BC中垂線： 3 3 1

( ) 3 7 9 0

2 7 2

y   x  x y  外心 331 129

( , )

10 10



(3) AB上的高： 1

5 ( 1) 4 21 0

y  4 x  x y 

BC上的高： 3

6 ( 3) 3 7 51 0

y  7 x  x y  垂心 351 114

( , )

5  5

21. 平面上兩點A( 1, 3), ( 3, B  3)，則AB

的斜率為________，AB

直線方程式為________，若AB



與x軸正向夾角為，且0   180，則 ________.

答案：  3, 3x  y 3 3,120

解析： ^{3 ( 3) (3 3)( 1 3) 2 3} 3

1 3 ( 1 3)( 1 3) 1 3

mAB          

      

: 3 3( 1) 3 3 3

AB y   x  x  y

 ，mtan   3tan120  ，  120

22. 直線(3 2 ) k x (2 k y)   ( 8 3 )k 0，不論k為任何實數，恆過一定點，則此定點為_____.

答案： (2, 1)

解析： (3 2 ) k x (2 k y)   ( 8 3 )k  0 (3x2y 8) k(2x  y 3) 0

3 2 8 0

2 3 0

x y x y

  

     ^{( , )x y (2, 1)}

23. 平行四邊形ABCD，A(4, 2), (6,8)C ，若過P(1, 3)的直線且將平行四邊形ABCD面積等分方程式 為________.

答案： x2y 5 0

解析： 將平行四邊形ABCD面積等分之直線 取AC之中點M(5, 5)，M, P皆在BD

上 : 3 ^{5 3}( 1) BD y  5 1 x





2y 6 x 1 x 2y 5 0

       

24. 設A(2,1), (4, 3), (3, 5)B C  ，則過A且平分ABC面積之直線為________.

答案： 4x3y11

解析： 過A且平分ABC面積之直線即中線，

即為過A與BC邊上中點M的直線，取 ( , 1)⁷ M 2  1 ( 1)

: 1 ( 2)

2 7 2 AM y    x





1 2 ( 2) 3 3 4 8 4 3 11

3 2

y x y x x y

           



25. 設A(2, 3), ( 6, 5)B  ，若P點在x軸上移動，且PAPB之值最小，則P座標=________.

答案： ( 1, 0) 解析：

作A對x軸之對稱點A(2, 3)

8 1 : 3 ( 1)( 2) 1 0

A B 8

m _     A B y    x    x y

若y0,x 1 P( 1, 0) 26. 已知平面上兩點A( 2,1), (4, 3) B ，則AB的垂直平分線L方程式為________.

答案： 3x y 5

解析： 取AB的中點M(1, 2)， 3 1 1 4 ( 2) 3 mAB 

 

 

L 3 L AB，m  



: 2 3( 1) 3 5

L y   x  x y

27. 若一直線過點(–2,2)，且與兩坐標軸圍成一個三角形，其面積

為1，求此直線的方程式_________.

答案： x2y2 或 2x  y 2 0 解析： 設此直線的方程式x y 1

a  b ,兩軸截距 , ¹ 2

a b2 ab  ab  ，ab 2 b ²

    a ( 2, 2) 代入 x y 1

a   b 2 2 a b 1

   b 2

 a代入 2 2 a b 1

    2

1 a a

  

(1) 2 ²

1 2 0, ( 2)( 1) 0

a a a a a

a

           a 2 1,或 b1 2或 直線x2y2; 2x  y 2 0

(2) 2 ²

1 2 0,

a a a a

       無解