PDF 108 年學測趨勢預測

(1)

1 ^{前言}

民國

102

年開始，「學科能力測驗數學考科」開始依照「99課綱」命題，縱觀這幾屆的學測考題，難度仍然往中間方向靠攏，不過由於大學選才的需求，及參考學測成績入學的名額逐年的提高，這幾年的試題難度比學測初辦時的難度已有大大的提升。

大考中心在「學科能力測驗數學考科」裡揭櫫測驗的目標包括：

1.

概念性知識：能辨認某概念；能確認概念中的基本數學原理。

2.

程序性知識：能讀圖查表或運用適當的公式與步驟解題。

3.

解決問題的能力：能應用數學知識、選擇有效策略及推理能力解決問題，並能檢驗結果的合

理性與正確性。

由以上測驗目標可知，學測試題解題所需的概念、步驟一般較少，計算也不致於太複雜。題

目趨向於生活化，考題簡單中亦附有靈活思考的啟發作用。

2 ^{學測試題分析}

(一) 各單元在

103

年到

107

年試題分布所占的分數

冊別單元 103年 104年 105年 106年 107年合計

第一冊

數與式 10 0 5 0 5 20

多項式函數 10 5 10 10 5 40

指數、對數函數 5 15 5 10 10 45

第二冊

數列與級數 5 5 5 5 0 20

排列、組合 10 10 5 10 5 40

機率 5 10 10 5 10 40

數據分析 5 5 10 10 5 35

第三冊

三角 10 10 10 10 10 50

直線與圓 15 5 10 5 5 40

平面向量 10 10 5 10 20 55

第四冊

空間向量 10 10 0 5 10 35

空間中平面與直線 0 5 15 10 5 35

矩陣 5 5 5 5 5 25

二次曲線 0 5 5 5 5 20

由上表知各冊所占分數大致平均；雖然每一年所考單元中的重點內容都會改變，不過第二冊及第三冊的的分量還是占多一些。

年學測 ^{趨勢預測}

108 數學科

文／吳泓誼老師

(2)

(二) 基本觀念試題所在多有

仔細分析這些試題，我們發現其中有太多容易取分的題目，這可能是出題教授要大家不要緊張並且給那些真的有讀書不放棄的同學而設計的吧！所以筆者建議同學們的基本觀念應多加強，

課本、復習講義的重點值得一看再看。今舉

107

年與

106

年的簡單試題如下：

〈107 年單選 1〉

給定相異兩點

A、B，試問空間中能使△PAB

成一正三角形的所有點

P

所成集合為下列哪一選項？

(1) 兩個點 (2) 一線段 (3) 一直線 (4) 一圓 (5) 一平面

【答案】(4)

〈107 年單選 2〉

一份試卷共有

10

題單選題，每題有

5

個選項，其中只有一個選項是正確答案。假設小明以隨機猜答的方式回答此試卷，且各題猜答方式互不影響。試估計小明全部答對的機率最接近下列哪一選項？

(1) 10

^－⁵

(2) 10

^－⁶

(3) 10

^－⁷

(4) 10

^－⁸

(5) 10

^－⁹

【答案】(3)

〈106 年單選 1〉

已知某校老師玩過「寶可夢」的比率為

r

1，而學生玩過的比率為

r

2，其中

r

1≠r2。由下列選項中的資訊，請選出可以判定全校師生玩過「寶可夢」的比率之選項。

(1) 全校老師與學生比率 (2) 全校老師人數

(3) 全校學生人數

(4) 全校師生人數

(5) 全校師生玩過「寶可夢」人數

【答案】(1)

〈106 年單選 2〉

某個手機程式，每次點擊螢幕上的數

a

後，螢幕上的數會變成

a

²。當一開始時螢幕上的數

b

為正且連續點擊螢幕三次後，螢幕上的數接近

81

³。試問實數

b

最接近下列哪一個選項？

(1) 1.7 (2) 3 (3) 5.2 (4) 9 (5) 81

【答案】(3)

(三) 數據解讀能力還要再提升

數據解讀能力是

99

課綱學測永不缺席的題型，同學們看到又臭又長的題目有時真的會失去耐性，看到後面往往忘記前面，更甚者還有陷阱在其中，同學們的確要打起精神應付這類型的題目。今舉

107

年與

106

年的相關試題如下：

(3)

〈107 年多選 8〉

某年學科能力測驗小華的成績為：國文

11

級分、英文

12

級分、數學

9

級分、自然

9

級分、

社會

12

級分。他考慮申請一些校系，表 1為大考中心公布的學測各科成績標準；表

2

是他最有興趣的五個校系規定的申請檢定標準，依規定申請者需通過該校系所有檢定標準才會被列入篩選。例如甲校系規定國文成績須達均標、英文須達前標、且社會須達均標；丙校系則規定英文成績須達均標、且數學或自然至少有一科達前標。表 2空白者表示該校系對該科成績未規定檢定標準。

表

1

學測各科成績標準

頂標前標均標後標底標

國文

13 12 10 9 7

英文

14 12 9 6 4

數學

12 10 7 4 3

自然

13 11 9 6 5

社會

13 12 10 8 7

表

2

校系篩選規定

國文英文數學自然社會

甲校系均標前標均標

乙校系前標均標前標

丙校系均標一科達前標

丁校系一科達前標均標均標戊校系均標前標均標前標

根據以上資訊，試問小華可以考慮申請哪些校系 ( 會被列入篩選 )？

(1) 甲校系 (2) 乙校系 (3) 丙校系 (4) 丁校系 (5) 戊校系

【答案】(1)(4)

〈106 年單選 5〉

右圖是某城市在

2016

年的各月最低溫 ( 橫軸

x )

與最高溫 ( 縱軸

y )

的散佈圖。今以溫差 ( 最高溫減最低溫 ) 為橫軸且最高溫為縱軸重新繪製一散佈圖。

試依此選出正確的選項。

(1) 最高溫與溫差為正相關，且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性強 (2) 最高溫與溫差為正相關，且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性弱 (3) 最高溫與溫差為負相關，且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性強 (4) 最高溫與溫差為負相關，且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性弱 (5) 最高溫與溫差為零相關

【答案】(4)

(4)

(四) 作圖能力不可忽視

作圖是數學解題很重要的一部分，幾何與代數的結合往往會迸出漂亮的火花，而作圖常常讓我們對題目有更深的了解，進而幫助我們解題。甚至有些學測試題當中，並不是所有的題目都需要計算，概念清楚的同學，有些題目當你畫出圖形時答案已然知曉。今舉

107

年與

106

年的相關試題如下：

〈107 年多選 12〉

試問下列哪些選項中的二次曲線，其焦點（之一）是拋物線

y

²＝2x的焦點？

(1) y＝( x－

2 1 )

²－

4

1 (2) 4 x

2

＋

3 y

2

＝1

(3) x

²＋

3 4 y

²

＝1

(4) 8x

²－8y²＝1

(5) 4x

²－4y²＝1

【答案】(1)(3)(4)

〈107 年選填 D〉

坐標平面上，圓Γ完全落在四個不等式：x－y ≤ 4、x＋y ≤ 18、x－y ≥－2、x＋y ≥－24所圍成區域內。則Γ最大可能面積為 π。( 化成最簡分數

)

【答案】

2 9

(1) 此動點不會碰到Γ，也不會碰到  (2) 此動點會碰到Γ，但不會碰到 

(3) 此動點會碰到 ，但不會碰到Γ (4) 此動點會先碰到Γ，再碰到 

(5) 此動點會先碰到 ，再碰到Γ

【答案】(5)

3 ^{學測準備方向}

高三上，當我把復習講義上完後，我會建議學生在家復習時，將講義闔上，一個單元一個單元的默想其中的重點並用紙筆寫出來，目的就是要他們了解這個單元的重點在哪裡？自己是不是還遺漏了甚麼重要觀念？如此，學生在做題目時對觀念的熟悉度將更深刻！以下幾點提供給同學們參考：

1.

掌握各單元的重要觀念。例如：

(1)

多項式函數中的奇函數、偶函數定義。

(2)

單利與複利的定義。

(3)

條件機率與獨立事件的關係？迴歸直線與相關係數的關係是甚麼？

(4)

三角函數中和角公式、倍角公式、半角公式、三倍角公式是否熟悉？

(5)

二次曲線中的拋物線、橢圓、雙曲線的定義如何？

(5)

2.

熟悉課程中出現過的圖形。例如：

(1) 關於平面圖形：直線、二次函數、指數、對數、圓、橢圓、拋物線、雙曲線等。請了解

這些圖形的特徵，例如：對稱性、遞增或遞減、奇偶函數特性、圖形如何受方程式的影響，包括開口大小、平移、對稱等。

(2) 關於空間的圖形：空間中直線、平面、正四面體、四角錐 ( 金字塔型 ) 等。其中正四面

體是出題教授的最愛，它的高如何算？

3.

多做應用問題。例如：

(1) 指數與對數函數中的複利問題、地震問題、半衰期問題。

(2) 三角函數中的測量問題。

(3) 生活中的排列組合問題、機率問題。

(4) 空間中的測量問題常常需要坐標化，並利用平面的法向量以解決交角問題。

4 ^{結語}

今年(107學測)想必讓很多同學笑著走出考場，因為題目真的是出乎意料的簡單，不過明年

(108

學測)想必就沒有這樣的待遇了，大家可以想像

104

年、106年的難度真的有比較深，108學測會如何就讓我們拭目以待吧！

目前，利用學測成績申請進入大學的學生有愈來愈多的比例，學測已經成為大學取才的重要

標準。最初學測主要檢定考生是不是具有基本的學科知識，而指定科目考試是要清楚區隔各個考生的程度，故命題的層次有所不同，但是隨著申請名額愈來愈多，命題方向已經改變這個初衷。

但難題會增加很多嗎？不會的，也就是那兩三題罷了！所以，同學們的準備仍是要「一步一腳印、永不放棄」！

以上考題趨勢在本人所編著的「智慧型復習講義」中皆一再提及，並要同學多加留心注意，

「智慧型復習講義」一書每年皆有修訂以更符合現今的考題趨勢，今年又新加入許多筆者所蒐集的國外考題以供同學釐清觀念用。另外本書的範例、演練皆留有空格以利於老師上課講解、同學演練，並適時比較觀念差異，參酌同學的意見刪去較難的題目，讓同學們做起題目來更有信心、

更容易進入復習狀況。期望各位先進可參考並不吝加以選用、指教。

(6)

(7)

108 學年度學科能力測驗模擬試題

數學科

作答注意事項

考試時間：100 分鐘

題型題數：

^●

單選題共 6 題

●

多選題共 6 題

●

選填題共 8 題

作答方式：選擇題答案請填入後面之作答欄中

◎註：1. 答錯不倒扣

2. 此份試題本為模擬學科能力測驗之測驗形式，

作答方式仍以未來實際之測驗形式為準

教師用

(8)

第壹部分：選擇題（占 60 分）

一、單選題（占

30

分）

說明：第

1

題至第

6

題，每題有

5

個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請作答於

「選擇

(

填

)

題答案區」。各題答對者，得

5

分；答錯、未作答或作答多於一個選項者，該題以零分計算。

(5) 1.

已知函數

y＝m＋log

a

( x＋b ) 的圖形通過原點，(－1 , 1 ) 且

以

x＋2＝0

為漸近線，如右圖所示，則

m＋a＋b

之值為

(1) 1 (2) 3

2

(3) 5 2

(4) 3 (5) 7 2

(2) 2.

加工爆米花時，爆開且不糊的粒數占加工總粒數的百分率

稱為“可食用率”。在特定條件下，可食用率

y＝log a x的漸近線為y軸，而今圖形的漸近線為x＝－2

∴ 新方程式圖形為y＝log a x左移2格而得，即y＝m＋log a ( x＋2 )

∵ 通過 ( 0 , 0 ) ∴ m＋log a 2＝0 ……① 通過 (－1 , 1 ) ∴ m＋log a 1＝1……② 由②得m＋0＝1  m＝1

代入①得log a 2＝－1 ∴ a^－¹＝2  a＝1 2

∴ m＋a＋b＝1＋1 2 　　　　＋2＝ 7

2 　　　　故選(5)。

由已知得

9 3 0.7

16 4 0.8

25 5 0.5

a b c a b c a b c







＋＋＝

，解得a＝－0.2 , b＝1.5 , c＝－2

∴ 函數p＝－0.2t²＋1.5t－2＝－1 5 　　　　t²＋ 3

2 　

　t－2＝－1 5

　　( t－15

4 　　)²＋13

16 　　

∴ 當t＝¹⁵ 4 　　

　　＝3.75時，p有最大值即加工時間為3.75分鐘最適合，

故選(2)。

(9)

C B

A

A1

N M C1

B1

z

x

y

O y

x

x＋y＝0 mx－y＝0

x－2y＋2＝0 A

B

y

(2,0) x

g(x)

(5) 3.

直角三角柱

ABC－A

1

B

1

C

1中，∠BCA＝90°, M、N分別是 A B1 1、A C_{1 1}的中點，BC＝AC＝CC₁，則

BM 

與AN



_所

夾角θ的餘弦值為

(1) 1

10

(2) 1 8

(3) 2 5

(4) 2 2

(5) 30 10

(3) 4.

設

x , y

滿足不等式

0 2 2 0

0 x y x y mx y

≥

 ≥

 ≤



＋

－＋

－

，若

z＝2x－y

的最大值為

2，則實數 m

為

(1)

－2

(2)

－1

(3) 1 (4) 2 (5) 3

(2) 5.

若函數

f (x)＝ a

^{| 2}^－^x ^{4 |}

, a＞0 , a≠1，且 f (1)＝ 1 9

　，則

x

在下列哪一個範圍時函數

f (x)

的圖形是嚴格遞減？

(1)

x≤2

(2)

x≥2

(3)

x≥－2

(4) x＜－2 (5)

取C1為空間坐標原點，

設BC＝CA＝CC₁＝2，

則A ( 2 , 0 , 2 )、B ( 0 , 2 , 2 )、N ( 1 , 0 , 0 )、M ( 1 , 1 , 0 )，

得AN



＝(－1 , 0 ,－2 )、BM



＝( 1 ,－1 ,－2 )

∴ cosθ＝ ^{1 4}

5× 6

－＋　

　　＝ ³ 30 　　

　＝ ³⁰ 10 　　

　　故選(5)。

A： 0

2 2 0

x y x y





＋＝

－＋＝  A ( 2 3

－　　　, 2

3 　　　　)，

B： 0

2 2 0

mx y x y





－＝

－＋＝  B ( 2 2m 1

　　　－　, 2

2 1

m m 　　　－ )

∵ 目標函數z＝2x－y最大值為2 但A ( 2

3

－　　　, 2

3 　　

　　) 代入z≠2 , O ( 0 , 0 ) 代入z≠2

∴ B代入得 4 2m 1

　　　－　－ 2

2 1

m m 　　

　－　＝2  4 2

2 1

m m 　－

　－＝2  4－2m＝4m－2  m＝1

故選(3)。

由f (1)＝1 9 　　

　　得a^{| 2|}^－＝1 9 　　

　 a²＝1 9 　　

　　 a＝±1 3

　( 負不合 )

∴ a＝1 3 　　

　　，即f (x)＝

| 2 4|

1 3

  x

   　　　－　

∵ g (x)＝| 2x－4 | 的圖形在x≥2時嚴格遞增，且f (x) 函數為遞減

∴ f (x) 在x_≥2時圖形是嚴格遞減故選(2)。

(10)

2 1 3 4

(4) 6.

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊長分別為

a、b、c，若兩直線

L

1：bx＋cos A．y＋cos B＝0與

L

2：ax＋cos B．y＋cos A＝0平行，則△ABC為

(1)

正三角形

(2)

銳角三角形

(3)

等腰三角形

(4)

直角三角形

(5)

鈍角三角形

二、多選題（占

30

分）

說明：第

7

題至第

12

題，每題有

5

個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項作答於「選擇

(

填

)

題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得

5

x＞8，則下列哪些範圍滿足不等式

f ( x

²－2x )＞0？

(1) x＜－2 (2)

－2＜x＜－1

(3)

－1＜x＜3

(4) 3＜x＜4 (5) x＞4

∵ L1 // L2

∴ b a

　　＝ ^cos

cos A B 　　　　≠ ^cos

cos B A 　　

　　 b cos B＝a cos A

 b． ² ² ² 2 a c b

ac

＋－　

　　＝a． ² ² ² 2 b c a

bc

＋－　

　　  b² ( a²＋c²－b² )＝a² ( b²＋c²－a² )

 a⁴－b⁴＝c² ( a²－b² )  ( a²＋b² ) ( a²－b² )＝c² ( a²－b² )  ( a²＋b²－c² ) ( a²－b² )＝0

∴ a²＋b²＝c²或a²－b²＝0 ( 不合 ∵ a＝b造成L1＝L2 ) 即△ABC為直角三角形，

故選(4)。

(1) ×：f 1 (－x )＝(－x )²．sin (－x )＝－x²．sin x＝－f 1 (x) 為奇函數。

(2) ○：f 2 (－x )＝(－x )²．cos (－x )＝x²．cos x＝f 2 (x) 為偶函數。

(3) ×：f 3 (－x )＝| log 2 (－x ) | 不等於f 3 (x)，亦不等於－f 3 (x) ∴ 非奇非偶函數

(4) ×：f 4 (－x )＝2^－⁽^－^{x )}＝2^x為非奇非偶函數。

(5) ○：f 5 (－x )＝(－x )⁴－7 (－x )²－9＝x⁴－7x²－9＝f 5 (x) 為偶函數。

故選(2)(5)。

f (x)＜0之解為x＜3或x＞8，則f (x)＞0之解為3＜x＜8

∴ f ( x²－2x )＞0之解為3＜x²－2x＜8

① 先解x²－2x－3＞0  ( x－3 ) ( x＋1 )＞0  x＞3或x＜－1

② 再解x²－2x＜8  x²－2x－8＜0  ( x－4 ) ( x＋2 )＜0  －2＜x＜4，

由①②得

－2＜x＜－1或3＜x＜4，

故選(2)(4)。

(11)

(1)(3) 9.

今有甲、乙、…共

6

個人到餐廳點餐，每人各自點一份餐，且每個人點的餐點都不相同。

若該餐廳的服務生每次只能端出一人的餐上桌，且服務生每次拿到任一份餐的機會均等，

考慮這

6

個人所點的餐上桌的順序，請選出正確的選項。

(1)

甲的餐點最早上桌的機率為

1 6

(2)

甲的餐點最早上桌且乙的餐點最後上桌的機率為

1 36

(5)

若該企業安排甲、乙兩組各自研發一款新產品，依這

15

年來的研發表現推估，恰有

一組研發成功的機率為

1 3

(1) ○：1 5 6

× 　！　

　！　＝1 6 　　　　。 (2) ×：^{1 4 1}

6

× × 　！　

　！　＝ ¹ 30

　　　　。

(3) ○：甲排3或4或5或6之機率為 ^{4 5}

6

×^！

！　＝² 3

　　。

(4) ×：乙排6，甲排3或4或5之機率為1 3 4

6

× ×！　

！　＝ 1 10

　　。

(5) ×：由取捨原理：全部－甲排首－乙排末＋甲首乙末，得^{6 5 5 4} 6

　!－ !－ !＋！　

　！　＝ ⁷ 10

　　　　。故選(1)(3)。

甲組的研發成績為1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 1 , 0 , 1；

乙組的研發成績為1 , 0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 1 , 1

(1) ○：甲組10分，乙組9分。

(2) ○：μ^甲＝¹⁰ 15 　　　　＝²

3 　　

　　 , μ^乙＝ ⁹ 15

　　　　＝³

5 　

　 , μ^甲＞μ^乙。 (3) ×：σ^甲＝

2

1 1 102 2

15 3

× ×     　　　　　　－　　＝ ²

3 　　 , σ^乙＝

2

1 12 9 3

15 5

× ×     　　　

　－　　＝ ⁶ 5

　σ^甲＜σ^乙。 (4) ○：∵ μ^甲＞μ^乙且σ^甲＜σ^乙 ∴ 甲組研發能力較乙組研發能力強

(5) ×：在抽得的15個結果中，恰有一組研發成功的結果有：

(a,b) , (a,b) , (a,b) , (a,b) , (a,b) , (a,b) , (a,b) 共7次，

恰一組研發成功之機率為 ⁷ 。

(12)

O z

y

x

(1)(3)11.

下列關於空間中的敘述，哪些選項正確？

(1)

方程式

1 1 x z

 



＝

＝的圖形為一直線

(2)

方程式

x＋y＝1

的圖形與

z

軸垂直

(3)

方程式

x

²＋y²＝0的圖形為

z

軸

(4)

二直線

L

1：

1 1 x

－　

　　＝

2 y　

　　＝

2 3 x

＋

n n n

n n

a a b

b a





＋

＝－

＝，n＝0 , 1 , 2 , 3 , …，若二階方陣

A

滿足 ¹

1 n n

a b

 

 

 

＋

＝A ⁿ

n

a b

  

 ，請選出正確的選項。

(1) A＝ 1 1 1 0

 

 



－



(2)

若

a

0＝1 , b0＝1，則

a

2＝－1

(3) A

³＝

1 0

0 1

 

 



_ ＝0 ∴ 平面與直線平行

(3) ○：x²＋y²＝0  x＝0且y＝0，圖形為z軸。

(4) ×：令L2上點p ( t , t , t ) 代入L1得 ¹ 1 t－

　＝ 2 t

　＝ ² 3 t＋

－  t無解 ∴ L1與L2歪斜

(5) ×：反例：如右圖，當L1、L2、L3為x軸、y軸、z軸時，

交於原點O但沒有共平面。

故選(1)(3)。

由 ¹

1

n n n

n n

a a b

b a





＋

＝－

＝得 ¹

1 n n

a b

 

 

 

＋

＝ ¹ ¹ 1 0

 

 

 

－ _n

n

a b

  

 。 (1) ×：二階方陣A＝ 1 1

1 0

 

 

 

－。

(2) ○：A²＝ 1 1

1 0

 

 

 

－ 1 1

1 0

 

 

 

－＝ 0 1

1 1

 

 

 

－

－ ∴ ²

2

a b

  

 ＝A² ⁰

0

a b

  

 ＝ 0 1

1 1

 

 

 

－

－ 1 1

  

 ＝ 1 0

  

 

－ ∴ a2＝－1

(3) ○：A³＝A² A＝ ⁰ ¹

1 1

 

 

 

－

1 1

1 0

 

 

 

－＝ ¹ ⁰

0 1

 

 

 

－

－。

(4) ×：由(3)得A³＝－I ∴ A⁶＝I 則A¹⁰⁰＝( A⁶ )¹⁶ A⁴＝A⁴＝A³ A＝－A。

(5) ×：A¹⁰⁷＝( A⁶ )¹⁷ A⁵＝A⁵＝A³ A²＝－A²＝ 0 1 1 1

 

 

－ ，則 ¹⁰⁷

107

a b

 

 

 ＝A¹⁰⁷ ⁰

0

a b

  

 ＝ 0 1 1 1

 

 

－ 

0 0

a b

  

 ＝ ⁰

0 0

b a b

 

 

－＋  ∵ a107＞b107 ∴ b0＞－a0＋b0  a₀＞0

故選(2)(3)。

(13)

第貳部分：選填題（占 40 分）

說明：1. 第

A

至

H

題，將答案作答於「選擇(填)題答案區」所標示的列號

(13 ~ 31)。

2.

每題完全答對給

5

分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A.

某公司共有

10

人想利用假期參加義工活動，已知參加義工活動的次數為

1、2、3

次的人數

分別有

3、3、4

人。今從這

10

人中選出

2

人代表該公司參加行前座談會。設

A

表示選出的

2

人參加義工活動次數和為

4

的事件，求事件

A

發生的機率為

○

¹³

○

¹⁴ 。(化為最簡分數)

B.

設〈an〉為等比數列，前

n

項和

S

n

, n ∈

，若

1

1 a

　－

2

1 a

　＝

3

2 a

　，且

S

6＝63，試求

a

10＝

○¹⁵○¹⁶○¹⁷ 。

C.

設

a≠0 , n ∈ , n ≥ 1，且 ( 1＋ x a

)

ⁿ的展開式為

a

0＋a1

x＋a

2

x

²＋

…＋an

x

ⁿ，若點

A

0

( 0 , a

0

) , A

1

( 1 , a

1

) , A

2

( 2 , a

2

)

的位置如右圖所示，則

a＝

○¹⁸ 。

設等比數列首項為a，公比為r，則a1＝a , a2＝ar , a3＝ar²，代入得1

a 　　

　－ 1 ar

　　　＝ 2₂

ar 　　

　 r²－r－2＝0  ( r－2 ) ( r＋1 )＝0  r＝2或－1，

但S6＝

( 1 6) 1

a r

r

－　

　－　＝63 ∴ r＝－1 ( 不合 ) 當r＝2時，

( 1 2 )6

1 2

a －　

　－　＝63  a＝1，

故a10＝ar⁹＝1×2⁹

＝512。

( 1＋x a

　)ⁿ＝C₀ⁿ＋C₁ⁿ( x

a )＋C₂ⁿ( x a

　)²＋C₃ⁿ( x

a )³＋…＋C_nⁿ( x a )ⁿ

∴ a0＝C₀ⁿ＝1 a1＝ⁿ

a 　

　＝3……① a2＝C₂ⁿ．

2

1 a

　＝ ( 1) 2 n n－　

　　．

2

1 a

　＝4……② 由①得n＝3a

代入②得^{3 (3} ¹⁾ 2 a a 　．－　

　　． ¹₂ a

　＝4  9a－3＝8a

∴ a＝3

次數總和為4次可能為2人皆2次或1人1次及1人3次兩種

∴ P (A)＝

3 3 4

2 1 1

102

C C C C

＋　　＝^{3 12}

45 　＋　

　　＝¹

3 　　　　

次數 1 2 3

人數 3 3 4

(14)

B C

A

O x

y

r

P

A B C

x＋12 x＋12

x

20 30

60°

D C

M N

E

B y

A x

1

1 F

21

D.

若直線

3x－4y＋5＝0

與圓

C：x

²＋y²＝r²

, r＞0，相交於 A , B

兩點，且∠AOB＝120°，

O

為坐標原點，試求

r

＝ ○¹⁹ 。

E.

如右圖，在一條海防警戒線上有

A、B、C

三個聲納接收點，B、C兩點到

A

的距離分別是

20

浬與

50

浬。今在某時刻

B

收到來自靜止目標

P

的一個信號，8秒後

A、C

○

²⁵○²⁶ 。(化為最簡分數)

坐標化如右 ∵ ∠BAD＝60° ∴ AM＝1 2

　 CD＝1

∴ A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , C ( 3 2 　　　　, ³

2 　　

　　) , D ( 1 2

　　, ³

2 　　)

 BC



_＝( 1 2

－　　　, ³

2 　　

　　) , DC



＝( 1 , 0 )

 BE



_＝2 3 　　　　( 1

2

－　　　, ³

2 　　

　　)＝( 1 3

－　　　, ³

3 　　

　　) , DF



_＝1

6 　　

　　( 1 , 0 )＝( 1 6 　　　　, 0 )

₎

＝〔( 2 , 0 )＋( 1 3

－　　　, 3

3 　　

　　)〕．〔( 1

2 　

　, 3 2

　　)＋( 1

6 　　, 0 )〕

＝( 5 3 　　　　, 3

3 　　

　)．( 4 6 　　　　, 3

2 　　

　　)＝10 9

　　＋3

6 　　＝29

18 　　過O作OC⊥AB，

則OC＝d ( O , AB )＝

2 2

| 0 0 5 |

3 4 )

　－＋　　＋(－　

＝1，

又△OAB為等腰三角形 ∴ ∠AOC＝60°

∴ ^OC r

　＝cos 60°＝1 2 　　　　

 r＝2OC＝2×1＝2

1.5×8＝12 ( 浬 )，

設PB＝x，則PA＝PC＝x＋12

∵ cos ( ∠ABP )＝－cos ( ∠CBP )

∴

2 2 2

20 ( 12)

2 20 x x

× ×x

　＋－＋　　　＝－

2 2 2

30 ( 12)

2 30 x x

× ×x 　＋－＋

 x＝19  x＋12＝31

∵△APC為等腰三角形

∴ P到AC距離＝ 31²－25² ＝4 21

(15)

y

x A'

M'

B' B

M A

F

G.

已知矩陣

A＝ x a

b x

 

 

 

－

－，其中

x , a , b

為常數，且行列式值

det A＝－3，則行列式值 det ( A

det A＝ x a

b x

－

－＝－x²＋ab＝－3 , A^－¹＝ ₂¹

x ab 　　

－＋　 x a b x

 

 

 

－

－＝ 1 3 　　

－　 x a b x

 

 

 

－

－＝1 3

x a b x

 

 

 

－

－＝1 3

　　A

∴ det ( A^－¹－A )＝det ( 1 3

　A－A )＝det (－2 3

　　A ) ＝( 2

3

－

　　)² det A＝4 9 　　

　　×(－3 )＝－ 4 3

由y²＝x得4c＝1  c＝¹ 4 　　　　

∴ 焦點F ( 1 4 　　

　　, 0 )，準線L：x＝ 1

4

－　　　

由拋物線定義得AF＝d ( A , L )＝AA′ , BF＝d ( B , L )＝BB′

∴ AA′＋BB′＝AF＋BF＝3 又M是AB中點 ∴ MM′＝¹

2 　　

　　( AA′＋BB′ )＝ ³ 2

∴ M之x坐標＝d ( M , y軸 )＝³ 2 　　　　－¹

4 　　　　＝⁵

4 　　

(16)

C B A

A1

N M C1

B1

z

x

y

答案

第壹部分：選擇題

1. 5 2. 2 3. 5 4. 3 5. 2 6. 4 7. 25 8. 24 9 13 10. 124

11. 13 12. 23

第貳部分：選填題

13. 1 14. 3 15. 5 16. 1 17. 2 18. 3 19. 2 20. 4 21. 2 22. 1

23. 2 24. 9 25. 1 26. 8 27.

－

28. 4 29. 3 30. 5 31. 4

解析

第壹部分：選擇題

1.

^答案

5

解析 y＝log a x的漸近線為y軸，而今圖形的漸近線為x＝－2

∴ 新方程式圖形為y＝log a x左移2格而得，

即y＝m＋log a ( x＋2 )

∵ 通過 ( 0 , 0 ) ∴ m＋log a 2＝0 ……① 通過 (－1 , 0 ) ∴ m＋log a 1＝1……② 由②得m＋0＝1  m＝1

代入①得log a 2＝－1 ∴ a^－¹＝2  a＝1 2

∴ m＋a＋b＝1＋¹ 2 　　　　＋2＝⁷

2 　　　　故選(5)。

2.

^答案

2

解析由已知得

9 3 0.7

16 4 0.8

25 5 0.5

a b c a b c a b c







＋＋＝

，解得a＝－0.2 , b＝1.5 , c＝－2

∴ 函數p＝－0.2t²＋1.5t－2 ＝－¹

5 　　t²＋³

2 　　　　t－2 ＝－1

5 　　( t－15

4 　　

　　)²＋13 16 　　　　

∴ 當t＝15 4

　＝3.75時，p有最大值即加工時間為3.75分鐘最適合，故選(2)。

3.

^答案

5

解析取C1為空間坐標原點，

設BC＝CA＝CC₁＝2 則A ( 2 , 0 , 2 )、

B ( 0 , 2 , 2 )、

N ( 1 , 0 , 0 )、

M ( 1 , 1 , 0 )，

得AN



＝(－1 , 0 ,－2 )、BM



＝( 1 ,－1 ,－2 )

∴ cosθ＝ ^{1 4}

5× 6

－＋　

　＝ ³ 30 　　　　＝ ³⁰

10 　　

　　故選(5)。

PDF 108 年學測 趨勢預測

1 前 言

102

1.

2.

3.

2 學測試題分析

103

107

年學測 趨 勢 預 測

108 數 學 科

107

106

A、B，試問空間中能使△PAB

P

(1) 兩個點 (2) 一線段 (3) 一直線 (4) 一圓 (5) 一平面

10

5

(1) 10

(2) 10

(3) 10

(4) 10

(5) 10

r

r

r

(1) 全校老師與學生比率 (2) 全校老師人數

(3) 全校學生人數

(4) 全校師生人數

(5) 全校師生玩過「寶可夢」人數

a

a

b

81

b

(1) 1.7 (2) 3 (3) 5.2 (4) 9 (5) 81

99

107

106

11

12

9

9

12

2

1

13 12 10 9 7

14 12 9 6 4

12 10 7 4 3

13 11 9 6 5

13 12 10 8 7

2

(1) 甲校系 (2) 乙校系 (3) 丙校系 (4) 丁校系 (5) 戊校系

2016

x )

y )

107

106

y

(1) y＝( x－

2 1 )

4

1

(2) 4 x

3 y

(3) x

3 4 y

(4) 8x

(5) 4x

)

2 9

y

a

x

b

。考慮動點 ( t , t

)，

t＝0

t＞0

(1) 此動點不會碰到Γ，也不會碰到  (2) 此動點會碰到Γ，但不會碰到 

PDF 108 年學測趨勢預測

1 ^{前言}

2 ^{學測試題分析}

年學測 ^{趨勢預測}

108 數學科

3 ^{學測準備方向}

4 ^{結語}

教師用