0310級數(B) - 明誠

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：108.03.10

範 圍

級數(B)

班級 一年____班 姓

座號 名

25. 有四個數﹐前三數成等比﹐其乘積為216﹐後三數成等差﹐其和為12﹐此四數依序為______﹒

解答 9﹐6﹐4﹐2 解析 前三數設為^a

r ﹐a﹐ar  a³  216﹐∴a  6﹐

後三數設為t  d﹐t﹐t  d  3t  12﹐t  4﹐

∴四數為x﹐6﹐4﹐y﹐且x﹐6﹐4成等比﹐6﹐4﹐y成等差﹐

∴x  9﹐y  2 ∴四數為9﹐6﹐4﹐2﹒

26. (1)請用「」表示級數2  18  4  15  6  12 … 2n  (21  3n)﹒答﹕____________﹒

(2)用表示(1)的和=__________________.

解答

1

2 (21 3 )

n

k

k k





 解析

1

2 (21 3 )

n

k

k k





 ^﹒

27. 連續100個整數和為9050﹐則此100個整數中最大者為____________﹒

解答 140

解析 設首項為a﹐末項為a  (100  1)  a  99﹐

得¹⁰⁰( 99) 9050 2 99 181 41

2 a a   a   a ﹐故最大為a  99  140﹒

28. 設等差數列an 與bn滿足 ^{2 3}, 6 4

n n

a n

b n

 

 且前n項和分別為Sn與S'n﹐則S11：S'11 = ________﹒

解答 3：8

解析 S11：S' 11  a6：b6  (2  6  3)：(6  6  4)  3：8﹒

29. 已知

1

1 7

1

n

k_ k k 



  ^﹐則n ____________﹒

解答 63 解析

1 1

1 ( 1 ) 7

1

n n

k k

k k

k k

 

   



 



( 2  1)( 3  2)( 4  3) ( n 1 n)7 1 1 7

 n    n 1 8﹐n  1  64﹐n  63﹒

30. 級數

10 2 1

1

k k 2k



之和為____________﹒

解答 ¹⁷⁵ 264

解析 ¹⁰

1

1 1 1

( )

2 2

k k k

 



^{1 1[( 1) (1 1) (1 1) (1 1) (1 1)]}

2 1 3 2 4 3 5 9 11 10 12

          

¹(1 ^{1 1 1}) ^{1 3}( ²³) ^{1 175 175} 2 2 11 12 2 2 132 2 132 264

         ﹒

31. 設^{2011 2011 2 2011}

1 1 1

(2 1)( 3)

k k k

k k a k b k c

  

    

  

﹐則序組(a,b,c)  ____________﹒

解答 (2,7,6033)

解析 原式 ^{2011 2 2011 2 2011 2011 2011 2 2011}

1 1 1 1 1 1

(2 7 3) 2 7 3 2 7 3 2011

k k k k k k

k k k k k k

     





  





 

 







  ^﹐

得a  2﹐b  7﹐c  6033﹐∴(a,b,c)  (2,7,6033)﹒

32. 求6²  7²  …  30²  ____________﹒

解答 9400

解析 原式  (1²  2²  …  30²)  (1²  2²  3²  4²  5²) ^{30 31 61 5 6 11} 9400

6 6

   

   ﹒

33. 用單位長的不鏽鋼條焊接如下圖系列的四面體鋼架﹐圖 中的小圈圈「。」表示焊接點﹐圖1有兩層共4個焊接 點﹐圖2有三層共10個焊接點﹐圖3有四層共20個焊 接點﹒試問依此規律﹐推算圖5有六層共多少焊接點？

____________個﹒

解答 56 解析 第l層有

1

( 1) 2

l

k

kl l



＝

＋ 個焊接點﹒

圖5的焊接點共有 ⁶

1

( 1)

l 2 l l





 ^1 2[

6 2 1 l

l



 ^{ 6} 1 l

l



 ^{] 1}

2[^{6 7 13} 6

  ^{6 7} 2

 ]  56個﹒

34. 有一球自18公尺的高處落下﹐每次落地後反彈的高度為原高度的²

3﹐則此球自開始落下至第 4次著地所經過的總路程是____________公尺﹒

解答 ²⁰⁶ 3

解析 總路程 18 2 (18 ²) 2 18 ( )^{2 2} 2 18 ( )^{2 3} 18 24 16 ^{32 206}

3 3 3 3 3

               （公尺）﹒

35. 某家銀行的年利率為2%﹐於每年年底採複利計息一次﹒小明在第一年年初存入10000元﹐之 後每隔兩年（即第三年﹐第五年﹐…﹐以此類推）的年初皆存入10000元﹐直到第九年年底 結算後把所有的錢領出來﹐根據下表﹐小明將會領出____________元﹒（元以下四捨五入）

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

(1.02)ⁿ 1.02 1.0404 1.06121 1.08243 1.10407 1.12616 1.14867 1.17166 1.19509 1.21899 1.24337 n

18

…

圖1 圖2 圖3

解析 10000(1  2%)⁹  10000(1  2%)⁷  10000(1  2%)⁵ … 10000(1  2%)¹

 10000(1.02  1.02³  1.02⁵ … 1.02⁹)

 10000 ^{1.02 (1.02}₂ ^{10 1)} 1.02 1

  

 10000 (1.24337 1.02) 0.0404

  55289.6≒55290﹒

36. 一等差數列之第n項為31  3n﹐則前20項絕對值的和  ____________﹒

解答 300

解析 令an  31  3n  0 ³¹ n 3

∴ ^{20 10 20}

1 1 11

10 (28 1) 10[( 2) ( 29)]

| | 300

2 2

k k k

k k k

a a a

  

    

    

  

^﹒

37. 有一表演廣場共有25排座位﹐依次每一排比前一排多2個座位﹐已知最後一排有80個座 位﹐求此表演廣場共有____________個座位﹒

解答 1400

解析 n  25﹐d  2﹐

a25  a1  (25  1)d  a1  24  2  80a1  32﹐ ₂₅ ^{25(32 80)} 1400

S 2

  ﹒

38. 設C1為單位圓﹐T1為C1之內接正三角形﹐C2為T1之內切圓﹐T2為C2之內接正三 角形﹐依此類推…﹒令ai表Ti之面積﹐則a1  a2 … a5 ____________﹒

解答 ^{1023 3}

1024

解析 ₁ ³( 3)^{2 3} 3,

4 4

a  

∵ ^{2 2 2}

1 1 1 1

1 2

A B OA OM

A B OA  OA  ﹐ ^{2 2}

1

1 1

( )2 4 a

a   ﹐

∴所求

3 1 5

3 1 ( )

1023 3

4 4

1 1024 . 1 4

  

 

 

 



39. 設數列an﹐滿足a1  a2  a3 … an  2^{n  1}(n²  2n)﹐則a10=____________﹒

解答 99328

解析 令Sn  2^{n  1}(n²  2n)﹐則a10  S10  S9  2¹¹  (10²  20)  2¹⁰  (9²  18)  99328﹒

40. 若1  2  2  2²  3  2³ … 10  2¹⁰  9a  2﹐則a  ____________﹒

解答 2¹¹ 解析



2 3 10

2 3 10 11

2 3 10 11

1 2 2 2 3 2 10 2 9 2

1 2 2 2 9 2 10 2 18 4

2 2 2 2 10 2 9 2

a a

a

         

          

        

9 2 10 2^{11 2(210 1)} 9 2¹¹ 2

a 2 1

      

 a  2¹¹﹒

41. 1  3  3  5  5  7 … (2k  1)(2k  1) … 29  31 ____________﹒

解答 4945

A1 B1

C1

T1

O A2 B2

M

30°

1 1

2 3

2

M A1

O

解析 原式 ^{15 15 2}

1 1

15 16 31

(2 1)(2 1) (4 1) 4 15

k k 6

k k k

 





  



      ^{ 4945﹒}

42. 設數列< an >的前n項和為Sn且滿足2log ¹ 2

n n

S a 

= logSn + log(1  an)﹐則S10 = ____________﹒

解答 ¹⁰²³ 1024

解析 原式 log( ¹)² log (1 ) 2

n n

n n

S a

S a

 

  ^{( 1)2}

4

n n

S a 

= Sn(1  an)

 [Sn + (1  an)]² = 4Sn(1  an)  [Sn  (1  an)]² = 0﹐∴Sn = 1  an﹐ 又a1 = S1 = 1  a1﹐∴a1 =¹

2﹐an = Sn  Sn1 = (1  an)  (1  an1)  2an = an1﹐∴

1

1 2

n n

a

a _  ﹐

即< an >為等比數列且a1 =¹

2﹐公比=¹ 2﹐

1 1

[1 ( ) ]

2 2 1 1

1 2

1 2

n

n n

S

   



﹐∴

10 10

1 1023 1 2 1024

S    ﹒

43. 有一數列an 滿足a1  1且an  1  1 ² 3 an

﹐n為正整數﹐求

1

(3 _n)

n

a





 



____________﹒

解答 6

解析 ∵ ₁ 1 ²

n 3 n

a _   a 

∴ 1 ² ₁

n 3 n

a   a _ 

 ₁ 2 ₁

( )

n n 3 n n

a _ a a a _

   

而a1  1﹐ ₂ 1 ² ₁ ⁵

3 3

a   a  ﹐ _{2 1} ² a  a 3﹐ 表示數列an  1  an為首項²

3﹐公比²

3的等比數列﹐

an  a1  (a2  a1)  (a3  a2) … (an  an  1)

1

1 1

2 2

[1 ( ) ]

2 2

3 3

1 1 2[1 ( ) ] 3 2( )

2 3 3

1 3

n

n n



 

       



﹐

∴ ¹

1 1

2 2

(3 ) 2( ) 6

3 2

1 3

n n

n n

a

 



 

   

 

 ^﹒

44. 設一等差數列的前n項之和為9﹐前2n項之和為12﹐則前3n項之和為____________﹒

解答 9

 S  S

∴Sn  9﹐S2n  Sn  12  9  3及S3n  S2n成等差數列﹐公差 3  9   6﹐

∴S3n  S2n  3  (  6)   3﹐∴S3n  S2n  (  3)  12  3  9﹒

45. 某人年初向銀行借款100萬元﹐年利率6%﹐採複利計算﹐若此人計劃在每年年底還本息一次 且每次所還的款項相等﹐10年還清﹐則此人每年要還____________元﹒（已知(1.06)⁹  1.7﹐

(1.06)¹⁰  1.8）

解答 135000

解析 1000000(1  0.06)¹⁰  1000000  1.8  1800000﹐

設每期還x元﹐則x(1.06)⁹  x(1.06)⁸  …  x(1.06)  x  1800000 1 (1.0610 1) 1.8 1 1800000 0.06 1080000

1800000 135000

1.06 1 0.06 0.8 8

x   x  x 

        

 ﹐

故每年要還135000元﹒

46. 用一元硬幣在桌面上排成正三角形區域﹐當最外圍每邊有n 個硬幣時﹐共用an元﹒

(1) an ____________（以n表示）﹒

(2)若a1  a2  a3 … an  4495﹐則n ____________﹒

解答 (1)¹ ( 1) 2n n ;(2)29

解析 (1) 1 2 3 ¹ ( 1)

n 2

a      n n n ﹒

(2) ²

1 1 1

1 1 1

( 1) ( ) ( 1)( 2)

2 2 6

n n n

k k k

k k k k n n n

  

     

  

^﹐

1 ( 1)( 2) 4495

6n n n  ﹐解得n29﹒ 47. 級數

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 4 2 4 6 2 4 18

1 2 3 9

     

    的和為____________﹒

解答 476 解析 第k項

2 2 2

2 4 (2 ) 2( 1)(2 1)

k 3

k k k

a k

    

  ﹐

級數和為 ^{9 9 2 9 9}

1 1 1 1

2( 1)(2 1) 4 2

2 1

3 3 3

k k k k

k k

k k

   

    

   

^{4 9 10 19} 2 ^{9 10 2} 9 476

3 6 2 3

  

       ﹒

48. 級數^{1 1 1 1}

1 1 2 1 2 3 1 2 3 20

       ____________﹒

解答 ⁴⁰ 21

解析 ²⁰

1

1 1 1 1 1

1 1 2 1 2 k 1 2 20 k 1 2 k

     

      



  

20 20

1 1

2 1 1 1 40

2( ) 2(1 )

( 1) 1 21 21

k k k k k k

     

 

 

^﹒

49. 有一等比級數共有7項﹐已知a1  a2  2﹐a3  a4  18﹐求此級數之和為____________﹒

a₁元 a₂元 a₃元 a₄元

解答 和為¹⁰⁹³

2 或  547

解析 a1  a2  a1  a1ra1(1  r)  2……

a3  a4  a1r²  a1r³a1r²(1  r)  18……

﹕r²  9r   3﹒

(1)r  3代入﹐ ₁ ¹ a 2﹐

7 7

1 7

1(3 1)

( 1) 2 1093

1 3 1 2

S a r r

 

  

  ﹒

(2)r   3代入﹐a1   1﹐ ₇ ^{1[( 3)7 1]} 547 S  3 1  

  ﹒

故和為¹⁰⁹³

2 或  547﹒