數列級數(C) - 明誠

(1)

高雄市明誠中學高一數學平時測驗日期：106.03.10 範

圍 Chap1數列級數(C) 班級一年____班姓名

座號

一、填充題(每題10分)

1. 假設世界人口自1980年起，50年內每年增長率均固定，已知1987年世界人口達50億，1999 年第60億人口誕生在塞拉耶佛. 根據這些資料推測，2023年世界人口數約為 _____ 億. （四捨五入至整數位）

答案： 86

解析：設每年人口增長率為r，2023年的人口數約為x億

則

12 36

60 50(1 ) 50(1 )

r

x r

  

  







( 1999 1987 12 2023 1987 36

 

  

 ) 由得(1 )¹² ⁶

r 5

  ，代入得 50[(1 ) ]^{12 3} 50 ( )⁶ ³ 86.4 86

x r   5   （億）

2. 設1, 3, 5, 7,, 39為連續正奇數，則1 3 3 5 5 7        37 39其總和為_________。

答案： 9861

解析： ¹⁹ ¹⁹ ² ¹⁹

1 1 1

1 3 3 5 37 39 (2 1)(2 1) 4 1

k k k

  

    ^  



  







^{ }⁴ ^{19 20 39}^ ₆^ ^¹⁹^{= 9861}

3. 某巨蛋球場E區共有25排座位，此區每一排都比其前一排多2個座位．小明坐在第13排，發現此排共有64個座位，則此球場E區共有個座位.

答案： 1600 解析： Sol一

設第k排有a_k個座位， a_k 為等差數列且公差為2

13 64 1 12 2 1 40

a     a a 

1 2 25

25 [2 40 24 2]

2 1600

a a   a      

Sol二：項數為奇數的等差數列總和=項數*中央項25 64 1600  4. 用黑、白兩種顏色的正方形地磚依照如下的規律拼成若干圖形：

第1個第2個第3個拼第95個圖需用到塊白色地磚.

答案： 478

解析：設第k個圖需要a_k個白色地磚

1 3 3 1 a   

2 3 5 2 a   

3 3 7 3 a   



3 (2 1) 6 3 5 3

ak   k  k k  k k 5 95 3 478

a    

(2)

5. 用單位長的不鏽鋼條焊接如下圖系列的四面體鋼架，圖中的小圈圈「」表示焊接點，圖1有兩層共4個焊接點，圖2有三層共10個焊接點，圖3有四層共20個焊接點．試問依此規律，

推算圖六有七層共多少焊接點？個.

圖一圖二圖三答案： 84

解析：設圖k共有a_k個焊接點觀察a₁   1 (1 2)

a₂      1 (1 2) (1 2 3)

a₃          1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4) 

a_n       1 (1 2) (1 2 3)      [1 2 3  n (n1)]

1 1

( 1)( 2) 1

[1 2 ( 1)] ( 1)( 2)( 3)

2 6

n

k

n

k

k k

k n n n

 

 





  ^  



   

故a₆         1 (1 2)  (1 2 3  7) 1

(6 1)(6 2)(6 3)=84

6    6. 一數列各項依次為1 1 2 1 2 3 1 2 3 4

, , , , , , , , , ,

1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 ，則 ⁷

15為數列之第項.

答案： 217

解析： ( ), ( , ), ( , , ), ( , , , ),¹ ^{1 2} ^{1 2 3} ^{1 2 3 4}

1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 第k群有k個數且分子分母和為k1 7

15為第21群的第7項， 20 21

1 2 3 20 7 7 217

2

         項

7. 已知數列 a_n 的前n項和為n²，則a_n __________.

答案： 2n1 解析： S₁a₁1

2

1 2 1

2

1 1 2 1 ( 1)

n n n

n n

S a a a a n

S a a a n



 

      



     





…







 :S_n S_n_₁a_n n² (n 1)² 2n1 即   a_n 2n   1 1, 3, 5, 7,…, 2n1,… 8. 若數列{ }a_n 滿足 ₁ ¹, ₂ ³

7 7

a  a  及 ₁ ⁷ (1 )( 1)

n 2 n n

a _  a a n ，則a₁₀₁a₁₀₀  . 答案： ³

7

解析：觀察 ₁ ¹ a 7

(3)

2

3 a  7

3

7 3 3 6

(1 )

2 7 7 7

a    

4

7 6 6 3

(1 )

2 7 7 7

a    

5

7 3 3 6

(1 )

2 7 7 7

a    



101 100

6 3 3 7 7 7

a a

    

9. 等差數列 a_n 中，若a₁₁a₁₂ … a₂₀ 75，則

30

1 k k

a





__________.

答案： 225 解析： Sol一

11 12 20

a a  a

 …

11 20 12 19 13 18 14 17 15 16

(a a ) (a a ) (a a ) (a a ) (a a )

         

5(2a1 29 )d 75

   2a₁29d 15

30

1 30 2 29 15 16

1

( ) ( ) ( )

k k

a a a a a a a



      



^… ^¹⁵⁽²^a¹^^{29 )}^d ^{ }^{15 15}^²²⁵

Sol二

∵S₁₀,S₂₀ S₁₀,S₃₀S₂₀等差數列每10項之和亦成等差數列

10 ( 30 20) 2( 20 10) 2 75 150

S S S S S

        ，S₃₀ 15075225

10. 某銀行推出新台幣「零存整付」定期定額存款的優惠方案，年利率為3%. 若懷男每年年初固定存入3萬元，則至少經過年後，懷男的本利和可達到100萬元.

(log20.3010, log1.030.0128) 答案： 24

解析：設經過n年，懷男的本利和可達到100萬元

1 2 2

3 3 3 3 3

30000(1 ) 30000(1 ) 30000(1 ) 30000(1 ) 30000(1 )

100 100 100 100 100

n n n

        

30000 (1.03 1)

1000000 1.03 2 1.03 1

n

  n

 

  

取lognlog1.03log2 0.301 0.0128 23.5

 n  ，故24年後，懷男的本利和會超過100萬元 11. 將等差數列1, 2, 3, 4, 5, 6,分組成(1), (2, 3), (4, 5, 6),，其中第n組有n個數字，則

(1)第10組的第10個數字（末數）為 . (2)數字100在第組的第個位置.

答案： (1)55(2)14；9

解析：第1組(1)，末數為1

第2組(2, 3)，末數為3 1 2  第3組(4, 5, 6)，末數為6 1 2 3  

(4)



第n組的末數為1 2 3 ¹ ( 1) n 2n n

      (1)第10組的末數為¹ 10 (10 1) 55

2   

(2)設數字100在第n組，則 ⁽ ¹⁾ 100 ( 1) 200

2

n n  n n  ，n的最小正整數為14

又100 ^{13 14} 9 2

   ，即數字100在第14組的第9個位子

12. 設一等差數列前10項之和S₁₀ 16，前20項之和S₂₀ 48，則前30項之和S₃₀  . 答案： 96

解析： ∵S₁₀,S₂₀ S₁₀,S₃₀S₂₀等差數列每10項之和亦成等差數列，

即16, 32,S₃₀ 48成等差數列且公差16S₃₀4848S₃₀96 13. 一等比級數之公比為r，設其前n項和為Sn，已知S₁₀ 5, 15S₂₀  ，則

r10 ______，又S₄₀______.

答案： 2；75 解析： Sol一

10 1 10

( 1)

1 5 S a r

r

  



20 20

10 10

1

20 10

( 1) 1

15 3 1 3 2

1 1

a r r

S r r

r r

 

        

  ， ¹ 5

1 a

r 



40 1 4 40

( 1)

5 (2 1) 75 1

S a r r

     

∴  Sol二

∵S₁₀,S₂₀S₁₀,S₃₀S₂₀,S₄₀S₃₀等比數列每10項之和亦成等比數列，且公比為r¹⁰ 即5,10,S₃₀15, ,S₄₀S₃₀成等比數列S₃₀1520,S₄₀S₃₀ 40

即S₃₀ 35,S₄₀ 75 14. 已知數列 a_n 中， log

n 1

a n

 n

 ，則a₁a₂a₉₉₉之值為 ﹒ 答案： 3

解析： a₁a₂  a₃ ... a₉₉₉ log¹ log² ... log ⁹⁹⁹

2 3 1000

    1 2 999 1

log( ... ) log 3

2 3 1000 1000

      

15. 下圖中，圖一為單位正三角形，圖二為邊長2的正三角形，

圖三為邊長 3 的正三角形，依此類推. 由此可知：一個邊長為n的大正三角形中，共有n²個單位正三角形，如果每一個單位正三角形的邊都恰有一根火柴棒，而此大正三角形共用了a_n根火柴棒，則a₁₀  .

答案： 165 解析： a₁ 1 3

2 (1 2) 3 a   

3 (1 2 3) 3 a    

(5)



10 (1 2 3 4 5 10) 3

a         10 11 2 3

   165

16. 右圖是從事網路工作者經常用來解釋網路運作的蛇形模型：

數字1出現在第1列；數字2, 3出現在第2列；數字6, 5, 4（從左至右）

出現在第 3 列；數字7, 8, 9,10出現在第 4 列；依此類推．試問第 99 列，從左至右算，第67個數字為 .

答案： 4884

解析：到第98列共出現1 2 3 98 ^{98 99} 4851 2

       個數字，且第偶數列→，第奇數列←

第99列(←)由左至右第67個數由右至左第(99 66) 33個數，故所求為4851 33 4884 17. 設有一數列 a_n 滿足a₁2a₂3a₃  na_n n²3n1，則a_n  .

答案： 2n 2 n



解析：若n1

2

1 2 3 1

2

1 2 3 1

2 3 ( 1) 3

) 2 3 ( 1) ( 1) 3( 1

1 1 )

2 2

n n

n

a a a n a na n n

a a a n a n n

na n



  

   

     









2 2

n

a n

n

  

18. 試求下列值：1² 3 2²   6 3² 9 4²1210²30__________.

答案： 9075

解析：原式=1²  (3 1) 2²     (3 2) 3² (3 3) 4²   (3 4)  10² (3 10) =3[1² 1 2²   2 3² 3 4² 4 10²10]

3[1³2³  3³ … 10 ]³

10 3 1

3

k





^{ }^{3 (}^{10 11}₂^ ⁾² ^{ }^{3 55}² ^{ }^{3 3025}^⁹⁰⁷⁵

19. 一等差數列之首項為正數，且首9項之和等於首18項之和，則此數列之前項之和最大.

答案： 13或14

解析：設此數列為 a_n ，其公差為d

1 1

9 (2 8 ) 18 (2 17 )

2 2

a d a d

    

 1 ₁

d 13a

  

若此數列之前n項和S_n最大，則a_n 0 ₁ ( 1)( ¹ ₁) 0 14

a n 13a n

       ，

13

 n 或14（a₁₄ 0）

20. 數列 a_n 中，

1 1

0

, 1 1

5 4

n n

n

a

n a a

 a

 

  

 

 



(1)寫出a₂_______,a₃_______,a₄ _______,﹒

  

(6)

答案： (1)^{1 2 3}, ,

5 7 9(2) ¹ 2 1

n n





解析： (1) ₂ ₃ 1 1

1 0 1, 5 2,

5 4 0 5 1 7

5 4 5

a a

 

   

    ⁴

1 2

1 3 7

2 3 9

5 4 7 a

   

 

，

(2)由(1)，推測 ¹

2 1

n

a n n

 



21.  1² 2² 3²4²5²6²  … 99² 100² __________.

答案： 5050

解析： Sol一原式(2²1 ) (4²  ²3 ) (6²  ²5 )²  … (100²99 )²

(2 1)(2 1)  (4 3)(4 3)   (6 5)(6 5) …(100 99)(100 99)  (2 1) (4 3)   (6 5) …(100 99)     1 2 3 … 100 ^{101 100}

2

  5050 Sol二原式  [1² 2²   3²  99²100 ]² 2[2²4²6²  100 ]²

  [1² 2²  3²  99²100 ]²  2 2 [1² ²2²  3²  50 ]² 100 101 201

6

 

  50 5 0

8 1

6 1 1

   

100 101 201

4 6

100 51 10

6

1  

    

[(4 51) 20 100 1

6

10 1]

   

5050

22. 有各項皆為實數的等比數列，其首項為3，末項為384，且其總和為765，則此數列項數為 . 答案： 8

解析： Sol一：設此等比數列為 a_n ，其公比為r，項數為n 則384a_n a r₁ ⁿ^¹ 3 rⁿ^¹ rⁿ^¹ 128

1( 1)

765 1

n n

S a r r

  



3 (128 1) 1 r r

 

   r 2，代入得2ⁿ^¹2⁷ n 8

Sol二： ¹ 3 384

765 , 2

1 1

n n

a a r r

s r

r r

 

   

 

代入384a_n a r₁ ⁿ^¹  3 2ⁿ^¹得2ⁿ^¹ 128  n 1 7, n8 23. 等差數列，首項為130，公差為6

(1)第n項起始為負數，則n ﹒(2)加到第n項之和為負數，則n之最小值為 ﹒ 答案： (1)23(2)45

解析： (1)a₁130,d 6,a_n 130 (  n 1)( 6) 0<

6( 1) 130 1 130

n n 6

     > 136 2 6 223

n>  ，∴n23 (2) ^{[260 (} ^{1)( 6)]} 0

n 2

n n

S     < 260 ( n 1)( 6) 0<

130 1

6( 1) 260 1 44

3 3

n n

  >  >   ∴n45

(7)

24. 計算

10

1 2 3 9

1

2^k 1 2 2 3 2 4 2 10 2

k

k ^



           



^ ^.

答案： 9217

解析：設S     1 2 2 3 2² 4 2³   10 2⁹

則2S  1 2  2 2²    3 2³  9 2⁹ 10 2¹⁰



 得   S 1 2 2²2³  2⁹ 10 2¹⁰

10

1 (2 1) 10

2 1 10 2

 

  



9 210 1 9217

      9217

 S

25. 有二等差數列   a_n 3,8,13,, 413、   b_n 2, 9,16,, 415．由這兩組數列的所有共同項依序排列得另一數列 c_n 共有k項，求c₁  c₂  c_k之值為 .

答案： 2586

解析：二等差數列共同項數列 c_n 是亦成等差數列，

且公差為原二等差數列公差之最小公倍數[5, 7]35 第一項c₁23c₂ 58,c₃ 93,,c_k 408，

23 ( 1) 35 408 12

ck    k   k ，所求 12 (23 408) 2 2586

 

 

26. 若¹ ¹ ¹ ¹ ²¹

11 21 2 3 1 2 3 n11

       

 ，則n ﹒ 答案： 21

解析：原式化為

1 1 1

1 1 1 1 21

2 2 ( )

( 1) ( 1) 1 11

2

n n n

k_ k k  k_ k k  k_ kk 

  

  

1 1 1 1 1 1

2 [( ) ( ) ( )

1 2 2 3 3 4

        1 1 21

( )]

1 11 n n

  



1 21

2 (1 )

1 11

2 21

1 11 n n n

   



 



21n 21 22n n 21

    