PDF 數學考科

【試題．答案】依據大考中心公布內容

出  版  /   民國一0三年七月

發行所  /   7 0 2 4 8 臺南市新樂路  76  號 編輯部  /   7 0 2 5 2 臺南市新忠路  8 - 1  號 電  話  /（06) 2619621 # 314

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校  對  /  黃秉璿．黃閔謙．李毓珊．羅蔣偉 美  編  /  李懿娟．杜政賢

Z X C V

NO.00843

數學考科

北門高中 / 朱漢民 老師

臺南女中 / 洪士薰 老師

北門高中 │ 朱漢民 老師

試題分析

大考中心公布的 99 課綱數乙考科測驗範圍大綱：

一

高一數學：數與式、多項式函數、指數與對數函數、排列組合、機率、數據分析。

高二數學：直線與圓、平面向量、矩陣。

選修科目數學乙：機率統計 II、極限與函數。

各單元占分：

二

題號 題型 出處 內容 配分

1 單選題 第一冊第三章 指數與對數函數 6

2 單選題 第二冊第四章 數據分析 6

3 多選題 第一冊第二章 多項式函數 8

4 多選題 第二冊第三章 機率 8

5 多選題 選修數學乙（下）第一章 極限與函數 8

6 多選題 第一冊第二章 多項式函數 8

7 多選題 第一冊第一章 數與式 8

A 選填題 第二冊第二章 排列組合 8

B 選填題 第三冊第三章 平面向量 8

C 選填題 第四冊第三章 矩陣 8

一 非選題 第三冊第二章 第三冊第三章

直線與圓

平面向量 12

二 非選題 第三冊第二章 直線與圓 12

試題分析

e各單元占分補充說明：

冊別 占分 說明

第一冊 30 第二冊 22

第三冊 32 “線性規劃”幾乎已被指考數學乙列為必考單元，所以 本冊占分較重，是可以預期的。

第四冊 8 本冊主要出題範圍只有“矩陣”。

選修數學乙（上） 0 以往幾乎年年必考的單元“機率統計II”在這次大學指 定科目考試中缺席，造成選修數學乙的占分大幅下降。

選修數學乙（下） 8

試題特色：

三

基礎題型多有助提升學生學習數學的意願，分析如下：

1

1 第 1、3、4、5、6、B 等題，大部分的同學應該可以輕鬆拿分！

2　 第 2、A、C 等題等，稍微難一些，但是如果做些嘗試，不難找到解題方向。

3　 在解第 7 題時，如果能抓到分點公式的精神，便能順利解出，此題出得相當漂 亮！

創新的題型分析如下：

2

1　在解第 2 題時，如果能畫個圖，可以“看出”新數據必定大於原數據；但若硬算，

便會浪費許多時間！分析到現在，讀者們應該可以體會，如果出題者費盡心思設 計一個不須計算便可以“看出”答案的解題路線，而解題者卻硬拚計算，一方面沒 有抓住問題的核心，一方面也容易誤認試題難的原因是計算繁瑣。這一點筆者懇 請讀者放在心中！

2　 第 7 題是創新題型，已在上一段分析過了。

3　 非選擇題第一題的第1小題，如果用直線的參數式來算，會很辛苦，但若以直線 的方向向量及法向量的想法來處理，就會變得非常簡單。事實上，從數據可以看 出，出題者的本意應即是如此。此外，同學們作答非選擇題時，畫的圖如果對解 題有貢獻是會獲得部分分數的。記得：畫圖永遠有幫助！

各冊配分不理想：

3

第四冊被列為出題範圍的只有“矩陣”，與其他冊次相比較，自然相對較少，故 第四冊占分較低，筆者認為這是可以預見的。但是，選修數學乙總共只考了 8分！大 考中心明訂之選修數學乙的主要出題範圍有兩章，筆者認為應至少出16 分以上，否 則對認真準備選修數學乙的同學，以及高三辛苦教學的老師相當不公平。筆者在此列 出一個比較合理的配分以供參考：

例如：

冊別 配分 說明

第一冊 28 本冊有三個單元被列入主要出題範圍 第二冊 28 本冊有三個單元被列入主要出題範圍 第三冊 16 本冊有兩個單元被列入主要出題範圍 第四冊 8 本冊有一個單元被列入主要出題範圍 選修數學乙（上） 10 本冊有一個單元被列入主要出題範圍 選修數學乙（下） 10 本冊有一個單元被列入主要出題範圍

F

試題解析

臺南女中 │ 洪士薰 老師

試題解析 數 學 乙

第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占 76 分）

一、單選題（占 12 分）

說明：第1題至第2題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，

請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得6分；答錯、

未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

1 坐標平面上滿足10^x•100^y=1000的所有點（x﹐y）所形成的圖形為下列哪個選 項？

1一個點 2一直線 3兩直線

4一個二次多項式的函數圖形 5一個圓

答 案 2

命題出處 第一冊第三章　指數與對數函數

測驗目標 指數律與指數運算性質

詳 解 10^x•100^y=1000化簡得 10^x+2y=10³

∴x+2y=3的圖形為一直線 故選2

2 某班有41名學生，已知某次考試成績全班的平均分數為64，最高分為97，最 低分為24。欲將全班學生成績做線性調整（調整後分數=a+b*原始分數，其 中b>0）使得最高分為100及最低分為50。請選出正確的選項。

1調整後分數的平均值較原始分數的平均值低 2調整後分數的中位數和原始分數的中位數一樣 3調整後分數的中位數較原始分數的中位數高 4調整後分數的標準差和原始分數的標準差一樣 5調整後分數的標準差較原始分數的標準差大

答 案 3

命題出處 第二冊第四章　數據分析

測驗目標 平均數、中位數、標準差經線性函數調整的性質

詳 解 設原始分數為x，24NxN97 　調整後分數為 f（x）=a+bx

f

（97）=100，f（24）=50

!b=

f

（

97

）-

f

（

24

）

97

-

24

⁼

50 73

∵調整後標準差=│b│*原標準差

∴調整後標準差變小，選項45錯誤 將b=

50

73

^{代回 f（24）=a+24b=50} 解得a=50-

24

*

50

73

⁼

49

*

50 73

考慮（a+bx）-x =a+（b-1）x

=

49

*

50

73

⁺

（ ⁵⁰ ₇₃

^-1

）

^x

=

49

*

50 73

^-

23 x 73

M

1

73

^{（49*50-23*97）>0}

∴調整後分數較原始分數高，選項12錯誤，3正確 故選3

二、多選題（占 40 分）

說明：第3題至第7題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正 確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所 有選項均答對者，得8分；答錯1個選項者，得4.8分；答錯2個選項者，

得1.6分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

3 三次實係數多項式 f（x）滿足 f（-3）>0，f（-2）<0，f（-1）>0，f（1）>0， f

（2）=0 。請選出正確的選項。

1 f（0）<0

2 f（x）=0 恰有一根介於-3 與-2 之間 3 f（x）=0 恰有一根介於-2 與0 之間 4 f（x）=0 在 0 與 1 之間有根

5 f（x）=0 在-3 與 3 之間恰有三個根

答 案 235

命題出處 第一冊第二章　多項式函數

測驗目標 勘根定理、根的個數

試題解析

詳 解 三次實係數多項式最多僅有3實根

x -3 -2 -1 1 2

f

（x） + - + + 0

由勘根定理知，f（x）=0 在-3，-2之間有實根 在-2，-1之間有實根

∵ f（2）=0

∴ f（x）在-3，-2之間及-2，-1之間皆恰有1實根，

　 選項235正確，4錯誤

又若 f（0）<0，則 f（x）必另有其他實根，選項1錯誤 故選235

4 請選出正確的選項。

1隨機亂數表的任一列中，0到9各數字出現的次數皆相同

2 擲一枚均勻的銅板10次，若前5次出現3次正面與2次反面，則後5次必定 出現2次正面與3次反面

3 投擲一枚均勻的銅板2次，在正面至少出現1次的條件下，2次都出現正面 的條件機率等於

1

3

4 投擲6顆公正的骰子，1、2、3、4、5、6點都出現的機率小於

1 6

5 從一副52張的撲克牌（紅黑各有26 張）中，隨機抽取相異的兩張，這兩張 牌都是紅色的機率為

1

4

答 案 34

命題出處 第二冊第三章　機率

測驗目標 機率的基本性質、條件機率

詳 解 1×：亂數表中任一數字出現的機率是均等的，

　　　但不代表某一列各數字出現的頻率均等 2×：各種情形（1正4反……等）都有可能

3○： P（2次正面｜至少1次正面）=

P

（

2

次正面）

P

（至少

1

次正面）

　　　　 　　　　　　　　=

（ ¹ ₂ ）

²

1-

（ ¹ ₂ ）

²

=

1 4

1-

1

4

=

1

3

4○：P（1、2、3、4、5、6都出現）=

6

!

6

^{6 =}

120 6

^{5 =}

20 6

^{4 <}

1 6

5×：P（兩張皆紅色）=

C

⁵² 2

C

²⁶ 2

=

26

*

25 2 52

*

51

2

=

25 2

*

51

^<

1 2

^*

1 2

⁼

1 4

故選34

5 請選出正確的選項。

1 lim

（ ₁₀ ⁹ ）

ⁿ⁼⁰

2 lim

（

^-

⁴ ₃ ）

ⁿ⁼⁰

3 lim

5

ⁿ-

3

ⁿ

6

ⁿ+

7

ⁿ⁼⁰

4 lim

n

（

n

+

1

）（

2n

+

1

）

6n

^{3 =}

1

3

5 lim（ _n+1- n）=1

答 案 134

命題出處 選修數學乙（下）第一章　極限與函數

測驗目標 數列的極限的四則運算

詳 解 1○：∵

│ ₁₀ ⁹ │

^<1　∴lim

（ ₁₀ ⁹ ）

ⁿ⁼⁰

2×：∵

│ - ⁴ ₃ │

^>1，

< ^{（ - 4 3 ）}

ⁿ

>

^{不收斂　∴lim}

^{（ - 4 3 ）}

^n=0不存在

3○：

5

ⁿ

6

ⁿ+

7

^{n <}

5

ⁿ

6

^{n =}

（ ⁵ ₆ ）

^n!lim

₆

ⁿ₊

⁵

ⁿ

₇

^{n =0}

　　　

3

ⁿ

6

ⁿ+

7

^{n <}

3

ⁿ

6

^{n =}

（ ³ ₆ ）

^n!lim

₆

ⁿ₊

³

ⁿ

₇

^{n =0}

　　　∴lim

5

ⁿ-

3

ⁿ

6

ⁿ+

7

^n=lim

5

ⁿ

6

ⁿ+

7

^{n -lim}

3

ⁿ

6

ⁿ+

7

^{n =0}

4○：lim

n

（

n

+

1

）（

2n

+

1

）

6n

³ =lim

n

n （ ⁿ

⁺

_n ¹ ） （ ²ⁿ _n

⁺

¹ ）

6

　　　

=lim

（

¹⁺

¹ _n ） （

²⁺

¹ _n ）

=

1

*

2 6

⁼

1 3

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞ n→∞ n→∞

n→∞ n→∞

試題解析

5×：lim（ n+1- n）=lim

（

^{（ n+1- n）．}

ⁿ _n

⁺+

¹ 1

⁺+

ⁿ n ）

=lim

1

n

+

1

+

n

⁼⁰ 故選134

6 假設多項式 f（x）=2-2x+4x（x-1）+x（x-1）（x-2）g（x），其中g（x）為一實係 數多項式。請選出一定正確的選項。

1 f（x）有（x-1）的因式 2 f（x）沒有（x+1）的因式

3 f（x）被（x-2）除的餘式等於6 40不是f（x）=0的根

5 通過（0﹐f（0））、（1﹐f（1））、（2﹐f（2））的最低次插值多項式為 2-2x+4x（x-1）

答 案 1345

命題出處 第一冊第二章　多項式函數

測驗目標 因式定理、餘式定理、插值多項式

詳 解 1○：因為 f（1）=0，由因式定理知（x-1）為 f（x）的因式 2×：因為 f（-1）=4+8-6 g（-1），不一定為0

3○：f（2）=2-4+8=6，由餘式定理知餘式等於6 4○： f（0）=2，由因式定理知，0不是 f（x）=0的根 5○：滿足原條件的2次以下多項式恰只有一個

　　　又（0﹐f（0）），（1﹐f（1）），（2﹐f（2））不共線

　　　∴滿足原條件的最低插值多項式必為2次，而且僅有一個 　　　令h（x）=2-2x+4（x-1）x，h滿足原條件

故選1345

7 三個相異實數a、b、c滿足b=

4 5

^a+

1

5

^{c，如果將a、b、c標示在數線上，則} 1b在a與c之間

2c>b 3若d=

4

3

^a-

1

3

^{c，則d在a與b之間} 4a到c的距離是a到b的距離的5倍 5 如果│b│=

4

5

^│a│+

1

5

^{│c│，則a•b•c>0}

n→∞ n→∞

n→∞

答 案 14

命題出處 第一冊第一章　數與式

測驗目標 大小判定、分點公式、絕對值、數線上兩點的距離

詳 解 1○2×：（b-a）（b-c）=

1

5

^（c-a）*

4

5

^（a-c）=-

4

25

^（c-a）

2<0

3×：（d-a）（d-b）=

1

3

^（a-c）*

（ ⁴ ₃

^a-

¹ ₃

^c-

⁴ ₅

^a-

¹ ₅

^c

） 　　　　　

⁼

45 ⁸

^（a-c）

2>0

4○：│

a

-

c

│

│

a

-

b

│⁼

│

a

-

c

│

1

5

│

a

-

c

│

=5

5×：│b│=

│ ⁴ ₅

^a+

¹ ₅

^c

│

⁼

⁴ ₅

^│a│+

¹ ₅

^{│c│，所以a•cM0}

　　　若a、c<0!b<0（b為a、c的內分點）!abc<0 故選14

三、選填題（占 24 分）

說明：1 第 A. 至 C. 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的 列號（8～15）。

　　　2 每題完全答對給 8 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 用1、5、6、7、9組成的三位數（不同位可以用相同數字），其個位數字、十位數 字、百位數字的總和為偶數者共有　89　種。

答 案 49

命題出處 第二冊第二章　排列組合

測驗目標 適當分類再透過加法及乘法原理計算

詳 解 1，5，7，9

│

⁶

^{奇 偶}

奇奇偶：4*4*1*3=48

奇　奇　偶

偶偶偶：1*1*1=1 故共有48+1=49（種）

奇奇偶 分配

試題解析

B. 設A（1﹐2）、B（1﹐-2）為平面上兩定點，點 P 為x軸正向上的一點。若內積 aPA•aPB=5，則點P之坐標為（0﹐q）。

答 案 （4﹐0）

命題出處 第三冊第三章　平面向量

測驗目標 平面向量的內積

詳 解 令P（x﹐0），x>0

aPA=（1-x﹐2），aPB=（1-x﹐-2） aPA•aPB=（1-x）²-4=5!（x-1）²=9 解得x=4或-2（不合）

故點P之坐標為（4﹐0）

C. 設P、Q、R為二階方陣，已知PQ= 2 0

12 0 ，PR= 1 3

4 12 ，且Q+R= 1 0 3 3 ， 則P= w e

r t 。

答 案 0 1 4 4

命題出處 第四冊第三章　矩陣

測驗目標 二階方陣的加法及乘法與乘法反方陣

詳 解 P（Q+R）=PQ+PR

!P 1 0

3 3 = 2 0

12 0 + 1 3

4 12 = 3 3 16 12

又 1 0 3 3

-1

= 1 1 0 3 3

3 0 -3 1 =

1 0 -1

1 3

故P= 3 3

16 12 1 0 3 3

-1

= 3 3 16 12

1 0 -1

1 3

= 0 1 4 4

第貳部分：非選擇題（占 24 分）

說明：本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號

（一、二）與子題號（1、2、……），同時必須寫出演算過程或理由，否 則將予扣分甚至零分。作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得 使用鉛筆。每一子題配分標於題末。

一、坐標平面上有三點O（0﹐0），A（11﹐2），B（23﹐18）。直線L通過A點且與線 段AB垂直。

　　1 求直線L上與A點距離為5的兩點C，D之坐標。（8分）

　　2 求△OCD的面積。（4分）

答 案 1 （15﹐-1），（7﹐5） 2 41平方單位

命題出處 第三冊第二章　直線與圓

測驗目標 直線方程式、參數式、點到直線的距離

詳 解 1 aAB=（12﹐16）=4（3﹐4），LrG

AB且過點A（11﹐2） 　得L：3x+4y=41!L的參數式為 x=11+4t

y=2-3t ，t為實數 　令L上一點 P（11+4t﹐2-3t）

　!AP= （4t）²+（-3t）²=5│t│ 　若AP=5，可得│t│=1!t=81 　故C，D坐標為（15﹐-1），（7﹐5） 2 △OCD的面積=

1

2

^{CD*d（O﹐L）=}

1

2

^*10*

│

0

-

41

│

3

²+（-

4

）² =41（平方單位）

　【另解】

　△OCD的面積=

1

2

^│

15 -1

7 5 │=41（平方單位）

二、某工廠可以買甲、乙兩種規格的鐵板來製作「熊大」徽章、「兔兔」徽章和「饅 頭人」徽章。每塊甲規格的鐵板可以製作8 個「熊大」徽章、4 個「兔兔」徽 章及8 個「饅頭人」徽章，每塊乙規格的鐵板可以製作 4 個「熊大」徽章、

4 個「兔兔」徽章及 16個「饅頭人」徽章。已知甲規格的鐵板每塊的成本為 400元，乙規格的鐵板每塊的成本為320元；然而零售商需要28個「熊大」徽 章、20個「兔兔」徽章及48 個「饅頭人」徽章。為了滿足零售商的需求，設 工廠要買進x 塊甲規格鐵板、y塊乙規格鐵板，其中 x和 y為非負整數，由下 列步驟，求出何時才能達到最低成本。

　　1 寫出此問題的線性規劃不等式及目標函數。（4 分）

　　2 求可行解區域的所有頂點的坐標。（4 分）

　　3 工廠所需最低成本為多少元？（4 分）

試題解析

答 案 1

2x+yM7 x+yM5 x+2yM6

x，y 為非負整數

；目標函數H=400x+320y

2 （0﹐7），（2﹐3），（4﹐1），（6﹐0） 3 最低成本為1760 元

命題出處 第三冊第二章　直線與圓

測驗目標 線性規劃

詳 解 1 熊大 兔兔 饅頭人

甲 8 4 8

乙 4 4 16 需求個數 28 20 48 　 依題意

　

8x+4yM28 4x+4yM20 8x+16yM48 x，y為非負整數

!

2x+yM7 x+yM5 x+2yM6

x，y為非負整數 　 甲規格鐵板每塊成本為400元

　 乙規格鐵板每塊成本為320元 　 故目標函數H=400x+320y 2 作圖如右

　 x=0

2x+y=7 ! x=0 y=7 　 2x+y=7

x+y=5 ! x=2 y=3 　 x+y=5

x+2y=6 ! x=4 y=1 　 x+2y=6

y=0 ! x=6

y=0

3 （x﹐y） （0﹐7） （2﹐3） （4﹐1） （6﹐0）

H 2240 1760 1920 2400

　 H（2﹐3）=1760最小

　 故買進2塊甲規格鐵板、3塊乙規格鐵板時，有最低成本1760元 F